2018-2019学年上海外国语大学闵行外国语、莘庄高中联考高一（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、已知集合： Ax|x21， Bx|ax1， 且ABB， 则实数a的取值集合为 8 （4 分）关于 x 的不等式 axb0 的解集是（，1） ，则关于 x 的不等式0 的 解集为 9 （4 分）若命题甲的否命题为“若 a3 且 b4，则 a+b7” ，则命题甲的逆命题为 10 （4 分）若函数的图象全部在 x 轴下方，则实数 m 的取值范围是 11 （4 分）已知函数 f（x）其中 m0，若不存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 12 （4 分） 设 a， bR， ab， 函数 g （x） |x+t| （xR） ， （其中表示对于 xR， 当 ta

2、，b时，表达式|x+t|的最大值） ，则 g（x）的最小值为 二、选择题（二、选择题（4 小题，每题小题，每题 4 分）分） 13 （4 分）下列四组函数中，函数 f（x）与 g（x）表示同一个函数的是（ ） Af（x）|x|，g（x） Bf（x）2x，g（x） Cf（x）x，g（x） Df（x）x，g（x） 14 （4 分）若 xy1，则下列下列四个数中最小的数是（ ） 第 2 页（共 15 页） A B C D 15 （4 分）已知 a，b 为实数，则“a+b4”是“a，b 中至少有一个大于 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 16 （4

3、分）设集合 Ax|x2+2x30，集合 Bx|x22ax10，a0若 AB 中恰 含有一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D （1，+） 三、解答题（共三、解答题（共 56 分）分） 17 （8 分）当 k 为何值时，关于 x 的方程 3（x+1）k（x2）的解分别是 （1） （2）非正数 18 （10 分）设 ：x24x+30，：m+1x2m+4 （1） 是 的充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）记 Ax|x24x+30，Bx|m+1x2m+4，且RABB，求实数 m 的取值 范围 19 （10 分）10 辆货车从 A 站匀速驶往相距 2000 千米的 B 站，其时速

4、都是 v 千米/小时，为 安全起见， 要求： 每辆车时速不得超过 100 千米/小时， 每辆货车间隔 kv2千米 （k 为常数， 货车长度忽略不计） 将第一辆货车由 A 出发到最后一辆货车到达 B 站所需时间 t 表示为 v 的函数 f（v） （1）求 tf（v） ，并写出 v 的取值范围； （2）若 k请问，当 v 取何值时，t 有最小值？并求出最小值 20 （14 分）已知二次函数 f（x）满足 f（x+1）f（x）4x 且 f（0）1 （1）求 f（x）的解析式； （2）设 aR，解关于 x 的不等式：f（x）2x2+ax+2a； （3）记 Ax|f（x）|x|，xR，若对于任意 xA，

5、函数 h（x）+2m 的值恒为 负数，求实数 m 的取值范围 21 （14 分）若实数 x，y，m 满足|xm|ym|，则称 x 比 y 远离 m （1）若 2 比 3x4 远离 1，求 x 的取值范围； 第 3 页（共 15 页） （2）对任意两个不相等的实数 a，b 证明比（）2远离 ab； （3）设函数 f（x）的定义域为 D，值域为 E，任取 xD，f（x）是 g（x）x22x3 和 h（x）2x+2 中远离 0 的那个值，写出 f（x）的解析式，并写出其定义域与值域 第 4 页（共 15 页） 2018-2019 学年上海外国语大学闵行外国语、莘庄高中联考高一学年上海外国语大学闵行外

6、国语、莘庄高中联考高一 （上）期中数学试卷（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（一、填空题（12 小题，每题小题，每题 4 分）分） 1 （4 分）满足 A0，1的集合 A 共有 4 个 【分析】利用子集定义直接求解 【解答】解：满足 A0，1， 满足条件的集合 A 共有：224（个） 故答案为：4 【点评】本题考查集合的子集个数的求法，考查子集定义等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 2 （4 分）已知集合，用列举法表示集合 A 1，2，4 【分析】利用列举法能求出结果 【解答】解：集合， A1，2，4 故答案为：1，2，4 【点评】本题考查集合的求法，考

7、查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 3 （4 分）已知函数，则 f（x） g（x） x （x0） 【分析】f（x） g（x）x2x， （x0） ， 【解答】解：f（x） g（x）x2x， （x0） ， 故答案为：x （x0） 【点评】本题考查了函数解析式的求解方法属基础题 4 （4 分）函数的定义域为 0，2）（2，3 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0，分式的分母不为 0 联立不等式组得答案 第 5 页（共 15 页） 【解答】解：由，解得 0x3，且 x2 函数的定义域为0，2）（2，3 故答案为：0，2）（2，3 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的

