2019-2020学年江苏省常州高中高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、关于 x 的不等式的解集为（ ） Ax|2x0，或 x0 Bx|x2，或 x0 C，或 x0 D，或 x0 5 （5 分）若函数则（ ） A B2 C D2 6 （5 分）要得到函数 y3sin（2x+）的图象，只需将函数 y3sin2x 的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 7 （ 5 分 ） 若 函 数满 足 对 任 意 的 x1 x2， 都 有 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，4 B C D 8 （5 分）16 世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学 家制造了很多数表用于计算，比

2、如德国数学斯蒂弗尔在综合算术中阐述了一种对应 关系： 第 2 页（共 20 页） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 已知光在真空中的传播速度为 300000 千米/秒，一年按 365 天计算，利用上表，估算 1 光年的距离大约为 2k千米（kN*） ，则 k 的值为（ ） A40 B41 C42 D43 二、多项选择题： （本题共二、

3、多项选择题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.） 9 （5 分）如图所示，四边形 ABCD 为梯形，其中 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 AB， CD 的中点，则下列结论正确的是（ ） A B C D 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若幂函数的图象经过点，则解析式为 yx 3 B若函数，则 f（x）在区间（，0）上单调递减 C幂函数 yx（0）始终

4、经过点（0，0）和（1，1） D若函数，则对于任意的 x1，x20，+）有 11 （5 分）已知函数 f（x）（xR）的值域为m，+） ，则实数 a 与实数 m 的取值可能为（ ） Aa0，m0 Ba1，m1 Ca3，m3 Da，m 第 3 页（共 20 页） 12 （5 分）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔巴塔尼大约公元 920 左右给出了一个关于 垂直高度为 h 的日晷及其投影长度 s 的公式：，即等价于现在的 s hcot，我们称 ycotx 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ） A函数 ycotx 的最小正周期为 2 B函数 ycotx 关于（，0）对称 C函数 yco

5、tx 在区间（0，）上单调递减 D函数 ytanx 的图象与函数 ycotx 的图象关于直线对称 三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知，是两个不共线的向量，若 与 是共 线向量，则实数 k 的值为 14 （5 分）若是函数 f（x）2cos（3x+） ，（0，）的一条对称轴，则函数 f（x） 在区间上的单调递减区间为 15 （5 分）已知，则 16 （5 分）已知奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当1x0 时，f（x） e2eax，若 3f（ln3）+2e20，则实数 a 的值为 四

6、、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤 17（10 分） 已知四边形 ABCD 的顶点坐标为 A （4， 1） ， B （3， 4） ， D （1， 2） ， 且 （0） （1）若点 C 在第一象限，求实数 的取值范围； （2）若点 M 为直线 AC 外一点，且，问实数 为何值时，点 P 恰为四 边形 ABCD 对角线的交点 18 （12 分） （1）已知角 的终边所在直线经过点（1，2） ，求的值； （2）已知（0） ，求 tan 的值 19 （12 分）已知函数 f（x）lg（2x2

7、3x2）的定义域为集合 A，函数 g（x）2x，x （，2的值域为集合 B，集合 Cx|x24mx+3m20（m0） （1）求 AB； 第 4 页（共 20 页） （2）若（AB）C，求实数 m 的取值范围 20 （12 分）如图，天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮， 是天津的地标之一永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮 盘穿过，摩天轮的直径为 110 米，外挂装 48 个透明座舱，在电力的驱动下逆时针匀速旋 转，转一圈大约需要 30 分钟现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点 P，当点 P 到 达最高点时，距离下层桥面的高度为 113 米，点

8、 P 在最低点处开始计时 （1）试确定在时刻 t（单位：分钟）时点 P 距离下层桥面的高度 H（单位：米） ； （2） 若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟， 问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？ 21 （12 分）已知函数（xR） （1）若函数 f（x）为奇函数，求实数 k 的值； （2）在（1）的条件下，若不等式 f（ax）+f（x24）0 对 x1，2恒成立，求实数 a 的取值范围 22 （12 分）对于函数 f（x） ，若存在定义域中的实数 a，b 满足 ba0 且 ，则称函数 f（x）为“M 类”函数 （1）试判断 f（x）sinx，xR 是否

