2018-2019学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二（下）期中数学试卷（文科）含详细解答

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1、参数方程为（t 为参数）表示的曲线是（ ） A两条射线 B两条直线 C一条射线 D一条直线 4 （5 分）函数 f（x）+的定义域是（ ） A1，+） B （，0）（0，+） C1，0）（0，+） DR 5 （5 分）极坐标（）化为直角坐标为（ ） A （1，1） B.（1，1） C.（1，1） D.（1，1） 6 （5 分）若 a、b 不全为 0，必须且只需（ ） Aab0 Ba、b 中至多有一个不为 0 Ca、b 中只有一个为 0 Da、b 中至少有一个不为 0 7 （5 分）一次实验中，四组值分别为（1，2） ， （2，3） ， （3，5） ， （4，6） ，则回归方程为 （ ） Ayx

2、+7 Byx+8 Cy1.4x+0.5 Dyx+4 8 （5 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x20，+） （x1x2） ，有 则（ ） Af（3）f（2）f（1） Bf（1）f（2）f（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（1）f（2） 9 （5 分）直线：3x4y90 与圆：， （ 为参数）的位置关系是（ ） A相切 B相离 第 2 页（共 14 页） C直线过圆心 D相交但直线不过圆心 10 （5 分） “一切金属都导电，铜是金属，所以铜导电” 此推理方法是（ ） A完全归纳推理 B归纳推理 C类比推理 D演绎推理 11 （5 分）若 f（x）是偶函数

3、且在（0，+）上减函数，又 f（3）1，则不等式 f（x） 1 的解集为（ ） Ax|x3 或3x0 Bx|x3 或 0x3 Cx|x3 或 x3 Dx|3x0 或 0x3 12 （5 分）通过随机询问 11 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 参照附表，得到的正确结论是（ ） A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.

4、1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若（a2i）ibi，其中 a，bR，i 使虚数单位，则 a2+b2 14 （5 分）在同一平面直角坐标系中，直线 x2y2 变成直线 2xy4 的伸缩变换 是 15 （5 分）从 11，14（1+2） ，14+91+2+3，14+916（1+2+3+4） ， 推广到第 n 个等式为 16（5 分） 定义在 R 上的奇函数 f （x） ， 当 x0 时， f （x） 3； 则奇函数 f （x） 的值域是 三、解答题（共三、解答题（共 6 个大题，共个大题，共 70

5、 分）分） 17 （10 分）已知集合 Ax|3x7，Bx|2x10，Cx|xa （1）求 AB； （2）若 AC，求 a 的取值范围 第 3 页（共 14 页） 18 （12 分） （1）求证：+2+ （2） 在各项为正的数列an中， 数列的前 n 项和 Sn满足求 a1， a2， a3； 并猜想数列an的通项公式 19 （12 分）已知函数 f（x）是定义域为1，1上的奇函数，且 （1）求 f（x）的解析式 （2）用定义证明：f（x）在1，1上是增函数 （3）若实数 t 满足 f（2t1）+f（t1）0，求实数 t 的范围 20 （12 分）在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格 x（

6、万元）和需求量 y（t）之间的 一组数据为： 1 2 3 4 5 价格 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量 y 12 10 7 5 3 已知xiyi62，x 16.6 （1）求出 y 对 x 的线性回归方程； （2）如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少？（精确到 0.01t） 参考公式： 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+2ax+2，x5，5 （）当 a1 时，求函数 f（x）的最大值和最小值； （）求实数 a 的取值范围，使 yf（x）在区间5，5上是单调函数 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为为参数） 直线 l 经过点 P（2

7、，2） ，倾斜角 （1）写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程 （2）设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA|PB|的值 第 4 页（共 14 页） 2018-2019 学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二学年吉林省长春市九台区师范高中、实验高中高二 （下）期中数学试卷（文科）（下）期中数学试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择（每小题一、选择（每小题 5 分，共分，共 60 分）分） 1 （5 分）复数（ ） Ai Bi C1i D1+i 【分析】据所给的复数的表示形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共 轭复数，整理出最简形式，化简复数为

8、a+bi（a、bR）形式 【解答】解：复数 故选：C 【点评】本题考查复数的代数形式的运算和复数的基本概念，本题解题的关键是整理出 复数的代数形式的最简形式，本题是一个基础题 2 （5 分）若函数 f（x）2x2|3x+a|为偶函数，则 a（ ） A1 B2 C3 D0 【分析】由题意可知 f（x）f（x）对于任意 x 都成立，从而 f（1）f（1） ，代入 可求 【解答】解：f（x）2x2|3x+a|为偶函数， f（x）f（x）对于任意 x 都成立， f（1）f（1） ， 2|a3|2|a+3|， 解可得，a0 故选：D 【点评】本题主要考查了利用偶函数的 定义求解参数，属于基础试题 3 （

