2018-2019学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二（下）期中数学试卷（理科）含详细解答

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1、用反证法证明命题“若 a2+b20（a，bR） ，则 a，b 全为 0” ，其反设正确的是 （ ） Aa，b 全为 0 Ba，b 中只有一个为 0 Ca，b 至少有一个为 0 Da，b 至少有一个不为 0 5 （5 分）由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A20 B30 C60 D120 6 （5 分）6 人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为（ ） A18 B72 C36 D144 7 （5 分）若复数 z2i（3+i） ，则 z 的共轭复数 （ ） A62i B2+6i C26i D6+2i 8 （5 分）设袋中有 80 个红球，20

2、个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的 概率为（ ） A 第 2 页（共 16 页） B C D 9 （5 分）点 P 的直角坐标为，则点 P 的极坐标可以为（ ） A B C D 10 （5 分）若圆的方程为（ 为参数） ，直线的方程为（t 为参数） ，则 直线与圆的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D不能确定 11 （5 分）袋中有大小相同的 3 个红球，7 个白球，从中不放回地一次摸取 2 球，在已知第 一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是（ ） A B C D 12 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （x0）的导函数，f（2）0，当 x0

3、 时，xf （x）f（x）0，则使得 f（x）0 成立的取值范围是（ ） A （2，0）（0，2） B （2，0） C （0，2） D （2，0）（2，+） 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在（2x2）7的展开式中的系数为 14 （5 分）设随机变量 X 的分布列 P（Xi）（i1，2，3） ，则 P（X2） 15 （5 分）参数方程（ 是参数）对应的普通方程是 16 （5 分）从 17 七个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数，其中两 个偶数不相邻、三个奇数也不相邻的五位数有 个 三、解答题（共三、解答题（共 6 个题，共

4、个题，共 70 分）分） 17 （10 分）已知 zC，z+2i 和 都是实数 （1）求复数 z； 第 3 页（共 16 页） （2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8，乙射中的 概率为 0.9，求： （1）两人都射中的概率； （2）两人中恰有一人射中的概率； （3）两人中至少有一人射中的概率 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ，以坐 标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 cos

5、2 sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2） ，求|PA|PB| 20 （12 分）有 5 个男生和 3 个女生，从中选取 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符 合下列条件的选法数： （1）有女生但人数必须少于男生 （2）某女生一定要担任语文科代表 （3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表 （4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 21 （12 分）已知（2x+）n展开式前三项的二项式系数和为 22 （）求 n 的值； （）求展开式中的常数项； （）求展开式中二

6、项式系数最大的项 22 （12 分）已知函数 f（x）x22（a+1）x+2alnx（a0） （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）求 f（x）的单调区间； （）若 f（x）0 在区间1，e上恒成立，求实数 a 的取值范围 第 4 页（共 16 页） 2018-2019 学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二 （下）期中数学试卷（理科）（下）期中数学试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择（每小题一、选择（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）下列导数运算正确的是（

7、） A （x 1） B （2x）x2x 1 C （cosx）sinx D （lnx+x）1 【分析】根据求导公式计算即可 【解答】解： （x 1） ， （2x）2xln2， （cosx）sinx， （lnx+x）1+， 故选：D 【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题 2 （5 分）dx 等于（ ） A B C2 D4 【分析】由定积分的几何意义知：dx 是如图所示的阴影部分扇形的面积，其 面积等于四分之一个圆的面积，求解即可 【解答】解：由定积分的几何意义知：dx 是如图所示的阴影部分的面积，即 表示以原点为圆心以 2 为半径的圆的面积的四分之一， 故dx22， 故选：B 第 5 页（

8、共 16 页） 【点评】本题考查定积分的几何意义，准确转化为图形的面积是解决问题的关键，属基 础题 3 （5 分） “指数函数 yax（a0）是减函数，y2x是指数函数，所以 y2x是减函数”上 述推理（ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D以上都不是 【分析】对于指数函数 yax（a0，a1）来说，底数的范围不同，则函数的增减性不 同，当 a1 时，函数是一个增函数，当 0a1 时，指数函数是一个减函数，yax是 减函数这个大前提是错误的，据此即可得到答案 【解答】解：当 a1 时，指数函数 yax是一个增函数， 当 0a1 时，指数函数 yax是一个减函数， 指数函数 yax

9、（a0）是减函数这个大前提是错误的， 从而导致结论出错 故选：A 【点评】本题考查演绎推理的基本方法，考查指数函数的单调性，是一个基础题，解题 的关键是理解函数的单调性，分析出大前提是错误的 4 （5 分）用反证法证明命题“若 a2+b20（a，bR） ，则 a，b 全为 0” ，其反设正确的是 （ ） Aa，b 全为 0 Ba，b 中只有一个为 0 Ca，b 至少有一个为 0 Da，b 至少有一个不为 0 第 6 页（共 16 页） 【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设 【解答】解：由于“a、b 全为 0（a、bR） ”的否定为： “a、b 至少有一个不为 0” ， 故选：D 【点评