9、是“M 类”函数，并说明理由； （2）若函数 f（x）|log2x1|，x（0，n） ，nN*为“M 类”函数，求 n 的最小值 第 5 页（共 20 页） 2019-2020 学年江苏省常州高中高一（上）期末数学试卷学年江苏省常州高中高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若 MxZ|6x6，Nx|x25x60，则 MN（ ） A2，3 B

10、1，6 C1，6 D2，3 【分析】可以求出集合 N，然后进行交集的运算即可 【解答】解：MxZ|6x6，N1，6， MN1，6 故选：C 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次方程的解法，交集的运算，考查 了计算能力，属于基础题 2 （5 分）若 （3，4） ， （1，5） ，则 3 2 的坐标为（ ） A （7，22） B （11，2） C （11，2） D （7，22） 【分析】进行向量的数乘运算即可 【解答】解：， 故选：B 【点评】本题考查了向量坐标的定义，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基 础题 3 （5 分）若 4，则角 的终边在（ ） A第一象限 B第二象限

11、C第三象限 D第四象限 【分析】直接由可知 4 的终边在第二象限 【解答】解：， 角 4 的终边在第二象限 故选：B 【点评】本题考查象限角与轴线角的概念，是基础的概念题 第 6 页（共 20 页） 4 （5 分）关于 x 的不等式的解集为（ ） Ax|2x0，或 x0 Bx|x2，或 x0 C，或 x0 D，或 x0 【分析】直接通过移项，通分进行化简后直接可求 【解答】解：由式可得0， 解可得 x0 或 x2， 故不等式的解集为x|得 x0 或 x2 故选：B 【点评】本题主要考查了分式不等式的求解，属于基础试题 5 （5 分）若函数则（ ） A B2 C D2 【分析】直接一步步代入即可

12、求解 【解答】解：函数 f（）f（）f（）log9log3 1 ； 故选：C 【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础 题 6 （5 分）要得到函数 y3sin（2x+）的图象，只需将函数 y3sin2x 的图象（ ） A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度 C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】由于函数 y3sin（2x+）3sin2（x+） ，故只要将函数 y3sin2x 的图象 相左平移个单位即可实现目标 【解答】解：由于函数 y3sin（2x+）3sin2（x+） ， 第 7 页（共 20 页） 故只要将函数 y3sin2x 的图象

13、相左平移个单位， 即可得到函数 y3sin（2x+）的图象 故选：C 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换，属于中档题 7 （ 5 分 ） 若 函 数满 足 对 任 意 的 x1 x2， 都 有 成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A （0，4 B C D 【分析】结合分段函数的单调性及一次函数与二次函数的性质即可求解 【解答】解：由题意可知，f（x）在 R 上单调递减， 根据分段函数的单调性可知， 解可得，0 故选：D 【点评】本题主要考查了分段函数的单调性的应用，属于基础试题 8 （5 分）16 世纪，随着航海和天文学的发展，人们需要面对越来越繁难的计算，那时数学 家制

14、造了很多数表用于计算，比如德国数学斯蒂弗尔在综合算术中阐述了一种对应 关系： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2048 4096 8192 16384 32768 65536 131072 262144 524288 1048576 已知光在真空中的传播速度为 300000 千米/秒，一年按 365 天计算，利用上表，估算 1 光年的距离大约为 2k千米（kN*） ，则 k 的值为（ ） A40 B41 C42 D43 第 8 页（共 20 页） 【分析

