2019-2020学年上海市黄浦区高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、若函数 f（x）2|x a|+1 在1，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是 6 （4 分）正实数 x，y 满足：2x+y1，则+的最小值为 7 （4 分）方程（lgx）21gx23 的解为 8 （4 分）函数 f（x），在区间2019，2019上的最大值为 M最小 值为 m则 M+m 9 （4 分）函数 f（x）的定义域为 D，值域为 A，点集（x，y）|xD，yA 构成的图象面积等于 2，则实数 a 10 （4 分）设函数 f（x）的定义域是 R，满足 f（x+1）2f（x） ，且当 x（0，1时，f（x） x（x1） ，若对于任意的 x（，m，都有 f（x）成立，则实数 m 的取值

2、范围为 二、选择题（每题二、选择题（每题 4 分）分） 11 （4 分）下列函数中是偶函数的是（ ） Ayx Byx 2 Cy2x Dylog2x 12 （4 分） “函数 yf（x）在区间 I 上单调“是“函数 yf（x）在 I 上有反函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 13 （4 分）已知函数 ylog2（x+a）+b 的图象不经过第四象限，则实数 a、b 满足（ ） Aa1，b0 Ba0，b1 Cb+1og2a0 Da+2b0 14 （4 分）已知函数 f（x）+，给出下列判断： （1）函数 f（x）的值域为 R； （2）f（x）在

3、定义域内有三个零点； 第 2 页（共 14 页） （3）f（x）图象是中心对称图象 其中正确的判断个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 三、解答题（满分三、解答题（满分 49 分）分） 15 （6 分）已知集合 Ax|xa|2，xR，Bx|1，xR （1）求 A、B； （2）若 AB，求实数 a 的取值范围 16 （9 分）已知某种气垫船的最大航速是 48 海里/小时，船每小时使用的燃料费用和船速的 平方成正比若船速为 30 海里/小时，则船每小时的燃料费用为 600 元，其余费用（不 论船速为多少）都是每小时 864 元甲乙两地相距 100 海里，船从甲地匀速航行到乙地 （1

4、）试把船从甲地到乙地所需的总费用 y 表示为船速 x（海里/小时）的函数，并指出函 数的定义域； （2）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？最少费用为多少 元？ 17 （10 分）已知函数 f（x）x+2（mR） （1）若函数 yf（x）图象上动点 P 到定点 Q（0，2）的距离最小值是，求实数 m 的 值： （2）若函数 yf（x）在区间2，+）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数 m 的 取值范围 18 （12 分）已知函数 f（x）loga（a0，a0，b0） （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并说明理由； （3）求 f（x）的反

5、函数 f 1（x）的解析式 19 （12 分）已知函数 yf（x）的定义域为区间 D，若对于 D 内任意 x1、x2（x1x2） ，都 有f（）成立，则称函数 f（x）是区间 D 的“ 函数” （1）判断函数 f（x）（x0）是否是“ 函数”？说明理由； （2）已知 a1，求证：函数 g（x）logax（x0）是“ 函数” ； （3）设函数 h（x）是a，b（ab）上的“ 函数” ，h（a）0，h（b）0，且存在 ca， 第 3 页（共 14 页） b使得 h（c）0，试探讨函数 h（x）在区间a，b上零点个数，并用图象作出简要的说 明（结果不需要证明） 第 4 页（共 14 页） 2019-

6、2020 学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷学年上海市黄浦区格致中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（填空题（1-5 每题每题 3 分，分，6-10 每题每题 4 分） ：分） ： 1 （3 分）已知集合 A1，3，4，5，7，B2，3，5，7，8，则 AB 3，5，7 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：A1，3，4，5，7，B2，3，5，7，8， AB3，5，7 故答案为：3，5，7 【点评】本题考查了列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （3 分）不等式|2x1|3 的解集为 x|1x2 【分析】将 2x1 看

7、成整体，利用绝对值不等式将原不等式转化成整式不等式，最后利 用不等式基本性质求解即可 【解答】解：|2x1|3 32x13 1x2， 不等式|2x1|3 的解集为 x|1x2 故答案为：x|1x2 【点评】本小题主要考查函数不等式、绝对值不等式、不等式的解法等基础知识，考查 运算求解能力、化归与转化思想属于基础题 3 （3 分）函数 f（x）+lg（1x）的定义域为 x|0x1 【分析】直接由根式内部的代数式大于等于 0，对数式的真数大于 0，求解即可得答案 【解答】解：由，解得 0x1 函数 f（x）+lg（1x）的定义域为x|0x1 故答案为：x|0x1 【点评】本题考查了函数的定义域及其