9、5 分）参数方程为（t 为参数）表示的曲线是（ ） A两条射线 B两条直线 C一条射线 D一条直线 【分析】分 t 大于 0 和 t 小于 0 两种情况，利用基本不等式确定出 x 的取值范围，则答案 第 5 页（共 14 页） 可求 【解答】解：由 ， 当 t0 时，xt+22 当 t0 时，xt+（t+）22 方程表示的曲线是 y2（x2 或 x2） 为两条射线， 故选：A 【点评】本题考查了曲线与方程，考查了利用基本不等式求函数最值，考查了分类讨论 的数学思想方法，是基础题 4 （5 分）函数 f（x）+的定义域是（ ） A1，+） B （，0）（0，+） C1，0）（0，+） DR 【分

10、析】 由根式内部的代数式大于等于 0， 分式的分母不等于 0 联立不等式组求解 x 的取 值集合即可得到函数的定义域 【解答】解：由，解得：x1 且 x0 函数 f（x）+的定义域是1，0）（0，+） 故选：C 【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，是基础的计算题 5 （5 分）极坐标（）化为直角坐标为（ ） A （1，1） B.（1，1） C.（1，1） D.（1，1） 【分析】根据互化公式 xcos，ysin 可得 【解答】解：， xcos1，ysin1， 极坐标（）化为直角坐标为（1，1） ， 故选：D 【点评】本题考察了极坐标与直角坐标的互化公式，属基础题 第 6 页（共 14 页）

11、 6 （5 分）若 a、b 不全为 0，必须且只需（ ） Aab0 Ba、b 中至多有一个不为 0 Ca、b 中只有一个为 0 Da、b 中至少有一个不为 0 【分析】a、b 不全为 0，即 a0，b0 或 a0，b0 或 a0，b0，根据选项即可得 答案 【解答】解：a、b 不全为 0，即 a0，b0 或 a0，b0 或 a0，b0， 因此必须且只需 a、b 中至少有一个不为 0， 故选：D 【点评】本题考查等价命题的判断与应用，属基础题 7 （5 分）一次实验中，四组值分别为（1，2） ， （2，3） ， （3，5） ， （4，6） ，则回归方程为 （ ） Ayx+7 Byx+8 Cy1.

12、4x+0.5 Dyx+4 【分析】由已知表格中的数据求得 与 的值，则线性回归方程可求 【解答】解：由已知得， 1.4， 41.42.50.5 回归方程为 y1.4x+0.5 故选：C 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 8 （5 分）定义在 R 上的偶函数 f（x）满足：对任意的 x1，x20，+） （x1x2） ，有 则（ ） Af（3）f（2）f（1） Bf（1）f（2）f（3） Cf（2）f（1）f（3） Df（3）f（1）f（2） 【分析】先由奇偶性将问题转化到0，+） ，再由函数在区间上的单调性比较 【解答】解：f（x）是偶函数 第 7 页（共 14 页）

13、f（2）f（2） 又任意的 x1，x20，+） （x1x2） ，有， f（x）在0，+）上是减函数， 又123 f（1）f（2）f（2）f（3） 故选：A 【点评】本题主要考查用奇偶性转化区间和单调性比较大小，在比较大小中，用单调性 的较多，还有的通过中间桥梁来实现的，如通过正负和 1 来解决 9 （5 分）直线：3x4y90 与圆：， （ 为参数）的位置关系是（ ） A相切 B相离 C直线过圆心 D相交但直线不过圆心 【分析】根据圆的参数方程变化成圆的标准方程，看出圆心和半径，计算圆心到直线的 距离，比较距离与半径的大小关系，得到位置关系 【解答】解：圆：， （ 为参数） 圆的标准方程是 x

14、2+y24 圆心是（0，0） ，半径是 2， 圆心到直线的距离是 dr 直线与圆相交，且不过圆心， 故选：D 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，本题解题的关键是求出圆的标准方程，算出圆 心到直线的距离，本题是一个基础题 10 （5 分） “一切金属都导电，铜是金属，所以铜导电” 此推理方法是（ ） A完全归纳推理 B归纳推理 C类比推理 D演绎推理 【分析】根据题意，分析可得该推理方法符合演绎推理的形式，是演绎推理，即可得答 案 【解答】解：根据题意， “一切金属都导电”是大前提， “铜是金属”是小前提， “所以铜 导电”是结论， 第 8 页（共 14 页） 符合演绎推理的形式，则此推理方法

