2019-2020学年浙江省奉化高中、三山高中等六校高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、设 a，b，cR，且 ab，则下列不等式成立的是（ ） Aa2b2 Bac2bc2 C Da+cb+c 2 （4 分）cos（+）cos+sin（+）sin（ ） Asin（+2） Bsin Ccos（+2） Dcos 3 （4 分）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a5+a7+a921，则 S13（ ） A36 B72 C91 D182 4 （4 分）（ ） A B C1 D3 5 （4 分）已知函数，当 xa 时，y 取得最小值 b，则 a+b（ ） A3 B2 C3 D8 6 （4 分）在ABC 中，（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边） ，则ABC 的 形状为（ ） A

2、等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 7 （4 分） ABC 中， 内角 A， B， C 对应的边分别为 a， b， c， c2a， bsinBasinAasinC， 则 sinB 的值为（ ） A B C D 8 （4 分）若正数 x，y 满足 4x2+9y2+3xy30，则 xy 的最大值是（ ） A B C2 D 9 （4 分）下列四个等式： 第 2 页（共 16 页） tan25 +tan35 +； 1 ； cos2；4 其中正确的等式个数是（ ） A1 B2 C3 D4 10 （4 分）已知数列an满足 a11，anZ，且 an+1an13n+，an+

3、2an3n+1， 则 a2021（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分. 11 （6 分）已知等比数列an中，a11，a48，则公比 q ；a3 12 （6 分）若 sin，tan0，则 cos ，tan2 13 （6 分）已知an是公差不为零的等差数列，a29，且 a3是 a1和 a4的等比中项，则 d ，数列an的前 n 项和 Sn的最大值为 14 （6 分）已知函数 f（x）|x+1|+|x2|，则： （1）不等式 f（x）5 的解集为 ； （2）若不等

4、式 f（x）m 的解集为 R，则 m 的取值范围为 15 （4 分）若，则的值为 16 （4 分）数列an中，当 n 为奇数时，an5n+1，当 n 为偶数时，an，则这个数列 的前 2n 项的和 S2n 17（4 分） 在锐角三角形 ABC 中， 若 sinA2sinBsinC， 则 tanAtanBtanC 的最小值是 三、解答题：本大题公三、解答题：本大题公 5 题，共题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （14 分）已知 f（x）3x2+a（6a）x+6 （）解关于 a 的不等式 f（1）0； （）若不等式 f（x）b

5、 的解集为（1，3） ，求实数 a，b 的值 19 （15 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知 ab，a5，c 6，sinB （）求 b 和 sinA 的值； 第 3 页（共 16 页） （）求 sin（2A+）的值 20 （15 分）已知递增等比数列an，a3a432，a1+a633，另一数列bn其前 n 项和 Sn n2+n （1）求an、bn通项公式； （2）设其前 n 项和为 Tn，求 Tn 21（15 分） 在ABC 中， a、 b、 c 分别是内角 A、 B、 C 的对边， 且bcosAsinA （acosC+ccosA） （1）求角 A 的大小；

6、（2）若 a2，ABC 的面积为，求 b，c 的值 22 （15 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1a（a3） ，an+1Sn+3n，nN* （）设 bnSn3n，求证：数列bn是等比数列，并写出数列bn的通项公式； （）若 an+1an对 nN*任意都成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2019-2020 学年浙江省奉学年浙江省奉化高中、三山高中等六校高一（下）期化高中、三山高中等六校高一（下）期 中数学试卷中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分

7、在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （4 分）设 a，b，cR，且 ab，则下列不等式成立的是（ ） Aa2b2 Bac2bc2 C Da+cb+c 【分析】直接利用不等式的性质的应用求出结果 【解答】解：对于选项 A：当 a1，b2 时，a2b2，故选项 A 错误 对于选项 B：当 c0 时，ac2bc2，故选项 B 错误 对于选项 C：当 a0 或 b0 时，无意义，故选项 C 错误 对于选项 D：ab，所以 a+cb+c，故选项 D 正确 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生