15、】估算 1 光年的距离大约为：300000365246060243千米，由此能求出 k 的值 【解答】解：光在真空中的传播速度为 300000 千米/秒，一年按 365 天计算，利 估算 1 光年的距离大约为：300000365246060243千米， k 的值为 43 故选：D 【点评】本题考查实数值的求法，考查指数的性质等基础知识，意在考查学生的逻辑推 理能力和分析转化能力，属于基础题 二、多项选择题： （本题共二、多项选择题： （本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 20 分分.在每小题给出的选项中，有多在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部

16、选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分.） 9 （5 分）如图所示，四边形 ABCD 为梯形，其中 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 AB， CD 的中点，则下列结论正确的是（ ） A B C D 【分析】直接根据向量的三角形法则和基本定理逐个判断即可 【解答】解：因为四边形 ABCD 为梯形，其中 ABCD，AB2CD，M，N 分别为 AB， CD 的中点， +；A 对 CM 为ACB 的中线； +；B 对 +；的、D 对 +）+（） 第 9 页（共 20 页） ；C 错； 故正确的有 ABD 故选：ABD 【点评】本题考查

17、了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用属于基础 题 10 （5 分）下列说法正确的是（ ） A若幂函数的图象经过点，则解析式为 yx 3 B若函数，则 f（x）在区间（，0）上单调递减 C幂函数 yx（0）始终经过点（0，0）和（1，1） D若函数，则对于任意的 x1，x20，+）有 【分析】直接利用函数的解析式和函数的图象和性质的应用求出结果 【解答】解：对于选项 A：幂函数的图象经过点，则函数的解析式为， 解得，整理得 y，故错误 对于选项 B：函数，则 f（x）在区间（，0）上单调递增，故错误 对于选项 C：幂函数 yx（0）始终经过点（0，0）和（1，1） ，故正确 对 于

18、 选 项D ： 由 于 数， 则 对 于 任 意 的x1， x20 ， + ） 有 ，根据凸函数的性质成立，故正确 故选：CD 【点评】本题考查的知识要点：函数的解析式和函数的图象和性质的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型 11 （5 分）已知函数 f（x）（xR）的值域为m，+） ，则实数 a 与实数 m 的取值可能为（ ） Aa0，m0 Ba1，m1 Ca3，m3 Da，m 【分析】可得出，结合函数的单调性和各选项 a 的取值， 可讨论 a：a10，即 a1 时，可得出 f（x）1，进而可得出 m1，从而判断选项 B 第 10 页（共 20 页） 正确；0a1

19、1，即 1a2 时，可得出 f（x）a，从而得出 am，从而判断选项 D 正确；a11，即 a2 时，可得出，从而判断选项 C 错误； a0 时，可以得出 m0，从而选项 A 正确 【解答】解： a10，即 a1 时，f（x）x2+11， 又 f（x）的值域为m，+） ， m1； 0a11，即 1a2 时，函数在1，+）上单调递增， ， 又 f（x）的值域为m，+） ， ma， 满足题意； a11，即 a2 时，函数在1，a1）上单调递减，在（a1，+）上 单调递增， ， ， a3 时，即 a3，m3 错误； a0 时，在1，+）上单调递增，0，m0 故选：ABD 【点评】本题考查了函数值域的

20、定义及求法，根据函数的单调性求值域的方法， 分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题 12 （5 分）出生在美索不达米亚的天文学家阿尔巴塔尼大约公元 920 左右给出了一个关于 垂直高度为 h 的日晷及其投影长度 s 的公式：，即等价于现在的 s hcot，我们称 ycotx 为余切函数，则下列关于余切函数的说法中正确的是（ ） A函数 ycotx 的最小正周期为 2 第 11 页（共 20 页） B函数 ycotx 关于（，0）对称 C函数 ycotx 在区间（0，）上单调递减 D函数 ytanx 的图象与函数 ycotx 的图象关于直线对称 【分析】 根据余切函数与正切函数之间的关系为：

