2019-2020学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知常数 aR+，函数 f（x）为奇函数，则 a 8 （5 分）已知常数 aR，函数 f（x）x24x+a 在1，4上有两个不同的零点，则 a 的取 值范围为 9 （5 分）已知常数 aR、函数 f（x），若 f（x）的最大值与最小值之差为 2，则 a 10 （5 分）设 x，y，zR+，满足 2x3y6z，则 2x+的最小值为 11 （5 分）已知常数 aR+，函数 f（x）log2（x2+a） ，g（x）ff（x）若 f（x）与 g（x） 有相同的值域，则 a 的取值范围为 12 （5 分）已知常数 aR设函数 f（x）3x3+（2a1）x+a，定义域为（0，） ， 若 f（x）的最小值为

2、 0，则 a 的取值范围为 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）已知常数 aQ，如图为幂函数 yxa的图象，则 a 的值可以为（ ） 第 2 页（共 16 页） A B C D 14 （5 分）设集合 Ax|（x+1） （x2）0，Bx|0则“xA”是“xB”的 （ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15 （5 分）设集合 S（x，y，z）|xyyzzx，实数 x，y，z 均大于 1，且它们互不相等， 则 S 中（ ） A元素个数为 0 B元素个数为 3 C元素个数为 6 D含

3、有无穷个元素 16 （5 分）若函数 f（x）的图象上存在关于直线 yx 对称的不同两点，则称 f（x）具有性 质 P，已知 a，b 为常数，函数 g（x）2x+，h（x），对于命题：存在 aR+， 使得 g （x） 具有性质 P； 存在 bR+， 使得 h （x） 具有性质 P， 下列判断正确的是 （ ） A和均为真命题 B和均为假命 C为真命题，为假命题 D为假命题，为真命题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）已知常数 aR，函数 f（x）|2x1|+a （1）若 a3，解不等式 f（x）0； （2）若关于 x 的不等式 f（x）

4、1 对任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围 18 （14 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，当 x0 时，f（x）2x （1）求函数 g（x）f（x）x（x0）的零点； （2）若 f（x）为偶函数，当 x0 时，解不等式 f（x）4x3 19 （14 分）研究发现，在 40 分钟的一节课中，注意力指标 p 与学生听课时间 t（单位：分 钟）之间的函数关系为 p （1）在上课期间的前 14 分钟内（包括第 14 分钟） ，求注意力指标的最大值； （2）根据专家研究，当注意力指标大于 80 时，学生的学习效果最佳现有一节 40 分钟 的课，其核心内容为连续的 25 分钟，问：教师是否能够安排

5、核心内容的时间段，使得学 生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？ 第 3 页（共 16 页） 20 （16 分）已知常数 aR+，函数 f（x）x2ax+1 （1）若 a3，解方程 log3f（x）1+log3（x） ； （2）设函数 g（x）f（x）若 g（x）在0，上单调递减，求 a 的取值范围； （3）设集合 Ax|f（x）x+a3，xa1的元素个数为 n，求 n 关于 a 的函数 n（a） 在 R+的表达式 21 （18 分）已知函数 f（x） ，g（x）的定义域分别为 D1，D2，若存在常数 CR+，满足： 对任意 x0D1，恒有 x0+CD1，且 f（x0）f（x0+C）

6、 ； 对任意 x0D1，关于 x 的不等式组 f（x0）g（x）g（x+C）f（x0+C）恒有解，则 称 g（x）为 f（x）的一个“C 型函数” （1）设函数 f（x）和 g（x），求证：g（x）为 f （x）的一个“型函数” ； （2）设常数 aR，函数 f（x）x3+ax（x1） ，g（x）2x（x1） 若 g（x）为 f （x）的一个“1 型函数” ，求 a 的取值范围； （3）设函数 f（x）x24x（x0） 问：是否存在常数 tR+，使得函数 g（x）x+ （x0）为 f（x）的一个“t 型函数”？若存在，求 t 的取值范围；若不存在，说明理由 第 4 页（共 16 页） 2019

7、-2020 学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 小题，满分小题，满分 54 分，第分，第 1-6 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分）分） 1 （4 分）集合 A1，2，B2，3，则 AB 1，2，3 【分析】由集合 A 与 B，求出两集合的并集即可 【解答】解：A1，2，B2，3， AB1，2，3 故答案为：1，2，3 【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键 2 （4 分）设函数 f（x）+，