8、的运算能力和 转换能力及思维能力，属于基础性题 2 （4 分）cos（+）cos+sin（+）sin（ ） Asin（+2） Bsin Ccos（+2） Dcos 【分析】利用两角差的余弦函数公式 cosAcosB+sinAcosBcos（AB） ，把 + 即为角度 A， 即为角度 B，变形后可得化简结果 【解答】解：cos（+）cos+sin（+）sin cos（+） cos 故选：D 【点评】此题考查了两角和与差得余弦函数公式，即 coscos+sinsincos（）及 coscossinsincos（+） 熟练掌握公式的特点是解本题的关键 3 （4 分）已知等差数列an的前 n 项和为

9、Sn，若 a5+a7+a921，则 S13（ ） A36 B72 C91 D182 第 5 页（共 16 页） 【分析】利用等差数列通项公式推导出 a5+a7+a93a721，解得 a77，再由 S13 （a1+a13）13a7，能求出结果 【解答】解：等差数列an的前 n 项和为 Sn，a5+a7+a921， a5+a7+a93a721， 解得 a77， S13（a1+a13）13a791 故选：C 【点评】本题考查数列的前 13 项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 4 （4 分）（ ） A B C1 D3 【分析】 根据分式的性质， 有 （1） ， （）

10、 ， （）成立，则可得原式（1）+（）+（ ） ，化简可得答案 【解答】解：原式（1）+（）+（）（1） +（）+（）（1）； 故选：A 【点评】本题考查数列的求和，常见方法有错位相减法、分组求和法、裂项相消法等， 注意结合数列的特点选择对应的方法 5 （4 分）已知函数，当 xa 时，y 取得最小值 b，则 a+b（ ） A3 B2 C3 D8 【分析】将，转化为 y（x+1+）5，再利用基本不等式求 解即可 【解答】解：x1， x+10， 第 6 页（共 16 页） （x+1）+5251， 当且仅当 x2 时取等号 a2，b1，a+b3 故选：C 【点评】本题考查基本不等式，凑“积为定值”

11、是关键，属于中档题 6 （4 分）在ABC 中，（a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边） ，则ABC 的 形状为（ ） A等边三角形 B直角三角形 C等腰三角形或直角三角形 D等腰直角三角形 【分析】利用二倍角公式代入 cos2求得 cosB，进而利用余弦定理化简整理 求得 a2+b2c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形 【解答】解：cos2，cosB， ， a2+c2b22a2，即 a2+b2c2， ABC 为直角三角形 故选：B 【点评】本题主要考查了三角形的形状判断考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活 利用 7 （4 分） ABC 中， 内角 A， B， C 对应的边分别为 a

12、， b， c， c2a， bsinBasinAasinC， 则 sinB 的值为（ ） A B C D 【分析】由正弦定理化简已知可得：b2a2，又 c2a，可解得 a2+c2b23a2， 利用余弦定理可得 cosB，结合范围 0B，即可解得 sinB 【解答】解：bsinBasinAasinC， 第 7 页（共 16 页） 由正弦定理可得：b2a2， 又c2a， a2+c2b24a23a2， 利用余弦定理可得：cosB， 由于 0B，解得：sinB 故选：D 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握 相关公式及定理是解题的关键，属于中档题 8 （4 分）若

13、正数 x，y 满足 4x2+9y2+3xy30，则 xy 的最大值是（ ） A B C2 D 【分析】在题目给出的等式中既含有 x2，y2项，又含有 xy 项，求 xy 的最大值，可运用 基本不等式先把等式中的 x2，y2项替换掉，然后求解关于 xy 的一元二次不等式即可 【解答】解：由 4x2+9y2+3xy30，得 22x3y+3xy4x2+9y2+3xy30， 即 15xy30，xy2，此时当且仅当，即 x，时取得 最大值 故选：C 【点评】本题考查了基本不等式，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把已知的等 式运用基本不等式转化为不等式求解，是基础题 9 （4 分）下列四个等式： ta