21、 ycotx， 然后作出函数 ycotx 的图象，再逐一判断每个选项的正误即可 【解答】解：余切函数 ycotx，其图象如下图所示， 对于 A，函数 ycotx 的最小正周期为 ，不是 2，即 A 错误； 对于 B，ycotx 关于（，0）对称，即 B 正确； 对于 C，ycotx 在（0，）上单调递减，即 C 正确； 对于 D， 因为 tan （x+） cotxcotx， 所以 ytanx 与 ycotx 的图象并不关于 x 对称，即 D 错误 故选：BC 【点评】本题考查了余切函数的图象与性质，解题的关键点是根据正切函数与余切函数 的关系来作出函数 ycotx 的图象，考查了学生的转化能力

22、与作图能力，属于基础题 三、填空题（每题三、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知，是两个不共线的向量，若 与 是共 线向量，则实数 k 的值为 【分析】 与 是共线向量，设 ，解方程组求出即可 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：已知，是两个不共线的向量， 与 是共线向量， 设 ， 由，得 k， 故答案为： 【点评】考查向量共线定理，基础题 14 （5 分）若是函数 f（x）2cos（3x+） ，（0，）的一条对称轴，则函数 f（x） 在区间上的单调递减区间为 ， 【分析】根据题意，由余弦函数的对称性可得（+）k

23、，即 k，结合 的范围分析可得 的值，即可得 f（x）的解析式，据此求出函数 f（x）的递减区间，分 析可得答案 【解答】解：根据题意，若是函数 f（x）2cos（3x+） ，则有（+）k， 即 k， 又由 （0，）则 ， 则 f（x）2cos（3x+） ， 又由 2k3x+2k+，解可得：x+，其 f（x）的递减区 间为，+； 当 k1 时，其一个递减区间为， 则在区间上，其递减区间为，； 故答案为：， 【点评】本题考查余弦函数的性质，注意求出 的值，属于基础题 15 （5 分）已知，则 【分析】利用诱导公式化简即可求出结果 第 13 页（共 20 页） 【解答】解：2sin（）cos（）2

24、sin （x）+sin（x）， 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角函数的诱导公式，是基础题 16 （5 分）已知奇函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，且当1x0 时，f（x） e2eax，若 3f（ln3）+2e20，则实数 a 的值为 1 【分析】根据题意，由 3f（ln3）+2e20 变形可得 f（ln3），结合函数的奇偶 性可得 f（ln3）的值，又由 f（1+x）f（1x） ，可得 f（ln3）f（2+ln3） ， 据此结合函数的解析式可得 f（2+ln3）e2eaxe2ea （2+ln3） ，解可得 a 的 值，即可得答案 【解答】解：根据题意，若 3f（ln3）+2e

25、20，则 f（ln3）， 又由 f（x）为奇函数，则 f（ln3）f（ln3）， 又由函数 f（x）满足 f（1+x）f（1x） ，则 f（ln3）f（2+ln3） 而 1ln32，则12+ln30， 故 f（2+ln3）e2eaxe2ea （2+ln3） ， 则有 ea （2+ln3） e2 ln3， 分析可得：a1， 故答案为：1 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题 四、解答题：本四、解答题：本题共题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 已知四边形 ABC

26、D 的顶点坐标为 A （4， 1） ， B （3， 4） ， D （1， 2） ， 且 （0） （1）若点 C 在第一象限，求实数 的取值范围； （2）若点 M 为直线 AC 外一点，且，问实数 为何值时，点 P 恰为四 边形 ABCD 对角线的交点 【分析】 （1）求出两个向量的坐标结合第一象限内点的要求即可求解； 第 14 页（共 20 页） （2）由得，即，再结合若点 P 恰为 四边形 ABCD 对角线的交点且（0）即可求得结论 【解答】解： （1）因为 A（4，1） ，B（3，4） ，所以， 设点 C 的坐标为（x，y） ，则， 而（0） ，所以解得 因为点 C 在第一象限，所以 （2