8、g（x），则函数 f（x） g（x）的定义 域为 0，+） 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 分别求解 f（x）与 g（x）的定义域，取交集可 得函数 f（x） g（x）的定义域 【解答】解：由，解得 x0， 函数 f（x）的定义域为0，+） ； 同理求得函数 g（x）的定义域为0，+） 则函数 f（x） g（x）的定义域为0，+） 故答案为：0，+） 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题 3 （4 分）已知函数 f（x）满足 f（）x，则 f（4） 16 【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，将 x4 代入计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）满足 f（）x，则

9、 f（x）x2， （x0） ； 故 f（4）4216； 故答案为：16 【点评】本题考查函数值的计算，涉及函数的解析式，属于基础题 4 （4 分）将函数 f（x）x3的图象向右平移 2 个单位后，得到函数 g（x）的图象，则 g（2） 0 【分析】根据函数平移关系进行求解即可 第 5 页（共 16 页） 【解答】解：将函数 f（x）x3的图象向右平移 2 个单位后，得到函数 g（x）的图象， 即 g（x）（x2）3，则 g（2）0， 故答案为：0 【点评】本题主要考查函数值的计算，结合函数平移关系求出函数的解析式是解决本题 的关键比较基础 5 （4 分）已知常数 aR，设集合 Aa，+） ，B

10、1，0，1，若 BA，则 a 的最大值 为 1 【分析】根据集合的包含关系，求出 a 【解答】解：集合 Aa，+） ，B1，0，1，若 BA， 所以 a1， 故 a 最大值为1， 故答案为：1 【点评】考查集合与集合的关系，含参问题求范围，中档题 6 （4 分）设函数 f（x）1og2（3x1）的反函数为 f 1（x） ，若 f1（a）3，则 a 3 【分析】由互为反函数的性质可得，直接求出 a 的值 【解答】解：由互为反函数的性质可得：由题意可得：若 f 1（a）3，即 af（3） log2（331）log283， 故答案为：3 【点评】考查互为反函数的性质，属于基础题 7 （5 分）已知常

11、数 aR+，函数 f（x）为奇函数，则 a 1 【分析】根据题意，由奇函数的定义可得 f（x）f（x） ，即（） ， 变形分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数 f（x）为奇函数，即 f（x）f（x） ， 则有， 变形可得： （a1） 2xa1， 则有 a1； 第 6 页（共 16 页） 故答案为：1 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题 8 （5 分）已知常数 aR，函数 f（x）x24x+a 在1，4上有两个不同的零点，则 a 的取 值范围为 3，4） 【分析】根据二次函数的单调区间，结合函数零点判定定理列出不等式解得即可 【解答】解：函数 f（x）

12、对称轴为 x2，且在 x2 时单调递减，在 x2 时单调递增， 要使函数 f（x）x24x+a 在1，4上有两个不同的零点， 则 f（1）14+a0，f（4）1616+a0，f（2）48+a0， 解得 3a4，故 a 的取值范围是3，4） ， 故答案为3，4） 【点评】本题考查函数的基本性质，函数零点判定定理，属于中档题， 9 （5 分）已知常数 aR、函数 f（x），若 f（x）的最大值与最小值之差为 2，则 a 【分析】xR，f（x），x22ax+10，即 x2+2ax 10 必有两个不等实数根 x1，x2不妨设 x1x2，f（x），可 知： xx1时取得极小值即最小值， xx2时取得极大

13、值即最大值 f （x2） f （x1） 2，化简把根与系数的关系代入即可得出 另解：运用判别式法，利用求根公式即可得出 【解答】解：xR，f（x）， x22ax+10，即 x2+2ax10 必有两个不等实数根 x1，x2 不妨设 x1x2，x1+x22a，x1x21 f（x）， 可知：xx1时取得极小值即最小值，xx2时取得极大值即最大值 第 7 页（共 16 页） f（x2）f（x1）2， 化为：x1+x2+a+a（x1x2+a+a）2（1+1+） a 另解：由 y，化为：yx2x+ya0， 由 xR，14y（ya）0，解得：y 2， 解得 a， 经过验证满足题意 故答案为： 【点评】本题考

14、查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、一元二次方程 的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 10 （5 分）设 x，y，zR+，满足 2x3y6z，则 2x+的最小值为 2 【分析】结合对数的换底公式及基本不等式的性质即可求解 【解答】解：设 2x3y6zk， 则 xlog2k，ylog3k，zlog6k，k1， 则 2x+2log2k+logk6logk32log2k+logk2， 当且仅当 2log2klogk2 时取等号，此时取得最小值 2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了对数的换底公式的应用及利用基本不等式求解最值属于基础试 题 11 （5 分）已知常数