14、n25 +tan35 +； 1 ； cos2；4 其中正确的等式个数是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】由 tan60tan（25+35）展开两角和的正切判断；由二倍角的正切判断 ；由二倍角的余弦判断；通分后利用两角和的余弦及诱导公式化简判断 【解答】解：tan60tan（25+35）， 第 8 页（共 16 页） tan25+tan35+，故正确； ，故错误； ，故错误； ，故正确 正确命题的个数为 2 故选：B 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角和的正切与两角和的余弦， 是基础题 10 （4 分）已知数列an满足 a11，anZ，且 an+1an13n+，an+2

15、an3n+1， 则 a2021（ ） A B C D 【分析】将 an+1an13n+其中的 n 换为 n+1，结合 anZ，可得 an+2an3n+1，应 用累加法和等比数列的求和公式，计算可得所求值 【解答】解：由 an+1an13n+，可得 an+2an3n+1+， 又 an+2an3n+1，a11，anZ， 可得 an+2an3n+1， 则 a3a132，a5a334，a2021a1201932020， 相加可得 a2021a132+34+32020， 则 a2021， 故选：A 【点评】本题考查数列与不等式的综合，考查等比数列的求和公式和累加法的应用，考 查化简运算能力和推理能力，属

16、于中档题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题分，单空题每小题 6 分，共分，共 36 分分. 11 （6 分）已知等比数列an中，a11，a48，则公比 q 2 ；a3 4 第 9 页（共 16 页） 【分析】利用等比数列的通项公式即可得出 【解答】解：a11，a48， q38，解得 q2 a31224 故答案为：2，4 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 12 （6 分）若 sin，tan0，则 cos ，tan2 【分析】根据同角三角函数关系式和二倍角公式计算即可 【解答】解：si

17、n0，tan0， 可得： 在第三象限 则 cos tan 那么：tan2 故答案为：， 【点评】本题考查了同角三角函数关系式和二倍角公式计算比较基础 13 （6 分）已知an是公差不为零的等差数列，a29，且 a3是 a1和 a4的等比中项，则 d 3 ，数列an的前 n 项和 Sn的最大值为 30 【分析】由已知列关于 a1和 d 的方程组，求解得到 a112，d3，进一步可知 S4最 大，再由等差数列的前 n 项和求解 【解答】解：在等差数列an中，由 a29，a3是 a1和 a4的等比中项， 得，解得 a112，d3 ana1+（n1）d123（n1）153n 可得 a50 数列an的前

18、 n 项和 Sn的最大值为 故答案为：3；30 【点评】本题考查等差数列的通项公式与前 n 项和，考查等比数列的性质，是基础题 第 10 页（共 16 页） 14 （6 分）已知函数 f（x）|x+1|+|x2|，则： （1）不等式 f（x）5 的解集为 x|x2 或 x3 ； （2）若不等式 f（x）m 的解集为 R，则 m 的取值范围为 m3 【分析】作出函数 f（x）|x+1|+|x2|的图象 （1）由2x+15，得 x2，由 2x15，得 x3再结合图象得答案； （2）直接数形结合得答案 【解答】解：作出函数 f（x）|x+1|+|x2|的图象如图： （1）由2x+15，得 x2，由

19、2x15，得 x3 结合图象可知，不等式 f（x）5 的解集为x|x2 或 x3； （2）由图可知，若不等式 f（x）m 的解集为 R，则 m 的取值范围为 m3 故答案为： （1）x|x2 或 x3； （2）m3 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题 思想方法，是中档题 15 （4 分）若，则的值为 6 【分析】 利用两角差的正切函数公式化简已知等式可得 tan 的值， 进而利用二倍角公式， 同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解 【解答】解：， 3，可得 tan， 第 11 页（共 16 页） 6 故答案为：6 【点评】本题主要考查了两角差的正切