27、）由得，即， 若点 P 恰为四边形 ABCD 对角线的交点且（0） ，则， 所以 【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用属于基础 题 18 （12 分） （1）已知角 的终边所在直线经过点（1，2） ，求的值； （2）已知（0） ，求 tan 的值 【分析】 （1）利用三角函数的定义求出 tan，再把原式分子分母同时除以 cos，转化为 tan，代入求值即可； （2）根据同角三角函数的基本关系求解 【解答】解： （1）因为角 的终边所在直线经过点（1，2） ，所以 tan2， 所以； （2）因为，所以，即， 因为 0，所以，即 sin0，cos0， 又因为，所以，

28、第 15 页（共 20 页） 由解得：； 所以 【点评】本题主要考查了三角函数的定义，以及同角三角函数的基本关系，是基础题 19 （12 分）已知函数 f（x）lg（2x23x2）的定义域为集合 A，函数 g（x）2x，x （，2的值域为集合 B，集合 Cx|x24mx+3m20（m0） （1）求 AB； （2）若（AB）C，求实数 m 的取值范围 【分析】 （1）由 f（x）lg（2x23x2） ，求出，或 x2，由 g（x） 2x，x（，2，求出 Bx|0x4，由此能求出 AB （2）Cx|mx3m，ABx|2x4，利用（AB）C，列出不等式组，能求 出实数 m 的取值范围 【解答】解：

29、（1）由 f（x）lg（2x23x2）可得：2x23x20， 所以，或 x2， 因为 g（x）2x，x（，2，所以 Bx|0x4， 所以，或 x0 （2）Cx|mx3m，ABx|2x4， 因为（AB）C，所以 解得： 故实数 m 的取值范围是（，2 【点评】本题考查并集、实数的取值范围的求法，考查并集、交集、子集定义等基础知 识，考查运算求解能力，是基础题 20 （12 分）如图，天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景摩天轮， 是天津的地标之一永乐桥分上下两层，上层桥面预留了一个长方形开口，供摩天轮轮 盘穿过，摩天轮的直径为 110 米，外挂装 48 个透明座舱，在电力的驱动

30、下逆时针匀速旋 转，转一圈大约需要 30 分钟现将某一个透明座舱视为摩天轮上的一个点 P，当点 P 到 第 16 页（共 20 页） 达最高点时，距离下层桥面的高度为 113 米，点 P 在最低点处开始计时 （1）试确定在时刻 t（单位：分钟）时点 P 距离下层桥面的高度 H（单位：米） ； （2） 若转动一周内某一个摩天轮透明座舱在上下两层桥面之间的运行时间大约为5分钟， 问上层桥面距离下层桥面的高度约为多少米？ 【分析】（1） 建立平面直角坐标系 由题可知 OP 在 t 分钟内所转过的角为， 以 Ox 为始边，OP 为终边的角为，从而点 P 的纵坐标为， 由此能求出在 t 分钟时点 P 距

31、离下层桥面的高度 （2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点 P 在分钟时距离下层桥面的 高度由此能求出上层桥面距离下层桥面的高度 【解答】解： （1）如图，建立平面直角坐标系 由题可知 OP 在 t 分钟内所转过的角为， 因为点 P 在最低点处开始计时， 所以以 Ox 为始边，OP 为终边的角为， 所以点 P 的纵坐标为， 则（t0） ， 答：在 t 分钟时点 P 距离下层桥面的高度 H 为（米） （2）根据对称性，上层桥面距离下层桥面的高度为点 P 在分钟时距离下层桥面的 高度 由（1）可知， 当时，（米） 第 17 页（共 20 页） 答：上层桥面距离下层桥面的高度约为米 【点评】

32、本题主要考查三角函数知识的应用，解题关键是利用题目中的条件找到破解方 法，合理建立坐标系，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于中档题 21 （12 分）已知函数（xR） （1）若函数 f（x）为奇函数，求实数 k 的值； （2）在（1）的条件下，若不等式 f（ax）+f（x24）0 对 x1，2恒成立，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）由奇函数的性质可得 f（0）0，解方程可得 k 的值； （2）判断 f（x）在 R 上的单调性，由题意可得 x2+ax40 对 x1，2恒成立令 g （x）x2+ax4，运用二次函数的图象和性质，可得所求范围 【解答】解： （1）因为 f（x）为