10、】本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b 全为 0（a、bR） ”的否定为： “a、 b 至少有一个不为 0” ，是解题的关键 5 （5 分）由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为（ ） A20 B30 C60 D120 【分析】由题意先确定个位数字，再从剩下的五个数字中选出 2 个进行排列，即可得出 结果 【解答】解：根据题意，由 1，2，3，4，5，6 组成没有重复数字的三位偶数，可得末尾 只能是 2、4、6 中的一个， 再从剩下的五个数字选出两个排在百位和十位即可， 因此，偶数的个数为 C31A5260， 故选：C 【点评】本题主要考查排列组合问题，根

11、据特殊问题优先考虑原则即可求解，属于基础 题型 6 （5 分）6 人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为（ ） A18 B72 C36 D144 【分析】由排列组合及简单的计数问题得：甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为 144，得解 【解答】解：6 人站成一排，甲、乙、丙三人必须站在一起的排列种数为144， 故选：D 【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属简单题 7 （5 分）若复数 z2i（3+i） ，则 z 的共轭复数 （ ） A62i B2+6i C26i D6+2i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算得答案 【解答】解：由 z2i（3+i）2+6i， 得 故

12、选：C 第 7 页（共 16 页） 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题 8 （5 分）设袋中有 80 个红球，20 个白球，若从袋中任取 10 个球，则其中恰有 6 个红球的 概率为（ ） A B C D 【分析】本题是一个古典概型，试验包含的总事件是袋中有 80 个红球 20 个白球，从袋 中任取 10 个球共有 C10010种不同取法，而满足条件的事件是其中恰有 6 个红球，共有 C806C204种取法，根据古典概型公式得到结果 【解答】解：本题是一个古典概型， 袋中有 80 个红球 20 个白球， 若从袋中任取 10 个球共有 C10010种不同取法，

13、而满足条件的事件是其中恰有 6 个红球，共有 C806C204种取法， 由古典概型公式得到 P， 故选：D 【点评】本题非常具有代表性，本题考查古典概型，这样的问题可以变形一系列题目， 其中恰有 6 个红球的概率把 6 变为 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 个红球，也可以 变化球的颜色来构造题目 9 （5 分）点 P 的直角坐标为，则点 P 的极坐标可以为（ ） A B C D 【分析】直接利用转换关系式的应用求出结果 【解答】解：P 的直角坐标为， 所以：， 第 8 页（共 16 页） 整理得 tan， 解得：， 故：极坐标为（2，） 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：参数

14、方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要 考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 10 （5 分）若圆的方程为（ 为参数） ，直线的方程为（t 为参数） ，则 直线与圆的位置关系是（ ） A相离 B相交 C相切 D不能确定 【分析】把圆的方程与直线的方程分别化为普通方程，求出圆心到直线的距离 d，与半径 比较大小即可得出 【解答】解：圆的方程为（ 为参数） ，化为 x2+y24，圆心 O（0，0） ，半 径 r2 直线的方程为（t 为参数） ，化为 xy2 圆心到直线的距离 d2r， 直线与圆的位置关系是相交 故选：B 【点评】本题考查了参数方程转化为普通坐标方程、点到直线的距离公式、

15、直线与圆的 位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 11 （5 分）袋中有大小相同的 3 个红球，7 个白球，从中不放回地一次摸取 2 球，在已知第 一次取出白球的前提下，第二次取得红球的概率是（ ） A B C D 【分析】由已知中袋中有 2 个白球，3 个黑球，在第一次取出白球的条件下，还剩下 1 个白球， 3 个黑球， 分析出第二次取出一个球的所有情况和第二次取出的是黑球的情况个 数，代入古典概型概率公式，可得答案 【解答】解：袋中有 3 个红球，7 个白球， 在第一次取出白球的条件下，还剩下 3 个红球，6 个白球， 第 9 页（共 16 页） 故第二次取出的情况共有 9 种

16、其中第二次取出的是红球有 3 种 故在第一次取出白球的条件下，第二次取出的是红球的概率是 故选：B 【点评】本题考查的知识点是条件概率，其中要注意计算第二次取出的是黑球的概率是 在第一次取出白球的条件下 12 （5 分）设函数 f（x）是奇函数 f（x） （x0）的导函数，f（2）0，当 x0 时，xf （x）f（x）0，则使得 f（x）0 成立的取值范围是（ ） A （2，0）（0，2） B （2，0） C （0，2） D （2，0）（2，+） 【分析】设 g（x），则 f（x）xg（x） ，分析可得 g（x）为偶函数且 g（2）0， 求出 g（x）的导数，分析可得 g（x）在（0，+）上为