8、解法，是基础题 5 （4 分）若关于 x 的不等式 ax2+x+b0 的解集是（1，2） ，则 a+b 1 【分析】 根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根， 再由根与系数的关系求出 a， b 即可 【解答】解：关于 x 的不等式 ax2+x+b0 的解集是（1，2） ， 1，2 是方程 ax2+x+b0 的两个根， 1+2，12， 解得 a1，b2； a+b1+21 故答案为：1 【点评】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集 得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值 6 （4 分）已知全集 UR，集合 Ax|xa，Bx|1x2，且 AUBR，

9、则实数 a 的取值范围是 a2 【分析】由全集 R 及 B，求出 B 的补集，根据 A 与 B 补集的并集为 R，确定出 a 的范围 即可 【解答】解：全集 UR，Bx|1x2， UBx|x1 或 x2， Ax|xa，A（UB）R， a2， 则 a 的取值范围为 a2 故答案为：a2 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键 7（4 分） 已知集合： Ax|x21， Bx|ax1， 且 ABB， 则实数 a 的取值集合为 第 6 页（共 15 页） 1，0，1 【分析】由已知得 BA，从而 B或 B1，或 B1，进而不存在，或1 或，由此能求出实数 a 的取值

10、集合 【解答】解：Ax|x211，1，Bx|ax1，且 ABB， BA， B或 B1，或 B1， 不存在，或1 或， 解得 a0 或 a1 或 a1 实数 a 的取值集合为1，0，1 故答案为：1，0，1 【点评】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集的性质的合理 运用 8 （4 分）关于 x 的不等式 axb0 的解集是（，1） ，则关于 x 的不等式0 的 解集为 1，2） 【分析】由题意可得 a0，1，则关于 x 的不等式即0，由此求得 x 的范围 【解答】解：关于 x 的不等式 axb0 的解集是（，1） ，a0，1， 则关于 x 的不等式0，即0，求得1x2， 故答

11、案为：1，2） 【点评】本题主要考查一元一次不等式、分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思 想，属于基础题 9 （4 分）若命题甲的否命题为“若 a3 且 b4，则 a+b7” ，则命题甲的逆命题为 若 a+b7，则 a3 或 a4 【分析】先求出甲的原命题，再求出逆命题即可 【解答】解：命题甲的否命题为“若 a3 且 b4，则 a+b7” ，则甲的原命题为： “若 a3 或 b4，则 a+b7” ， 则命题甲的逆命题为：若 a+b7，则 a3 或 a4 故答案为：若 a+b7，则 a3 或 a4 第 7 页（共 15 页） 【点评】本题主要考查四种命题的关系，比较基础注意否命题和命题的否定

12、的区别 10 （4 分）若函数的图象全部在 x 轴下方，则实数 m 的取值范围是 （ 3，0 【分析】根据题意，函数的图象全部在 x 轴下方，即0 恒成立，分 m0 与 m0 两种情况讨论，求出 m 的取值范围，综合即可得答案 【解答】 解： 根据题意， 函数的图象全部在 x 轴下方， 即 0 恒成立， 当 m0 时，y0，符合题意； 当 m0 时，为二次函数， 则有， 解可得：3m0， 综合可得：m 的取值范围为（3，0； 故答案为： （3，0 【点评】本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的性质，注意 m 的值可以为 0，属 于综合题 11 （4 分）已知函数 f（x）其中 m0，若不存在

13、实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 （0，1）（2，+） 【分析】作出函数 f（x）的图象，依题意，可得 4mm2m+2（m0） ，求解得答案 【解答】解：当 m0 时 f（x）的图象如图： xm 时， f（x）x22mx+4m （xm）2+4mm24mm2， 要使得关于 x 的方程 f（x）b 有三个不同的根， 必须 4mm2m+2（m0） ， 第 8 页（共 15 页） 即 m23m+20（m0） ， 解得 0m1 或 m2， m 的取值范围是（0，1）（2，+） ， 故答案为： （0，1）（2，+） 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，

14、数形结合思想的运用是关键，属于中档 题 12 （4 分） 设 a， bR， ab， 函数 g （x） |x+t| （xR） ， （其中表示对于 xR， 当 ta，b时，表达式|x+t|的最大值） ，则 g（x）的最小值为 （ba） 【分析】求得 f（t）|x+t|，ta，b的对称轴，讨论对称轴与区间的关系，结合单调性 可得最大值 g（x） ，再由一次函数的单调性，可得最小值 【解答】解：设 f（t）|x+t|，ta，b， 可得 tx 为对称轴， 当xb，即 xb，a，b为减区间，则 g（x）ax； 当 axb 即bxa， 若xa，即 f（a）f（b） ，可得 g（x）f（b）b+x； 当bx，