15、 aR+，函数 f（x）log2（x2+a） ，g（x）ff（x）若 f（x）与 g（x） 有相同的值域，则 a 的取值范围为 （0，1 【分析】由已知求得 f（x）的最小值，结合题意可得 f（x）的最小值小于 0，求解对数不 等式得答案 【解答】解：aR+，x2+aa， 第 8 页（共 16 页） f（x）minlog2a， 函数 g（x）ff（x），若 f（x）与 g（x）有相同的值域， 则 f（x）minlog2a0，即 0a1 a 的取值范围为（0，1 故答案为： （0，1 【点评】本题考查函数值域的简单应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 12 （5 分）已知常数 aR设函数

16、 f（x）3x3+（2a1）x+a，定义域为（0，） ， 若 f（x）的最小值为 0，则 a 的取值范围为 ，+） 【分析】函数 f（x）3x3+（2a1）x+a，定义域为（0，） ，f（x）的最小 值为 0，可得 f（x）0，化为：a令 t2，则 x2可 得 af（t） ，t2变形利用基本不等式的性质即可得出 【解答】解：函数 f（x）3x3+（2a1）x+a，定义域为（0，） ，f（x）的 最小值为 0， f（x）0，化为：a 令 t2，则 x2 af（t） ，t2 则 f（t） a 故答案为：，+） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法，考查 了推理能力

17、与计算能力，属于中档题 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 第 9 页（共 16 页） 13 （5 分）已知常数 aQ，如图为幂函数 yxa的图象，则 a 的值可以为（ ） A B C D 【分析】根据幂函数的图象关于 y 轴对称，且在第一象限内单调递减，可以得出 C 选项 正确 【解答】解：根据幂函数 yxa的图象关于 y 轴对称，函数是偶函数，排除 B、D 选项； 再根据幂函数 yxa的图象在第一象限内从左到右下降，是单调减函数， 所以 a0，排除 A，即 C 选项正确 故选：C 【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是

18、基础题 14 （5 分）设集合 Ax|（x+1） （x2）0，Bx|0则“xA”是“xB”的 （ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【分析】利用不等式的解法化简 A，B，即可判断出关系 【解答】解：集合 Ax|（x+1） （x2）0x|x2，或 x1， Bx|+0x|x2，或 x1 则“xA”是“xB”的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 15 （5 分）设集合 S（x，y，z）|xyyzzx，实数 x，y，z 均大于 1，且它们互不相等， 则 S 中（ ） A元素个数为

19、 0 B元素个数为 3 C元素个数为 6 D含有无穷个元素 【分析】设 1xy，xyyz，实数 x，y，z 均大于 1，且它们互不相等，可得 zy， 第 10 页（共 16 页） 由 yzzx，则 xz，由 xyzx，则 yx得出矛盾，即可得出结论 【解答】解：设 1xy，xyyz，实数 x，y，z 均大于 1，且它们互不相等， zy， 由 yzzx，则 xz， 由 xyzx，则 yx与 1xy 矛盾， 因此不存在 x，y，z 满足条件 因此 S 中不含有元素 故选：A 【点评】本题考查了指数函数幂函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 16 （5 分）若函数 f（

20、x）的图象上存在关于直线 yx 对称的不同两点，则称 f（x）具有性 质 P，已知 a，b 为常数，函数 g（x）2x+，h（x），对于命题：存在 aR+， 使得 g （x） 具有性质 P； 存在 bR+， 使得 h （x） 具有性质 P， 下列判断正确的是 （ ） A和均为真命题 B和均为假命 C为真命题，为假命题 D为假命题，为真命题 【分析】关于直线 yx 对称的两点一定在直线 yx+m 上，所以若函数 f（x）具有性 质 P，则函数 f（x）与直线 yx+m 有两个不同交点，然后联立函数与直线方程，求解 方程根的个数问题即可 【解答】解：关于直线 yx 对称的两点一定在直线 yx+m

21、上，所以若函数 f（x）具 有性质 P，则函数 f（x）与直线 yx+m 有两个不同交点 令x+m，化简得 3x2mx+a0，若有两个交点，则m212a0， 可取 m4，a1，故存在 aR+，使得 g（x）具有性质 P，即为真命题； 令 h（x）x+m，化简得 x3mx2+bx10，即， 因为 bR+，所以该式子不可能有两个根，故不存在 bR+，使得 h（x）具有性质 P，即 为假命题 故选：C 【点评】本题考查了函数的新定义问题，考查了学生转化与化归的能力，属于中档题 三、解答题（本大三、解答题（本大题共题共 5 题，共题，共 76 分）分） 17 （14 分）已知常数 aR，函数 f（x）