17、增函数，进而分析可得（0，2） 上，g（x）0，在（2，+）上，g（x）0，结合函数的奇偶性可得（2.0）上，g （x）0，在（，2）上，g（x）0，又由 f（x）0 即 xg（x）0，则有 或，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，设 g（x），则 f（x）xg（x） ， 若 f（x）为奇函数，则 f（x）f（x） ，则有 g（x）g（x） ，即 函数 g（x）为偶函数， 又由 f（2）0，则 f（2）0，则 g（2）0， g（x），又由当 x0 时，xf（x）f（x）0，则 g（x）在（0， +）上为增函数， 又由 g（2）0，则在（0，2）上，g（x）0，在（2，+）上，g（x）0，

18、又由 g（x）为偶函数，则在（2.0）上，g（x）0，在（，2）上，g（x）0， f（x）0 即 xg（x）0，则有或， 故2x0 或 x2， 第 10 页（共 16 页） 即不等式的解集为（2，0）（2，+） ； 故选：D 【点评】本题考查利用导数分析函数的单调性，关键是构造新函数 g（x） ，并分析 g（x） 的奇偶性与单调性 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）在（2x2）7的展开式中的系数为 84 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于1，求出 r 的值，即可求得展 开式中的系数 【解答】解： （2x2）7的通项公式

19、Tr+1 （1）r27 rx143r，令 143r1， 求得 r5， 可得展开式中的系数为 （1） 484， 故答案为：84 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质， 属于基础题 14 （5 分）设随机变量 X 的分布列 P（Xi）（i1，2，3） ，则 P（X2） 【分析】由随机变量 X 的分布列 P（Xi）（i1，2，3） ，求出 k，由此能求 出 P（X2）的值 【解答】解：随机变量 X 的分布列 P（Xi）（i1，2，3） ， 1，解得 k， P（X2）（） 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列的性质等基础知识，考查

20、运算求解能力，是基础题 15 （5 分）参数方程（ 是参数）对应的普通方程是 【分析】直接利用转换关系把参数方程转换为直角坐标方程 第 11 页（共 16 页） 【解答】解：参数方程（ 是参数） ， 转换为对应的普通方程是：， 故答案为： 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要 考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型 16 （5 分）从 17 七个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数，其中两 个偶数不相邻、三个奇数也不相邻的五位数有 144 个 【分析】由排列组合及简单的计数问题得：两个偶数不相邻、三个奇数也不相邻的五位 数有144（个）

21、 ，得解 【解答】解：从 17 七个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数，其 中两个偶数不相邻、三个奇数也不相邻的五位数有144（个） ， 故答案为：144 【点评】本题考查了排列组合及简单的计数问题，属中档题 三、解答题（共三、解答题（共 6 个题，共个题，共 70 分）分） 17 （10 分）已知 zC，z+2i 和 都是实数 （1）求复数 z； （2）若复数（z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）化简等式，利用复数为实数的条件求出 a，b 的值，即得复数 z （2）化简式子，利用复数与复平面内对应点之间的关系列出不等式组，解不等

22、式组求得 实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）设 za+bi（a，bR） ，则 z+2ia+（b+2）i， ， z+2i 和 都是实数，解得，z42i （2）由（1）知 z42i，（z+ai）24+（a2）i216（a2）2+8（a2）i， 第 12 页（共 16 页） （z+ai）2 在复平面上对应的点在第四象限， 即，2a2，即实数 a 的取值范围是（2，2） 【点评】本题考查两个复数代数形式的混合运算，虚数单位 i 的幂运算性质，复数与复 平面内对应点之间的关系， 式子的变形是解题的难点 18 （12 分）甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8，乙射中的

23、 概率为 0.9，求： （1）两人都射中的概率； （2）两人中恰有一人射中的概率； （3）两人中至少有一人射中的概率 【分析】设“甲射击一次，击中目标”为事件 A， “乙射击一次，击中目标”为事件 B （1）两人都射中的概率为 P（AB）P（A）P（B） ，运算求得结果 （2）两人中恰有一人射中的概率为 P（A ）+P（ B）0.8（10.9）+（10.8） 0.9，运算求得结果 （3） 两人中至少有一人射中的概率等于 1 减去两个人都没有击中的概率， 即 1P （） 1P（ ） P（ ） ，运算求得结果 【解答】解：设“甲射击一次，击中目标”为事件 A， “乙射击一次，击中目标”为事件 B事

24、件 A 与 B 是相互独立的 （1）两人都射中的概率为 P（AB）P（A）P（B）0.80.90.72 （2）两人中恰有一人射中的概率为 P（A ）+P（ B）0.8（10.9）+（10.8） 0.90.26 （3）两人中至少有一人射中的概率等于 1 减去两个人都没有击中的概率， 所求的概率等于 1P（）1P（ ） P（ ）10.20.10.98 【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率加法公式的 应用，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于基础题 第 13 页（共 16 页） 19 （12 分）在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为， （t 为参数）