20、函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系 式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 16 （4 分）数列an中，当 n 为奇数时，an5n+1，当 n 为偶数时，an，则这个数列 的前 2n 项的和 S2n 5n2+n+2n+12 【分析】对数列an使用分组求和的办法即可求得其前 2n 项的和 【解答】解：由题意知：数列an的奇数项构成首项为 6，公差为 10 的等差数列； 数列an的偶数项构成首项为 2，公比为 2 的等比数列， 故 S2n（a1+a3+a5+a2n1）+（a2+a4+a6+a2n） 6n+ 5n2+n+2n+12 故答案为：5n2+n+2n+12

21、 【点评】本题主要考查等差、等比数列的概念及分组求和在数列求和中的应用，属于基 础题 17 （4 分）在锐角三角形 ABC 中，若 sinA2sinBsinC，则 tanAtanBtanC 的最小值是 8 【分析】结合三角形关系和式子 sinA2sinBsinC 可推出 sinBcosC+cosBsinC2sinBsinC， 进而得到 tanB+tanC2tanBtanC，结合函数特性可求得最小值 【解答】解：由 sinAsin（A）sin（B+C）sinBcosC+cosBsinC，sinA2sinBsinC， 可得 sinBcosC+cosBsinC2sinBsinC， 由三角形 ABC

22、为锐角三角形，则 cosB0，cosC0， 在式两侧同时除以 cosBcosC 可得 tanB+tanC2tanBtanC， 又 tanAtan（A）tan（B+C）， 则 tanAtanBtanCtanBtanC， 由 tanB+tanC2tanBtanC 可得 tanAtanBtanC， 令 tanBtanCt，由 A，B，C 为锐角可得 tanA0，tanB0，tanC0， 第 12 页（共 16 页） 由式得 1tanBtanC0，解得 t1， tanAtanBtanC， （）2，由 t1 得，0， 因此 tanAtanBtanC 的最小值为 8， 另解：由已知条件 sinA2sinB

23、sinc，sin（B 十 C）2sinBsinC， sinBcosC 十 cosBsinC2sinBcosC， 两边同除以 cosBcosC，tanB 十 tanC2tanBtanC， tanAtan（B 十 C）， tanAtanBtanCtanA 十 tanB 十 tanC， tanAtanBtanCtanA 十 2tanBtanC2， 令 tanAtanBtanCx0， 即 x2，即 x8，或 x0（舍去） ，所以 x 的最小值为 8 当且仅当 t2 时取到等号，此时 tanB+tanC4，tanBtanC2， 解得 tanB2+，tanC2，tanA4， （或 tanB，tanC 互换

24、） ，此时 A，B，C 均为 锐角 【点评】本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性 三、解答题：本大题公三、解答题：本大题公 5 题，共题，共 74 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18 （14 分）已知 f（x）3x2+a（6a）x+6 （）解关于 a 的不等式 f（1）0； （）若不等式 f（x）b 的解集为（1，3） ，求实数 a，b 的值 【分析】 （）f（1）0，即3+a（6a）+60，即 a26a30，由此可得不等式 的解集； （）不等式 f（x）b 的解集为（1，3） ，等价于3x2+a（6a）x+6b

25、的解集为 （1，3） ，即1，3 是方程 3x2a（6a）x6+b0 的两个根，利用韦达定理可求实 数 a，b 的值 【解答】解： （）f（x）3x2+a（6a）x+6，f（1）0 3+a（6a）+60 a26a30 第 13 页（共 16 页） 不等式的解集为（6 分） （）不等式 f（x）b 的解集为（1，3） ， 3x2+a（6a）x+6b 的解集为（1，3） ， 1，3 是方程 3x2a（6a）x6+b0 的两个根 （12 分） 【点评】本题考查不等式的解法，考查不等式的解集与方程解的关系，考查韦达定理的 运用，属于中档题 19 （15 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别