22、|2x1|+a 第 11 页（共 16 页） （1）若 a3，解不等式 f（x）0； （2）若关于 x 的不等式 f（x）1 对任意 xR 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a3，得到|2x1|3，求出 x 的范围即可； （2）不等式|2x1|+a1 对任意 xR 恒成立可化为 a1|2x1|max，利用|2x1|0 恒成立即可求出 a 的范围 【解答】解： （1）a3，f（x）0，即|2x1|30， 即32x13， 解得1x2，f（x）0 的解集为1，2 （2）对任意 xR，不等式 f（x）1 恒成立，即|2x1|+a1 恒成立， |2x1|0， a1|2x1|max1， a

23、1 【点评】本题主要考查绝对值不等式解法、考查运算能力，属于基础题 18 （14 分）已知函数 f（x）的定义域为 R，当 x0 时，f（x）2x （1）求函数 g（x）f（x）x（x0）的零点； （2）若 f（x）为偶函数，当 x0 时，解不等式 f（x）4x3 【分析】 （1）将求函数的零点转化为求方程的解，进而求出方程的解，可得函数的零点； （2）由于函数为偶函数，由偶函数的性质，由已知 x0 的解析式可得 x0 的 f（x）的 解析式，进而求出不等式的解集 【解答】解： （1）求 g（x）f（x）x（x0）的零点，即是求方程 f（x）x（x0） 的解， 由题意可得：2xx，整理可得：x

24、2+x20，x0，所以解得 x1， 所以 g（x）f（x）x（x0）的零点为：1； （2）若 f（x）为偶函数，设 x0，则x0，由题意可得 f（x）2（x） 2x+， 由于 f（x）为偶函数，所以 f（x）f（x）2x+， 所以 f（x）2x+，x0， 第 12 页（共 16 页） 由题意可得：2x+4x3，x0 整理可得：2x2+x10，x0， 解得：x1， 所以不等式的解集为： （，1） 【点评】考查函数的偶函数的性质及函数的零点与方程根的互化，属于基础题 19 （14 分）研究发现，在 40 分钟的一节课中，注意力指标 p 与学生听课时间 t（单位：分 钟）之间的函数关系为 p （1）

25、在上课期间的前 14 分钟内（包括第 14 分钟） ，求注意力指标的最大值； （2）根据专家研究，当注意力指标大于 80 时，学生的学习效果最佳现有一节 40 分钟 的课，其核心内容为连续的 25 分钟，问：教师是否能够安排核心内容的时间段，使得学 生在核心内容的这段时间内，学习效果均在最佳状态？ 【分析】 （1）利用二次函数的性质即可求解； （2）分段求出满足 P80 的 t 的范围，再与 25 比较即可得出结论 【解答】解： （1）当 0t14 时，P， 当 t时，P 的值最大，最大值为：82； （2）当 0t14 时，令 P80，解得， ， 当 14t40 时，令 83log3（t5）8

26、0，解得 5t32，t14，32， ， 32（122）20+225， 教师不能够安排核心内容的时间段，使得学生在核心内容的这段时间内，学习效果均 在最佳状态 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 20 （16 分）已知常数 aR+，函数 f（x）x2ax+1 （1）若 a3，解方程 log3f（x）1+log3（x） ； 第 13 页（共 16 页） （2）设函数 g（x）f（x）若 g（x）在0，上单调递减，求 a 的取值范围； （3）设集合 Ax|f（x）x+a3，xa1的元素个数为 n，求 n 关于 a 的函数 n（a） 在 R+的表达式 【分析】 （1）根据对数的运算性质以及

27、对数函数的性质，即可解得； （2）根据复合函数的单调性可知，f（x）在 x0，单调递减，再根据二次函数的单调 性和 f（）0，即可求出； （3）当 x1 时，原方程可变为 a+3x+1+，所以方程解的个数可转化为直线 y a+3 与曲线 yt+在a，+）上的图象的交点个数，即可求出 【解答】解： （1）a3 时 f（x）x23x+1，所以方程为：log3（x23x+1）log33（x ）log3（3x4） ， 所以可得：解得：x5 或 x1（舍） ， 所以方程的解为：x5 （2）设函数 g（x）f（x）若 g（x）在0，上单调递减可得： f（x）0，且 f（x）在 x0，单调递减， 所以可得解