25、，以坐 标原点为极点 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 cos2 sin （1）求直线 l 的普通方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，P（1，2） ，求|PA|PB| 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转 换 （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果 【解答】解： （1）直线 l 的参数方程为， （t 为参数） ， 转换为直角坐标方程为：x+y10 曲线 C 的极坐标方程为 cos2sin 转化内直角坐标方程为：yx2， （2）把直线 l 的参数方程为， （t 为参

26、数） ，代入 yx2， 得到：（t1和 t2为 A、B 对应的参数） ， 所以：t1t22， 则：|PA|PB|t1t2|2 【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型 20 （12 分）有 5 个男生和 3 个女生，从中选取 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符 合下列条件的选法数： （1）有女生但人数必须少于男生 （2）某女生一定要担任语文科代表 （3）某男生必须包括在内，但不担任数学科代表 （4）某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表 第 1

27、4 页（共 16 页） 【分析】 （1）有女生但人数必须少于男生，先取后排即可； （2）某女生一定要担任语文科代表，除去该女生后先取后排即可； （3）先取后排，但先安排该男生； （4）先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有种，再安排该男生有种，其余 3 人 全排即可 【解答】解： （1）先取后排，有种，后排有种，共有（） 5400 种 （3 分） （2）除去该女生后先取后排：840 种（6 分） （3）先取后排，但先安排该男生：3360 种（9 分） （4）先从除去该男生该女生的 6 人中选 3 人有种，再安排该男生有种，其余 3 人 全排有种，共360 种（12 分） 【点评】排列组合

28、问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先 排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件 21 （12 分）已知（2x+）n展开式前三项的二项式系数和为 22 （）求 n 的值； （）求展开式中的常数项； （）求展开式中二项式系数最大的项 【分析】 （）利用公式展开得前三项，系数和为 22，即可求出 n （）利用通项公式求解展开式中的常数项即可 （ III）利用通项公式求展开式中二项式系数最大的项 【解答】解：由题意， （2x+）n展开式前三项的二项式系数和为 22 （）二项式定理展开：前三项系数为：1+n+22， 解得：n6 或 n7（舍去） 即 n 的值为

29、 6 （）由通项公式， 第 15 页（共 16 页） 令， 可得：k4 展开式中的常数项为60； （ III）n 是偶数，展开式共有 7 项则第四项最大 展开式中二项式系数最大的项为160 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，通项公式的计算，属于基础题 22 （12 分）已知函数 f（x）x22（a+1）x+2alnx（a0） （）当 a1 时，求曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程； （）求 f（x）的单调区间； （）若 f（x）0 在区间1，e上恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （）当 a1 时，f（x）x24x+2lnx，对 f（x）求导，计算 x1 时的导数值，

30、 即为 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线斜率，从而写出切线方程； （）对 f（x）求导，令 f（x）0，解方程；讨论 f（x）0、0 的区间，从而确定 f（x）的增、减区间； （）由（）知 f（x）在区间1，e上的最大值点只在端点处取得，只须 f（1）0 且 f（e）0，求得 a 的取值范围 【解答】解： （）因为 a1，f（x）x24x+2lnx， 所以 f， （x）2x4+（其中 x0） ，f（1）3，f（1）0， 所以曲线 yf（x）在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y3 （）f（x）x22（a+1）x+2alnx（其中 a0） f（x）2x2（a+1）+（其中 x0） ，

31、由 f（x）0，得 x1a，x21； 当 0a1 时，在 x（0，a）或 x（1，+）时 f（x）0，在 x（a，1）时 f（x） 0， 所以 f（x）的单调增区间是（0，a）和（1，+） ，单调减区间是（a，1） ； 当 a1 时，在 x（0，+）时 f（x）0，所以 f（x）的单调增区间是（0，+） ； 当 a1 时，在 x（0，1）或 x（a，+）时 f（x）0，在 x（1，a）时 f（x） 第 16 页（共 16 页） 0 所以 f（x）的单调增区间是（0，1）和（a，+） ，单调减区间是（1，a） （）由（）知：当 0a1 时，f（x）在区间1，e上是增函数，最大值是 f（e） ； 当 a1 时，f（x）在区间1，e上只可能有极小值点，最大值只在区间的端点处取到， 即有 f（1）12（a+1）2a10，a； 且 f（e）e22（a+1）e+2ae22e2（e1）a0， 整理得 a， 所以 a 的取值范围是a|a 【点评】本题利用导数求函数在某一点处的切线方程，判定函数的单调性以及求函数在 区间上的最值问题，是难题