2019-2020学年湖北省武汉二十三中、十二中、汉铁高中高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（1， 2） ，则 sin 的值为（ ） A B C D 2 （5 分）若幂函数 f（x）xa的图象过点（8，4） ，则 f（x）（ ） A B C D 3 （5 分）下列函数中，在区间（0，+）上是增函数的是（ ） Ayx2e2 Bycosx+e2 Cylog2（1x） Dytanx 4 （5 分）ya（a 为常数）与 ytan3x 图象相交时，相邻两交点间的距离为（ ） A B C D 5 （5 分）若，bsin2，则有（ ） Aabc Bacb Ccba Dcab 6 （5 分）扇形周长为 6cm，面积为 2cm2，则

2、其圆心角的弧度数是（ ） A1 或 5 B1 或 2 C2 或 4 D1 或 4 7 （5 分）已知，则（ ） A B C D 8 （5 分）已知函数 f（x）x+tanx+1，若 f（a）3，则 f（a）的值为（ ） A0 B3 C4 D5 9 （5 分）函数 f（x）的图象如图所示，为了得到 y2sinx 函数的图象，可以把函数 f（x） 的图象（ ） 第 2 页（共 19 页） A每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） ，再向左平移个单位 B每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移个单位 C先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）

3、D先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 10 （5 分）函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象向左平移个单位后关于原点对 称，则函数 f（x）在0，上的最大值为（ ） A B C D1 11 （5 分）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张 隧（法号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又 称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年） ：对于函数 yf（x） ， 若 y1f（x1） ，y2f（x2） ，y3f（x3） ，x1x2x3，则在区间xi，x3上 f（x）可以用二 次函数 f（x）y1+k

4、1（xx1）+k2（xx1） （xx2）来近似代替，其中， ， 若令 x10， x3， 请依据上述算法， 估算 的近似值是（ ） A B C D 12 （5 分）已知定义在区间上的函数 yf（x）满足， 当时，f（x）cosx，如果关于 x 的方程 f（x）a 有解，记所有解的和为 S， 则 S 不可能为（ ） 第 3 页（共 19 页） A B C D3 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数，则 f（f（1） ）的值为 14 （5 分）sin14cos16+sin76cos74的值是 15 （5 分）

5、下面是一半径为 2 米的水轮，水轮的圆心 O 距离水面 1 米，已知水轮自点 M 开 始以 1 分钟旋转 4 圈的速度顺时针旋转，点 M 距水面的高度 d（米） （在水平面下 d 为负 数）与时间 t（秒）满足函数关系式 dAsin（t+）+1， 则函数关系式为 16 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，且当 x1，1时，f（x） tanx， 则下列四个命题： f （2020） 0； f （x） 的最小正周期为 2： x2020， 2020时， 方程有 2020 个根： f （x） log5|x|有 4 个根， 正常命题序号为 三、解答题：本大题共三、解答题

6、：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 17 （10 分）已知，求下列式子的值： （1）； （2）sincos 18 （12 分）已知集合， （1）求（RA）B； 第 4 页（共 19 页） （2）当 x（RA）B 时，求函数 f（x）22 x 的值域 19 （12 分）已知函数 f（x）cos4xsin4x2sinxcosx1 （1）求 f（x）的最小正周期，并求出 f（x）的单调递减区间； （2）求函数 yf（x）的零点 20 （12 分）王久良导演的纪录片垃圾围城真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国 668 个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中， 且城市垃圾中的快递行业产生的

7、包装 垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从 2016 年到 2019 年产生的包装垃圾量如表： 年份 x 2016 2017 2018 2019 包装垃圾 y（万吨） 4 6 9 13.5 （1）有下列函数模型： yabx 2016； ；yalg（x+b） （a0，b1）试从以上函数模 型中， 选择模型 （填模型序号） ， 近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y （万吨） 与年份 x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式； （2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超 过 40 万吨？（参考数据：lg20.3010，lg30.4771） 21 （12