15、f（a）f（b） ，可得 g（x）f（a）ax； 当xa 即 xa 时，区间a，b为增区间，可得 g（x）f（b）b+x 则 g（x）， 当 xb，g（x）ba； 第 9 页（共 15 页） xa 时，g（x）（ba） ； 当bx，g（x）（ba） ； xa 时，g（x）ba 则 g（x）的最小值为（ba） 故答案为：（ba） 【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及单调性的运用， 考查运算能力，属于中档题 二、选择题（二、选择题（4 小题，每题小题，每题 4 分）分） 13 （4 分）下列四组函数中，函数 f（x）与 g（x）表示同一个函数的是（ ） Af（x）|x|

16、，g（x） Bf（x）2x，g（x） Cf（x）x，g（x） Df（x）x，g（x） 【分析】通过求函数的定义域以及化简函数解析式即可找出表示同一函数的选项 【解答】解：A不是同一函数，定义域不同，f（x）定义域为 R，g（x）定义域为0，+ ） ； B不是同一函数，定义域不同，f（x）定义域为 R，g（x）定义域为x|x0； D是同一函数，g（x）xf（x） ； C不是同一函数，对应法则即解析式不同，g（x）|x| 故选：D 【点评】考查确定函数的两要素：定义域和对应法则，以及求函数的定义域，以及对于 函数解析式的化简 14 （4 分）若 xy1，则下列下列四个数中最小的数是（ ） A B

17、C D 【分析】利用不等式的性质、基本不等式的性质即可得出 【解答】解：xy1， 故选：D 第 10 页（共 15 页） 【点评】本题考查了不等式的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 15 （4 分）已知 a，b 为实数，则“a+b4”是“a，b 中至少有一个大于 2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】 “a+b4”“a，b 中至少有一个大于 2” ，反之不成立即可判断出关系 【解答】解： “a+b4”“a，b 中至少有一个大于 2” ，反之不成立 “a+b4”是“a，b 中至少有一个大于 2”的充分不必要条件

18、 故选：A 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 16 （4 分）设集合 Ax|x2+2x30，集合 Bx|x22ax10，a0若 AB 中恰 含有一个整数，则实数 a 的取值范围是（ ） A B C D （1，+） 【分析】先求解一元二次不等式化简集合 A，B，然后分析集合 B 的左端点的大致位置， 结合 AB 中恰含有一个整数得集合 B 的右端点的范围，列出无理不等式组后进行求解 【解答】解：由 x2+2x30，得：x3 或 x1 由 x22ax10，得： 所以，Ax|x2+2x30x|x3 或 x1，Bx|x22ax10，a0 x|

19、因为 a0，所以 a+1，则且小于 0 由 AB 中恰含有一个整数，所以 即，也就是 解得：a，解得：a 所以，满足 AB 中恰含有一个整数的实数 a 的取值范围是 故选：B 第 11 页（共 15 页） 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了数学转化思想，训练了无理不等式的解法， 求解无理不等式是该题的一个难点此题属中档题 三、解答题（共三、解答题（共 56 分）分） 17 （8 分）当 k 为何值时，关于 x 的方程 3（x+1）k（x2）的解分别是 （1） （2）非正数 【分析】 （1）将 x代入方程解得 k3； （2）由已知方程解出 x，再由 x0 可解出 k 的范围 【解答】解： （

20、1）x，3（+1）k（2） ，解得：k3； （2）由 3（x+1）k（x2）得：x，依题意有：0， 解得：k3 故（1）当 k3 时，关于 x 的方程 3（x+1）k（x2）的解是； （2）当k3 时，关于 x 的方程 3（x+1）k（x2）的解是非正数 【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系属基础题 18 （10 分）设 ：x24x+30，：m+1x2m+4 （1） 是 的充分条件，求实数 m 的取值范围； （2）记 Ax|x24x+30，Bx|m+1x2m+4，且RABB，求实数 m 的取值 范围 【分析】 （1）根据 是 的充分条件，即 是 的子集，可得实数 m 的取值范围； （2

21、）由 Ax|x24x+30x|1x3，可得RA，在根据RABB，即可求解实 数 m 的取值范围； 【解答】解： （1）：x24x+30， 可得：1x3； ：m+1x2m+4 是 的充分条件， ，解得； 第 12 页（共 15 页） 即实数 m 的取值范围为，0； （2）Bx|m+1x2m+4，由 Ax|x24x+30x|1x3， 可得RAx|1x 或 x3， RABB， Bx|1x 或 x3， 当 B时，2m+4m+1，可得 m3； 当 B时，则 m+12m+4，可得 m3 由 Bx|1x 或 x3，则 m+13 或 2m+41， 解得：m2 或 m； 可得：3m； 综合可得：实数 m 的取值