15、是演绎推理； 故选：D 【点评】本题考查演绎推理的定义，关键是掌握三段论的推理形式，属于基础题 11 （5 分）若 f（x）是偶函数且在（0，+）上减函数，又 f（3）1，则不等式 f（x） 1 的解集为（ ） Ax|x3 或3x0 Bx|x3 或 0x3 Cx|x3 或 x3 Dx|3x0 或 0x3 【分析】利用 f（x）是偶函数，f（3）1，不等式转化为 f（|x|）f（3） ，再利用函 数的单调性，即可求得结论 【解答】解：f（x）是偶函数，f（3）1，f（3）1 f（x）1 f（|x|）f（3） f（x）在（0，+）上减函数， |x|3 x|x3 或 x3 不等式 f（x）1 的解集

16、为x|x3 或 x3 故选：C 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，考查学生分析解决问题的能力，正确转 化是关键 12 （5 分）通过随机询问 11 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 参照附表，得到的正确结论是（ ） A有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 第 9

17、页（共 14 页） 【分析】根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对 应的结果，得到结论有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 【解答】解：由题意知本题所给的观测值，k27.8 7.86.635， 这个结论有 0.011%的机会说错， 即有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” 故选：A 【点评】本题考查独立性检验的应用，考查对于观测值表的认识，这种题目一般运算量 比较大，主要要考查运算能力 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若（a2i）ibi，其中 a，bR，i 使虚数单位，则 a2+b2

18、 5 【分析】由题意可得 2+aibi，故有，由此求得 a2+b2 的值 【解答】解：（a2i）ibi，即 2+aibi，a2+b25， 故答案为 5 【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，属于基础题 14 （5 分）在同一平面直角坐标系中，直线 x2y2 变成直线 2xy4 的伸缩变换是 【分析】将直线 x2y2 变成直线 2xy4 即直线 xy2，横坐标不变， 纵坐标变为原来的 4 倍，故有是 【解答】解：直线 2xy4 即直线 xy2 将直线 x2y2 变成直线 2xy4 即直线 xy2， 故变换时横坐标不变，纵坐标变为原来的 4 倍， 即有伸缩变换是 故答案为： 【点评】本题考查

19、函数的图象变换，判断横坐标不变，纵坐标变为原来的 4 倍，是解题 的关键 第 10 页（共 14 页） 15 （5 分）从 11，14（1+2） ，14+91+2+3，14+916（1+2+3+4） ， 推广到第 n 个等式为 14+916+（1）n+1n2（1）n+1 （1+2+3+n） 【分析】本题考查的知识点是归纳推理，解题的步骤为，由 11，14（1+2） ，1 4+91+2+3，14+916（1+2+3+4） ，中找出各式运算量之间的关系，归纳 其中的规律，并大胆猜想，给出答案 【解答】解：11（1）1+11 14（1+2）（1）2+1 （1+2） 14+91+2+3（1）3+1 （

20、1+2+3） 14+916（1+2+3+4）（1）4+1 （1+2+3+4） 所以猜想：14+916+（1）n+1n2（1）n+1 （1+2+3+n） 故答案为：14+916+（1）n+1n2（1）n+1 （1+2+3+n） 【点评】归纳推理的一般步骤是： （1）通过观察个别情况发现某些相同性质； （2）从已 知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） 16 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）3；则奇函数 f（x）的值域是 3，0，3 【分析】由 f（x）为 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）3，当 x0 时，f（x） 3，f（0）0，

21、从而可求函数的值域 【解答】解：由 f（x）为 R 上的奇函数 f（x） ，当 x0 时，f（x）3， 当 x0 时，f（x）3，f（0）0， 故函数 f（x）的值域为3，0，3 故答案为：3，0，3 【点评】本题主要考查了奇函数的图象关于原点对称性质的简单应用，属于基础试题 三、解答题（共三、解答题（共 6 个大题，共个大题，共 70 分）分） 17 （10 分）已知集合 Ax|3x7，Bx|2x10，Cx|xa （1）求 AB； （2）若 AC，求 a 的取值范围 【分析】 （1）根据集合的基本运算即可求 AB； （2）根据 AC，数形结合即可求实数 a 的取值范围 【解答】解： （1）集

22、合 Ax|3x7，Bx|2x10，借助于数轴和集合并集的定 第 11 页（共 14 页） 义知 ABx|2x10 （2）若 AC，集合 C 中包含集合 A 的所有元素，由数轴可知：a7； 故答案为： （1）ABx|2x10； （2）若 AC，a 的取值范围是a|a7； 【点评】本题考查了集合的基本运算，数形结合的应用，属于基础题 18 （12 分） （1）求证：+2+ （2） 在各项为正的数列an中， 数列的前 n 项和 Sn满足求 a1， a2， a3； 并猜想数列an的通项公式 【分析】 （1）利用分析法证明不等式即可； （2）由数列an中，分别将 n1，n2 和 n3 代入求值即可 【解