8、分）已知函数 （1）已知，求 cos2 的值； （2）已知 0，函数，若函数 g（x）在区间上是 增函数，求 的最大值 22 （12 分）已知函数， （kZ，a0 且 a1） （1）若，求 f1（2）的值； （2）若 fk（x）为定义在 R 上的奇函数，且 0a1，是否存在实数 ，使得 fk（cos2x） +fk（2sinx5）0 对任意的恒成立，若存在，请写出实数 的取值范 围：若不存在，请说明理由 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年湖北省武汉二十三中、 十二中、 汉铁高中高一 （上）学年湖北省武汉二十三中、 十二中、 汉铁高中高一 （上） 期末数学试卷期末数学试卷 参考答

9、案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分. 1 （5 分）已知角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（1， 2） ，则 sin 的值为（ ） A B C D 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得 sin 的值 【解答】解：角 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P（1， 2） ， 则 sin， 故选：D 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 2 （5 分）若幂函数 f（x）xa的图象过点（8，4） ，则 f（x）（ ） A

10、 B C D 【分析】把点的坐标代入函数解析式，求得 a 的值即可 【解答】解：函数 f（x）xa的图象过点（8，4） ， 所以 8a4，解得 a； 所以 f（x） 故选：B 【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题 3 （5 分）下列函数中，在区间（0，+）上是增函数的是（ ） Ayx2e2 Bycosx+e2 Cylog2（1x） Dytanx 【分析】结合函数奇偶性及单调性的定义，结合选项进行判断即可 【解答】解：易知 yx2e2对称轴为 y 轴，开口朝上，所以（0，+）上为增函数 第 6 页（共 19 页） ylog2（1x）在（0，+）上单调递减， ycosx+e2与 yt

11、anx 在（0，+）上不具有单调性 故选：A 【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础试题 4 （5 分）ya（a 为常数）与 ytan3x 图象相交时，相邻两交点间的距离为（ ） A B C D 【分析】ytan3x 的周期为，所以 ya（a 为常数）与 ytan3x 图象相交时，相邻两 交点间的距离为，求出即可 【解答】解：ytan3x 的周期为， 所以 ya（a 为常数）与 ytan3x 图象相交时， 相邻两交点间的距离为， 故选：C 【点评】考查正切函数的周期性，基础题 5 （5 分）若，bsin2，则有（ ） Aabc Bacb Ccba Dcab 【分析】利用指数对

12、数函数、三角函数的单调性， 【解答】解：1bsin2， 则有 abc 故选：A 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性、三角函数的单调性，考查了推理能力与计 算能力，属于基础题 6 （5 分）扇形周长为 6cm，面积为 2cm2，则其圆心角的弧度数是（ ） A1 或 5 B1 或 2 C2 或 4 D1 或 4 【分析】设扇形的半径为 r，弧长为 l，由题意可得 r 和 l 的方程组，解方程组代入 计算可得 【解答】解：设扇形的半径为 r，弧长为 l， 第 7 页（共 19 页） 则由题意可得， 解得，或， 当，时，其中心角的弧度数 4； 当时，其中心角的弧度数 1 故选：D 【点评】本题考查

13、扇形的面积公式，涉及圆心角和弧长半径的关系，属基础题 7 （5 分）已知，则（ ） A B C D 【分析】由，由此利用诱导公式能求出 【解答】解：， ， 由诱导公式知 故选：C 【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题 8 （5 分）已知函数 f（x）x+tanx+1，若 f（a）3，则 f（a）的值为（ ） A0 B3 C4 D5 【分析】根据题意，设 g（x）f（x）1x+tanx，分析可得 g（x）为奇函数，结合奇 函数的定义可得 g（a）+g（a）f（a）1+f（a）10，代入 f（a）的值，即可 得答案 【解答】解：根据题意，函数 g（

14、x）f（x）1x+tanx， 则 g（x）（x）+tan（x）（x+tanx）g（x） ，则函数 g（x）为奇函数， 则 g（a）+g（a）f（a）1+f（a）10， 又由 f（a）3， 则 f（a）5， 故选：D 第 8 页（共 19 页） 【点评】本题考查函数奇偶性的性质应用，关键是理解函数奇偶性的定义，属于基础题 9 （5 分）函数 f（x）的图象如图所示，为了得到 y2sinx 函数的图象，可以把函数 f（x） 的图象（ ） A每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） ，再向左平移个单位 B每个点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移个单位 C先向左平移个单位，再把所