22、范围（，） 【点评】此题考查了交集、补集及其运算，熟练掌握交集、补集的定义是解本题的关键 19 （10 分）10 辆货车从 A 站匀速驶往相距 2000 千米的 B 站，其时速都是 v 千米/小时，为 安全起见， 要求： 每辆车时速不得超过 100 千米/小时， 每辆货车间隔 kv2千米 （k 为常数， 货车长度忽略不计） 将第一辆货车由 A 出发到最后一辆货车到达 B 站所需时间 t 表示为 v 的函数 f（v） （1）求 tf（v） ，并写出 v 的取值范围； （2）若 k请问，当 v 取何值时，t 有最小值？并求出最小值 【分析】 （1）由题意可得最后一辆货车需要行驶的路程为 2000+

23、9kv2，即可得出关系，0 v100，v 的单位是千米/小时 （2）k，可得 t+，利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解： （1）由题意可得：tf（v），0v100，v 的单位是千米/ 小时 （2）k，可得 t+5， 当且仅当 v60 千米/小时取等号，即 t 取得最小值小时 答： （1）t，0v，0v100，v 的单位是千米/小时 第 13 页（共 15 页） （2）k，当且仅当 v60 千米/小时，即 t 取得最小值小时 【点评】本题考查了路程与速度的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能 力，属于中档题 20 （14 分）已知二次函数 f（x）满足 f（x+1）f（x）4x

24、且 f（0）1 （1）求 f（x）的解析式； （2）设 aR，解关于 x 的不等式：f（x）2x2+ax+2a； （3）记 Ax|f（x）|x|，xR，若对于任意 xA，函数 h（x）+2m 的值恒为 负数，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）根据题意，设二次函数 f（x）ax2+bx+c，由 f（0）1，则 c1，又由 f （x+1）f（x）4x，则有 a（x+1）2+b（x+1）+1（ax2+bx+1）4，即 2ax+a+b4x， 分析可得 a、b 的值，即可得函数的解析式； （2）根据题意，不等式 f（x）2x2+ax+2a 变形可得： （a+2）x12a，分类讨论 a 的 取值范围

25、，求出不等式的解集，综合即可得答案； （3） 先解不等式x2x22x+1x 可得集合 A， 函数 h （x） +2m 的值恒为负数， 则 h（x）2x+2+m0 在，1上恒成立，即 2x+2m 在，1上恒成立，设 g（x）2x+，分析 g（x）在区间，1上的最大值，则有 2m3，解可得 m 的取 值范围，即可得答案 【解答】解： （1）根据题意，设二次函数 f（x）ax2+bx+c（a0） ， 又由 f（0）1，则 c1， 若 f（x+1）f（x）4x，有 a（x+1）2+b（x+1）+1（ax2+bx+1）4， 则有 2ax+a+b4x，即 a2，b2； 故 f（x）2x22x+1； （2）

26、根据题意，不等式 f（x）2x2+ax+2a 即 2x22x+12x2+ax+2a， 变形可得： （a+2）x12a， 当 a2 时，不等式为 05，其解集为 R； 当 a2 时，a+20，则不等式的解集为x|x； 当 a2 时，a+20，则不等式的解集为x|x； 第 14 页（共 15 页） 则当 a2 时，不等式的解集为 R； 当 a2 时，不等式的解集为x|x； 当 a2 时，不等式的解集为x|x； （3）根据题意，f（x）|x|即x2x22x+1x，解可得：x1， 则 A，1， 若对于任意 xA，函数 h（x）+2m 的值恒为负数，则 h（x）2x+2+m0 在，1上恒成立， 即 2x

27、+2m 在，1上恒成立， 设 g（x）2x+，在区间，上递减，1上递增； 且 g（）g（1）3，则 g（x）在，1上的最大值为 3， 若 2x+2m 在，1上恒成立，必有 2m3，解可得 m1， 即 m 的取值范围为（，1） 【点评】本题考查函数的恒成立问题，涉及二次函数的解析式的计算，关键是求出函数 的解析式，属于综合题 21 （14 分）若实数 x，y，m 满足|xm|ym|，则称 x 比 y 远离 m （1）若 2 比 3x4 远离 1，求 x 的取值范围； （2）对任意两个不相等的实数 a，b 证明比（）2远离 ab； （3）设函数 f（x）的定义域为 D，值域为 E，任取 xD，f（x）是 g（x）x22x3 和 h（x）2x+2 中远离 0 的那个值，写出 f（x）的解析式，并写出其定义域与值域 【分析】 （1） 运用基本不等式的知识可解决； （2） 绝对值不等式的解法可解决此问题； （3） 函数的解析式 【解答】解：根据题意得： （1） 1 解得x2； （2）证明：； 第 15 页（共 15 页） ab 比远离 ab； （3）令 x22x32x+20 得 x1 令 x22x32x+2 得 x1 或 x5 f（x） 定义域为 R 值域4，+） 【点评】本题考查不等式的知识和绝对值不等式的解法