23、答】解： （1）证明：要证+2+， 只需证， 即证 上式显然成立，原不等式成立 （2）正项数列an中， 当 n1 时，a11， 当 n2 时， 当 n3 时， 由 a1，a2，a3，猜想数列an的通项公式为： 【点评】本题考查了分析法证明不等式和利用递推公式求数列各项的值，属基础题 19 （12 分）已知函数 f（x）是定义域为1，1上的奇函数，且 （1）求 f（x）的解析式 （2）用定义证明：f（x）在1，1上是增函数 （3）若实数 t 满足 f（2t1）+f（t1）0，求实数 t 的范围 【分析】 （1）根据题意，由奇函数的定义可得 f（0）0，即有 f（0）0，解可得 b 0，又由 f（

24、1），计算可得 a 的值，即可得答案； （2）设1x1x21，由作差法分析可得答案； 第 12 页（共 14 页） （3）根据题意，原不等式变形可得，解可得 t 的取值范围，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，函数 f（x）是定义域在（1，1）上的奇函数， 则 f（0）0，即有 f（0）0，解可得 b0， 则 f（x）， 又由，则 f（1），则 a1， f（x）； （2）证明：设1x1x21， 则 f（x1）f（x2）， 又由1x1x21，则 x1x20，1x1x20， 则 f（x1）f（x2） ， 故 f（x）在（1，1）上是增函数； （3）根据题意，f（2t1）+f（t1）0，即 f

25、（2t1）f（t1）f（1t） ， 则有，解可得 0t； 即 t 的取值范围为0，） 【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的总应用，涉及不等式的解法，属于基础题 20 （12 分）在一段时间内，分 5 次测得某种商品的价格 x（万元）和需求量 y（t）之间的 一组数据为： 1 2 3 4 5 价格 x 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量 y 12 10 7 5 3 已知xiyi62，x 16.6 （1）求出 y 对 x 的线性回归方程； 第 13 页（共 14 页） （2）如价格定为 1.9 万元，预测需求量大约是多少？（精确到 0.01t） 参考公式： 【分析】 （1）由已知表格中的

26、数据求得 与 的值，则线性回归方程可求； （2）在（1）中求得的回归方程中，取 x1.9 求得 y 值即可 【解答】解： （1）， xiyi62，x 16.6， 11.5， 7.4+11.51.828.1， 故 y 对 x 的线性回归方程为 y28.111.5x； （2）当 x1.9 时， y28.111.51.96.25（t） 故价格定为 1.9 万元时，预测需求量大约是 6.25（t） 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）x2+2ax+2，x5，5 （）当 a1 时，求函数 f（x）的最大值和最小值； （）求实数 a 的取值范围，

27、使 yf（x）在区间5，5上是单调函数 【分析】 （）a1 时，配方得到 f（x）（x1）2+1，从而可以看出 x1 时 f（x） 取最小值，而 x5 时取最大值，这样便可得出 f（x）的最大值和最小值； （）可以求出 f（x）的对称轴为 xa，而 f（x）在5，5上是单调函数，从而可 以得出a5，或a5，这样便可得出实数 a 的取值范围 【解答】解： （）a1，f（x）x22x+2（x1）2+1； x5，5； x1 时，f（x）取最小值 1； x5 时，f（x）取最大值 37； 第 14 页（共 14 页） （）f（x）的对称轴为 xa； f（x）在5，5上是单调函数； a5，或a5； 实数

28、 a 的取值范围为（，55，+） 【点评】考查配方求二次函数最大、最小值的方法，二次函数的对称轴，以及二次函数 的单调性 22 （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为为参数） 直线 l 经过点 P（2，2） ，倾斜角 （1）写出圆的标准方程和直线 l 的参数方程 （2）设 l 与圆 C 相交于 A、B 两点，求|PA|PB|的值 【分析】 （1）利用 sin2+cos21，消去参数 ，求得 C 的普通方程；再根据直线经过点 P（2，2） ，倾斜角 ，求出直线 l 的参数方程 （2）把 l 的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得 t1t28，再由直线参 数方程中参数的几何意义 求得|PA|PB|的值 【解答】解： （1）C 的参数方程为为参数） ，利用 sin2+cos21，消 去参数可得 x2+y216 由于 l 经过点 P（2，2） ，倾斜角，可得直线 l 的参数方程 （2）把 l 的参数方程 代入圆的方程 x2+y216 可得 t2+2（+1）t80，t1t28，|PA|PB|8 【点评】本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，