26、为 a，b，c已知 ab，a5，c 6，sinB （）求 b 和 sinA 的值； （）求 sin（2A+）的值 【分析】 （）由已知结合同角三角函数基本关系式求得 cosB，再由余弦定理求得 b，利 用正弦定理求得 sinA； （）由同角三角函数基本关系式求得 cosA，再由倍角公式求得 sin2A，cos2A，展开两 角和的正弦得答案 【解答】解： （）在ABC 中，ab， 故由 sinB，可得 cosB 由已知及余弦定理，有13， b 由正弦定理，得 sinA b，sinA； （）由（）及 ac，得 cosA，sin2A2sinAcosA， cos2A12sin2A 第 14 页（共 1

27、6 页） 故 sin（2A+） 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是 中档题 20 （15 分）已知递增等比数列an，a3a432，a1+a633，另一数列bn其前 n 项和 Sn n2+n （1）求an、bn通项公式； （2）设其前 n 项和为 Tn，求 Tn 【分析】 （1）首先利用已知条件求出数列额的通项公式 （2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和 【解答】解： （1）设公比为 q 的递增等比数列an，a3a432， 根据等比数列的性质 a1a6a3a432，由于 a1+a633， 所以，解得 a11，a632，进一步求出

28、q2，所以， 由于数列bn其前 n 项和 Snn2+n 当 n2 时， 2n 当 n1 时，b12（符合通项公式） ，故 bn2n， （2）由（1）得：， 所以，所以 ， 得， 整理得：， 所以8（n+2） （）n 2 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法的应 第 15 页（共 16 页） 用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 21（15 分） 在ABC 中， a、 b、 c 分别是内角 A、 B、 C 的对边， 且bcosAsinA （acosC+ccosA） （1）求角 A 的大小； （2）若 a2，ABC 的面积为，求 b，c 的值 【分

29、析】 （1）利用正弦定理和三角恒等变换，根据特殊角的三角函数求出 A 的值； （2）根据三角形的面积公式和余弦定理求得 b+c 的值，列方程组求出 b、c 的值 【解答】解： （1）ABC 中，bcosAsinA（acosC+ccosA） ， 由正弦定理可得：sinAsin（A+C） sinAsinB， 即sinAsinB， 因为 B（0，） ，所以 sinB0， 所以 tanA， 又 A（0，） ，所以； （2）由，ABC 的面积为， 所以， 解得 bc5； 由余弦定理可得：a2b2+c22bccosA， 即 12b2+c2bc（b+c）23bc（b+c）215， 解得：b+c3， 解得 b

30、，c； 或 b，c 【点评】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 22 （15 分）设数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1a（a3） ，an+1Sn+3n，nN* （）设 bnSn3n，求证：数列bn是等比数列，并写出数列bn的通项公式； （）若 an+1an对 nN*任意都成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）通过 Sn+1SnSn+3n，可得 Sn+13n+12（Sn3n） ，利用 b1a30， 可得数列bn是首项为 a3，公比为 2 的等比数列，计算即可； 第 16 页（共 16 页） （）通过（I）知， （a3） 2n 1+23n（a3） 2n

31、2+23n10 对 nN*任意都成立， 计算即可 【解答】解： （）an+1Sn+3n，Sn+1SnSn+3n， Sn+12Sn+3n，Sn+13n+12（Sn3n） ， 又bnSn3n，2， 又b1S13a30， 数列bn是首项为 a3，公比为 2 的等比数列， bn（a3） 2n 1； （）由（I）知，Sn3nbn（a3） 2n 1， Sn（a3） 2n 1+3n， an+1Sn+3n（a3） 2n 1+23n， an（a3） 2n 2+23n1（n2） ， an+1an，即 an+1an0 对 nN*任意都成立， （a3） 2n 1+23n（a3） 2n2+23n10， 化简得 （n2） ， 即，解得 a9， 而当 n1 时，a2a130， 综上所述：a（9，3）（3，+） 【点评】本题考查数列的递推公式、等比数列的通项公式，对表达式的灵活变形是解决 本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题