15、得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） D先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变） 【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 f（x） 的解析式，再利用 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 【解答】解：根据函数 f（x）的图象，设 f（x）Asin（x+） ， 可得 A2，2 再根据五点法作图可得 2+0，f（x）2sin（2x） ， 故可以把函数 f（x）的图象先向左平移个单位，得到 y2sin（2x+）2sin2x 的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍 （纵坐标不变） ， 即可得到 y2sinx 函数的

16、图象， 故选：C 【点评】本题主要考查由函数 yAsin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求 出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值yAsin（x+）的图象变换规律， 属于基础题 10 （5 分）函数 f（x）sin（2x+） （|）的图象向左平移个单位后关于原点对 第 9 页（共 19 页） 称，则函数 f（x）在0，上的最大值为（ ） A B C D1 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换把函数的关系式变形成正弦型函数，进一 步求出函数的最值 【解答】解：函数图象向左平移个单位得 ysin（2x+） ， 由于函数图象关于原点对称， 所以函数为奇函数， 又， 所以 ， 所以

17、f（x）sin（2x） ， 由于， 所以， 当时，f（x）的最大值为 1 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主 要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张 隧（法号：一行）为编制大衍历发明了一种近似计算的方法二次插值算法（又 称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年） ：对于函数 yf（x） ， 若 y1f（x1） ，y2f（x2） ，y3f（x3） ，x1x2x3，则在区间xi，x3上 f（x）可以用二 次函数 f（x）y1+k1

18、（xx1）+k2（xx1） （xx2）来近似代替，其中， ， 若令 x10， x3， 请依据上述算法， 估算 的近似值是（ ） A B C D 第 10 页（共 19 页） 【分析】函数 yf（x）sinx 在 x0，x，x 处的函数值分别为 y1f（0）0， y2f（）1，y3f（）0，利用 k1，k，可得 f（x）xx（x）x2+x，代入即可得出 【解答】解：函数 yf（x）sinx 在 x0，x，x 处的函数值分别为 y1f（0）0，y2f（）1，y3f（）0， 故 k1，k， 故 f（x）xx（x）x2+x， 即 sinxx2+x， +， 故选：D 【点评】本题考查了斜率计算公式、三角

19、函数、合情推理，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 12 （5 分）已知定义在区间上的函数 yf（x）满足， 当时，f（x）cosx，如果关于 x 的方程 f（x）a 有解，记所有解的和为 S， 则 S 不可能为（ ） A B C D3 【分析】作出函数的图象，分类讨论 a 的取值对应的 S 的值即可 【解答】解：依题意作出在区间0，上的简图， 当直线 ya 与函数 yf（x）的图象有交点时，则可得1a0， 当a0 时，f（x）a 有 2 个解，此时 S； 当 a时，f（x）a 有 3 个解，此时 S； 当1a时，f（x）a 有 4 个交点，此时 S3； 第 11 页（共 19 页） 当

20、a1 时，f（x）a 有 2 个交点，此时 S 故 S 不可能为 故选：A 【点评】本题考查方程的根与函数图象交点个数的关系，考查数形结合思想，属于中档 题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）已知函数，则 f（f（1） ）的值为 【分析】根据题意，由函数的解析式可得 f（1）的值，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，函数， 则 f（1）（） 1 ， 则 f（f（1） ）f（）sin； 故答案为： 【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题 14 （5 分）sin14cos16+sin7

21、6cos74的值是 【分析】利用诱导公式化简表达式为 sin14cos16+cos14sin16，再用两角和的正 弦函数对 sin14cos16+cos14sin16，利用特殊角的三角函数求值 【解答】解：由题意 sin14cos16+sin76cos74sin14cos16+cos14sin16 sin30 第 12 页（共 19 页） 故答案为： 【点评】本题考查两角和与并的正弦函数，解题的关键是熟记两角和与差的正弦函数公 式，及特殊角的三角函数值，本题是基本公式考查题 15 （5 分）下面是一半径为 2 米的水轮，水轮的圆心 O 距离水面 1 米，已知水轮自点 M 开 始以 1 分钟旋转