8、求法，考查了不等式的解法，是基础题 4 （3 分）若“x3”是“xa“的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是 a3 【分析】根据： “x3”是“xa“的充分不必要条件即可得出 【解答】解： “x3”是“xa“的充分不必要条件， 第 5 页（共 14 页） a3 故答案为：a3 【点评】本题考查了不等式的意义、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 5 （3 分）若函数 f（x）2|x a|+1 在1，+）上是增函数，则实数 a 的取值范围是 （ ，1 【分析】利用复合函数的单调性，结合函数的对称轴，推出结果即可 【解答】解：函数 f（x）2|x a|+1 的对称轴为 x

9、a， 函数 f（x）2|x a|+1 在1，+）上是增函数，可得 a1 故答案为： （，1 【点评】本题考查复合函数的单调性的判断与应用，函数的对称轴的求法，是基本知识 的考查，基础题 6 （4 分）正实数 x，y 满足：2x+y1，则+的最小值为 9 【分析】利用“乘 1 法”求解即可 【解答】解：，当且仅当时取 等号 故答案为：9 【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题 7 （4 分）方程（lgx）21gx23 的解为 1000 或 【分析】原方程等价于（lgx3） （lg+1）0，解得即可 【解答】解：原方程可化为（lgx）22lgx30，即（lgx3） （lg+1）0，

10、即有 lgx3 或 lgx1，解得 x1000 或 x， 故答案为 1000 或 【点评】本题考查方程的求解，涉及对数函数求值等，属于基础题 8 （4 分）函数 f（x），在区间2019，2019上的最大值为 M最小 值为 m则 M+m 2 第 6 页（共 14 页） 【分析】设 g（x），则 g（x）为奇函数，则根据奇函数与最值性质进行 求解即可 【解答】解：设 g（x），g（x） g（x） ； 则 g（x）是奇函数， f（x）g（x）+1 在区间2019，2019上的最大值为 M，即 Mg（x）max+1， f（x）在区间2019，2019上的最小值为 m，即 mg（x）min+1， g（

11、x）是奇函数，g（x）max+g（x）min0， 则 M+mg（x）max+g（x）min+22， 故答案为：2 【点评】本题主要考查函数值的计算，结合条件构造奇函数，利用奇函数最值性质进行 转化是解决本题的关键属于中档题 9 （4 分）函数 f（x）的定义域为 D，值域为 A，点集（x，y）|xD，yA 构成的图象面积等于 2，则实数 a 1 或 3 【分析】a1 时不符合题意，舍去a1 时，由（ax） （x1）0，解得 1xa， 可得定义域为：D1，a利用二次函数的单调性可得值域 A，根据点集（x，y）|xD， yA构成的图象面积等于 2，即可得出 aa1 时，同理可得 【解答】解：a1

12、时不符合题意，舍去 a1 时，由（ax） （x1）0，解得 1xa，可得定义域为：D1，a （ax） （x1）+，可得值域 A0， 点集（x，y）|xD，yA构成的图象面积等于 2， （a1） 2，解得 a3 a1 时，由（ax） （x1）0，解得 ax1，可得定义域为：Da，1 （ax） （x1）+，可得值域 A0， 点集（x，y）|xD，yA构成的图象面积等于 2， （1a） 2，解得 a1 第 7 页（共 14 页） 综上可得：a1 或 3 故答案为：1 或 3 【点评】本题考查了函数的图象与性质、分类讨论方法、方程的解法，考查了空间想象 能力、推理能力与计算能力，属于中档题 10 （4

13、 分）设函数 f（x）的定义域是 R，满足 f（x+1）2f（x） ，且当 x（0，1时，f（x） x（x1） ，若对于任意的 x（，m，都有 f（x）成立，则实数 m 的取值 范围为 m 【分析】因为 f（x+1）2f（x） ，可得 f（x）2f（x1） ，分段求解析式，结合函数的 值域可得 【解答】解：因为 f（x+1）2f（x） ，f（x）2f（x1） ， x（0，1时，f（x）x（x1），0， x（1，2时，x1（0，1，f（x）2f（x1） 2（x1） （x2），0； x（2，3时，x1（1，2，f（x）2f（x1） 4（x2） （x3）1，0， x（3，4时，f（x）8（x3） （