33、奇函数且定义域为 R，则 f（0）0，即，所以 k1 当 k1 时，满足条件 f（x）为奇函数； （2） 由不等式 f （ax） +f （x24） 0 对 x1， 2恒成立得 f （x24） f （ax） 对 x 1，2恒成立， 因为 f（x）为奇函数，所以 f（x24）f（ax）对 x1，2恒成立（*） ， 在 R 上任取 x1，x2，且 x1x2， 则， 第 18 页（共 20 页） 因为 x2x1，所以， 所以 f（x1）f（x2）0，即 f（x1）f（x2） ， 所以函数 f（x）在区间（1，+）上单调递减； 所以（*）可化为 x24ax 对 x1，2恒成立， 即 x2+ax40 对

34、x1，2恒成立 令 g（x）x2+ax4， 法一：因为 g（x）的图象是开口向上的抛物线， 所以由 g（x）0 有对 x1，2恒成立可得：即 解得3a0， 所以实数 a 的取值范围是3a0 法二：g（x）x2+ax4（x+）24， 当，即 a1 时，g（x）maxg（2）2a0，解得1a0； 当，即 a1 时，g（x）maxg（1）a30，解得3a1 综上所述：实数 a 的取值范围是3a0 【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，考查不等式恒成立问题解法， 注意运用转化思想和二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题 22 （12 分）对于函数 f（x） ，若存在定义域中的实数

35、a，b 满足 ba0 且 ，则称函数 f（x）为“M 类”函数 （1）试判断 f（x）sinx，xR 是否是“M 类”函数，并说明理由； （2）若函数 f（x）|log2x1|，x（0，n） ，nN*为“M 类”函数，求 n 的最小值 【分析】本题第（1）题假设 f（x）为 M 类函数，则存在 ba0，使得 sinasinb，解 得 ba+2k，kZ 或者 b+a+2k，kZ，然后根据 a、b 的两种关系式代入 ，计算 sina 的值，发现 sina 的值均不满足题意，故函数 f（x）不是 M 类函数；第（2）题将函数 f（x）转化为分段函数后可发现 f（x）在（0，2）单调递减， 在（0，+

36、）单调递增依题意有 0a2b，进一步计算可得 ab4，然后将 a代 入，通过对数运算，因式分解，以及构造函数法找到 b（6， 第 19 页（共 20 页） 7） ，则即可得到 n 的最小值为 7 【解答】解： （1）由题意，假设 f（x）为 M 类函数，则存在 ba0，使得 sinasinb， 则 ba+2k，kZ 或者 b+a+2k，kZ， 根据题意，有 当 ba+2k，kZ 时，有 sina2sin（a+k） ，kZ， 即 sina2sina，解得 sina0，不成立； 当 b+a+2k，kZ 时，有，kZ， 即 sina2，不成立， 函数 f（x）不是 M 类函数 （2）由题意，则 f（

37、x）在（0，2）单调递减，在（0，+ ）单调递增 又f（x）是 M 类函数， 存在 0a2b，满足， 由等式可得：log2（ab）2，则 ab4， 所以， 则，所以得， 从而有，则有，即， 所以 b48b3+8b2+160，则（b2） （b36b24b8）0， 由 b2，则 b36b24b80， 令 g（x）x36x24x8， 当 2x6 时，g（x）（x6）x24x80， 且 g（6）320，g（7）130，且 g（x）连续不断， 由零点存在性定理可得存在 b（6，7） ，使得 g（b）0，此时 a（0，2） ， n 的最小值为 7 【点评】本题主要考查新定义函数的定义判断，及求最值问题，考查了转化思想，方程 思想的应用，三角函数，对数的运算，不等式的计算，因式分解，构造函数法，零点定 理的综合运用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力本题属偏难题