28、得，即 所以 a 的取值范围为：； （3）x1 显然不是方程 x2ax+1x+a3 的解 当 x1 时，原方程可变为 a+3x+1+， 令 tx+1a，+） ，则 a+3t+， 所以当 0a23 时，方程无解； 当 a时，方程只有一解； 第 14 页（共 16 页） 当a时，方程有两解； 当 a时，方程只有一解 故 n（a） 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，对数函数的性质，复合函数的单调性，以及 含参的一元二次方程在限定区间上的解的个数问题的解法，考查学生利用所学知识综合 处理问题的能力，属于较难题 21 （18 分）已知函数 f（x） ，g（x）的定义域分别为 D1，D2，若存在常数

29、CR+，满足： 对任意 x0D1，恒有 x0+CD1，且 f（x0）f（x0+C） ； 对任意 x0D1，关于 x 的不等式组 f（x0）g（x）g（x+C）f（x0+C）恒有解，则 称 g（x）为 f（x）的一个“C 型函数” （1）设函数 f（x）和 g（x），求证：g（x）为 f （x）的一个“型函数” ； （2）设常数 aR，函数 f（x）x3+ax（x1） ，g（x）2x（x1） 若 g（x）为 f （x）的一个“1 型函数” ，求 a 的取值范围； （3）设函数 f（x）x24x（x0） 问：是否存在常数 tR+，使得函数 g（x）x+ （x0）为 f（x）的一个“t 型函数”？若

30、存在，求 t 的取值范围；若不存在，说明理由 【分析】 （1）x00，时，f（x0）1，f（x0+）1，1g（x）g（x+） 1，判断是否有解即可得出 x0时，f（x0）1，f（x0+）1，1g（x）g（x+）1，判断是否有解即 可得出 （2）设常数 aR，函数 f（x）x3+ax（x1） ，g（x）2x（x1） 由 g（x）为 f （x）的一个“1 型函数” ，可得x01，f（x0）g（x）g（x+C）f（x0+C）恒有 解，+ax02x2（x+1）+a（x0+1） +ax0+a（x0+1） 化 为：a2x01，a0解出即可得出 第 15 页（共 16 页） （3） 假设存在常数 tR+，

31、使得函数 g （x） x+（x0） 为 f （x） 的一个 “t 型函数” 4x0x+x+t+4 （x0+t） x00， x0 由4x0 4（x0+t） 可得 t42x0，t4由 x+x+t+，解得 0xt进而判断出 结论 【解答】 （1）证明：x00， 时，f（x0）1，f（x0+）1，1g（x）g（x+） 1， 0x时，g（x）1，g（x+）0，上述不等式的解集为 x时，g（x）g（x+）0，上述不等式恒成立，其解集为x|x x0时，f（x0）1，f（x0+）1，1g（x）g（x+）1， 0x时，g（x）1，g（x+）0，上述不等式的解集为 x时，g（x）1g（x+） ，上述不等式的解集为

32、 x时，g（x）g（x+）0，上述不等式的解集为 因此 g（x）为 f（x）的一个“型函数” （2）设常数 aR，函数 f（x）x3+ax（x1） ，g（x）2x（x1） g（x）为 f（x）的一个“1 型函数” ， x01，f（x0）g（x）g（x+C）f（x0+C）恒有解， +ax02x2（x+1）+a（x0+1） +ax0+a（x0+1） 化为：a2x01，a0 f（x）x3+ax（x1） ， f（x）3x2+a0，函数 f（x）在1，+）单调递增 则（+ax0）x+a（x0+1）1 +a（x0+1）1（+ax0） 化为：a3x23x+13+x1，+） 第 16 页（共 16 页） a 综上可得：a （3）假设存在常数 tR+，使得函数 g（x）x+（x0）为 f（x）的一个“t 型函数” 则4x0x+x+t+4（x0+t） x00，x0 由4x04（x0+t） 可得 t42x0， t4 由 x+x+t+，解得 0xt x00，x0 由4x0x+，对于任意给定的 x0，此不等式在 0xt 范围内恒有解 由 x+t+4（x0+t） x00，x0对于任意给定的 x0，此不等式在 0 xt 范围内恒有解 综上可得：t4 【点评】本题考查了函数的单调性、基本不等式的性质、分类讨论，考查了推理能力与 计算能力，属于难题