14、x4）2，0 当 x（2，3时，由 8（x4） （x3）解得 x或 x， 若对任意 x（，m，都有 f（x），则 m 故答案为：m 【点评】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题 二、选择题（每题二、选择题（每题 4 分）分） 第 8 页（共 14 页） 11 （4 分）下列函数中是偶函数的是（ ） Ayx Byx 2 Cy2x Dylog2x 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y，其定义域为0，+） ，不是偶函数，不符合题意； 对于 B，yx 2 ，是偶函数，符合题意； 对于 C，y2x，是指数函数，不是偶函数，不

15、符合题意； 对于 D，ylog2x，是对数函数，不是偶函数，不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查函数奇偶性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性，属于基础题 12 （4 分） “函数 yf（x）在区间 I 上单调“是“函数 yf（x）在 I 上有反函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【分析】 “函数 yf（x）在区间 I 上单调“函数 yf（x）在 I 上有反函数” ，反之不 成立即可判断出结论 【解答】解： “函数 yf（x）在区间 I 上单调“函数 yf（x）在 I 上有反函数” ，反 之不成立 “函数 yf（x）在区间 I 上单调“

16、是“函数 yf（x）在 I 上有反函数”的充分不必要 条件 故选：A 【点评】本题考查了函数的单调性与反函数的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理 能力与计算能力，属于基础题 13 （4 分）已知函数 ylog2（x+a）+b 的图象不经过第四象限，则实数 a、b 满足（ ） Aa1，b0 Ba0，b1 Cb+1og2a0 Da+2b0 【分析】因为函数 ylog2（x+a）+b 的图象不经过第四象限，所以当 x0 时，y0，所 以 log2a+b0 【解答】解：函数 ylog2（x+a）+b 的图象不经过第四象限， 当 x0 时，y0， log2a+b0， 第 9 页（共 14 页） 故选：

17、C 【点评】本题主要考查了指数函数的图象和性质，是基础题 14 （4 分）已知函数 f（x）+，给出下列判断： （1）函数 f（x）的值域为 R； （2）f（x）在定义域内有三个零点； （3）f（x）图象是中心对称图象 其中正确的判断个数为（ ） A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【分析】利用函数的值域，判断（1）的正误；利用函数的零点判断定理判断（2） ；利用 函数的导数，求解对称中心判断（3）即可 【解答】解： （1）当 x0，x1+时，f（x），x1 时，f（x）+，所以 函数的值域是 R；所以（1）正确； f （x） + （1） + （1） + （1） 3 （+） ， （2）函数

18、 f（x）在 x（1，+）是列出函数，f（）3+0，f（0） 0，函数在（，0）y 有 1 个零点； x（2，1）时，f（）3（+4+）0，f（）4 0， 所以函数在（2，1）有一个零点； x（3，2）时，f（）3（+5）1+0，f（）2+ 0， 所以函数在（3，1）有一个零点； x3，f（x）0，所以 f（x）在定义域内有三个零点，所以（2）正确； （3）点（x，y） ，关于（2，3）的对称点（4x，6y） ， f（x）3（+） ， f（4x）3+（+）63（+）6f（x） 所以函数的图象关于（2，3） ，对称所以（3）正确； 故选：D 第 10 页（共 14 页） 【点评】本题考查函数与方

19、程的应用，涉及函数的对称性，函数的零点个数，函数的值 域，命题的真假的判断，是难题 三、解三、解答题（满分答题（满分 49 分）分） 15 （6 分）已知集合 Ax|xa|2，xR，Bx|1，xR （1）求 A、B； （2）若 AB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）通过解绝对值不等式与分式不等式求出集合 A、B 即可； （2）利用数轴表示集合，再根据集合关系分析求解即可 【解答】解： （1）由|xa|2，得 a2xa+2，Ax|a2xa+2， 由1，得0，即2x3，Bx|2x3 （2）若 AB，0a1， 0a1 【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，利用数形结合思想分析求解，直观、

20、形 象 16 （9 分）已知某种气垫船的最大航速是 48 海里/小时，船每小时使用的燃料费用和船速的 平方成正比若船速为 30 海里/小时，则船每小时的燃料费用为 600 元，其余费用（不 论船速为多少）都是每小时 864 元甲乙两地相距 100 海里，船从甲地匀速航行到乙地 （1）试把船从甲地到乙地所需的总费用 y 表示为船速 x（海里/小时）的函数，并指出函 数的定义域； （2）当船速为每小时多少海里时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？最少费用为多少 元？ 【分析】 （1）由题意建立函数关系，写出自变量的取值范围即可； （2）利用基本不等式进行求解，得出最小值以及对应船速 x 的值 【解答

21、】解： （1）由题意知船速为 x（海里/小时） ，每小时使用的燃料费用 Eax2， 已知船速为 30 海里/时，每小时的燃料费用为 600 元， 则：600a302； 得 a， 从甲地到乙地的总费用为： 第 11 页（共 14 页） yx2+864+，其中 0x48； （2）y+， （0x48） ； y+2224004800， 当且仅当，即 x36， 即当船速为 36 海里每小时，总费用最少，最少总费用为 4800 元 【点评】本题主要考查了函数解析式的求解以及函数的应用问题，也考查了利用基本不 等式求最小值的问题，是中档题 17 （10 分）已知函数 f（x）x+2（mR） （1）若函数 y

22、f（x）图象上动点 P 到定点 Q（0，2）的距离最小值是，求实数 m 的 值： （2）若函数 yf（x）在区间2，+）上是增函数，试用函数单调性的定义求实数 m 的 取值范围 【分析】 （1）利用两点的距离公式表示 PQ，然后利用基本不等式求出最值，建立方程， 可求出实数 m 的值； （2）任取 x1、x22，+） ，且 x1x2，利用函数单调性的定义可知 f（x2）f（x1） 0 在区间2，+）上恒成立，从而求出实数 m 的取值范围 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，则 f（x）x+2， |PQ|2x2+（y2）2x2+（x+）22x2+2m2|m|+2m2， 当 m0 时，解得 m

23、1；当 m0 时，解得 m1， m1 或 m1 （2）由题意，任取 x1、x22，+） ，且 x1x2， 则 f（x2）f（x1）x2+2（x1+2）（x2x1） 0， x2x10，x1x20，所以 x1x2m0，即 mx1x2， 由 x2x12，得 x1x24，所以 m4 m 的取值范围是（，4 【点评】本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用，以及两点的距离公式，其他 第 12 页（共 14 页） 不等式的解法，同时考查了运算求解的能力和转化的思想，属于难题 18 （12 分）已知函数 f（x）loga（a0，a0，b0） （1）求函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的奇偶

24、性，并说明理由； （3）求 f（x）的反函数 f 1（x）的解析式 【分析】 （1）由0，化为： （xb） （x+b）0对 b 分类讨论即可解出 （2）定义域关于原点对称，利用奇偶函数的定义即可判断出结论 （3）由 yloga，化为：ay，解得用 y 表示 x，把 x 与 y 互换可得 f（x）的反 函数 f 1（x） 【解答】解： （1）由0，化为： （xb） （x+b）0 b0 时，解得 xb 或 xb；b0 时，解得 xb 或 xb 函数 f（x）的定义域为：b0 时，x（，b）（b，+） b0 时，x（， b）（b，+） （2）定义域关于原点对称， f（x）logaf（x） ， 函数

25、f（x）为奇函数 （3）由 yloga，化为：ay，解得 xb 把 x 与 y 互换可得：yb f（x）的反函数 f 1（x）b （x0） 【点评】本题考查了函数的定义域、反函数、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 19 （12 分）已知函数 yf（x）的定义域为区间 D，若对于 D 内任意 x1、x2（x1x2） ，都 有f（）成立，则称函数 f（x）是区间 D 的“ 函数” （1）判断函数 f（x）（x0）是否是“ 函数”？说明理由； 第 13 页（共 14 页） （2）已知 a1，求证：函数 g（x）logax（x0）是“ 函数” ； （3）设函数 h（x）是a，b（a

26、b）上的“ 函数” ，h（a）0，h（b）0，且存在 ca， b使得 h（c）0，试探讨函数 h（x）在区间a，b上零点个数，并用图象作出简要的说 明（结果不需要证明） 【分析】 （1）由题意直接判断即可； （2）由题意直接判断即可； （3）举例即可得出结论 【解答】解： （1）是，理由如下： 任取 x1，x2（，0） ，且 x1x2， 则成立， 故函数是“ 函数” （2）证明：事实上，任取 x1，x2（0，+） ，且 x1x2， 则 成立，即得证； （3）函数 h（x）在a，b上的零点个数可以为 0、1 或 2 个 例如，是 函数，如图， 其零点个数为 0； 是 函数，如图， 第 14 页（共 14 页） 其零点个数为 1； 是 函数，如图， 其零点个数为 2； 函数 h（x）不可能有 3 个零点，假设 x1，x2，x3均是零点，且 x1x2x3， 则由可知，势必（x1，x2） ， （x2，x3）上 h（x）恒大于 0， 从而导致矛盾 【点评】本题以新定义为载体，旨在考查学生对函数性质的运用以及逻辑推理能力，属 于中档题