22、 4 圈的速度顺时针旋转，点 M 距水面的高度 d（米） （在水平面下 d 为负 数）与时间 t（秒）满足函数关系式 dAsin（t+）+1， 则函数关系式为 d2sin（t）+1 【分析】由题意求出 A、T、 和 的值，即可写出函数关系式 【解答】解：由题意知水轮的半径为 2，水轮圆心 O 距离水面 1，所以 A2； 又水轮每分钟旋转 4 圈，所以转一圈需要 15 秒， 所以 T15，解得 ； 由顺时针旋转 t0 时，t+2k， 解得 2k（kZ） ， 又|，所以 ； 所以函数关系式为 d2sin（t）+1 故答案为：d2sin（t）+1 【点评】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运

23、算求解能力，是基础题 16 （5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）f（x） ，且当 x1，1时，f（x） 第 13 页（共 19 页） tanx， 则下列四个命题： f （2020） 0； f （x） 的最小正周期为 2： x2020， 2020时， 方程有2020个根： f （x） log5|x|有4个根， 正常命题序号为 【分析】先根据 f（x+2）f（x）推出函数的最小正周期为 4，再逐一判断每个选项： f （2020） f （0） ； 最小正周期为 4； 找出方程在一个周期内根的个数即可得知 x 2020，2020时，方程根的个数；利用数形结合，找两个函数的交点个

24、数即可 【解答】解：f（x+2）f（x） ， f（x+4）f（x+2） ，f（x+4）f（x）即函数的最小正周期 T4 每个选项判断如下： T4，f（2020）f（5054+0）f（0）tan00，即正确； 最小正周期为 4，所以错误 当 x3，1时，x+21，1， 则， 当 x1，1时，有 1 个根； 当 x3，1时，有 1 个根， 由于 T4，说明每个周期内都有 2 个根， 而 x2020，2020，共有个周期，则有 2020 个根，即正确 如图所示： 由图可得有 5 个交点，即错误 故答案为： 【点评】本题考查了函数的周期性、奇偶性，函数与方程等知识点，解题的关键点是推 第 14 页（共

25、 19 页） 导出函数的最小正周期和画函数图象，考查了学生数形结合的思想和作图能力，属于中 档题 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 17 （10 分）已知，求下列式子的值： （1）； （2）sincos 【分析】 （1）结合已知条件，利用弦化切即可直接求解； （2）把所求的式子分母上结合同角平方关系利用 1 的代换，然后进行弦化切即可求解 【解答】解： （1）原式2 （2）原式 【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查 18 （12 分）已知集合， （1）求（RA）B； （2）当 x（RA）B 时，求函数 f（x）22

26、 x 的值域 【分析】 （1）先求出集合 A，B，再利用补集的定义求出RA，即可求出结果； （2）由（1）知 x（2，1，利用定义法证出 f（x） 在（2，1上单调递减，即 可求出函数 f（x）22 x 的值域 【解答】解： （1）由 得：1x3，Ax|1x3， 由 得：2x2，Bx|2x2， RAx|x1 或 x3， （RA）Bx|2x1； （2）由（1）知 x（2，1，任取 x1，x2，2x1x21， 则， 第 15 页（共 19 页） x1x2， f（x1）f（x2）0，f（x1）f（x2） ， f（x） 在（2，1上单调递减， f（1）f（x）f（2） ， 即 8f（x）16， 函数

27、f（x）22 x 在 x（2，1时的值域是8，16） 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，以及定义法证明函数的单调性，是中档题 19 （12 分）已知函数 f（x）cos4xsin4x2sinxcosx1 （1）求 f（x）的最小正周期，并求出 f（x）的单调递减区间； （2）求函数 yf（x）的零点 【分析】 （1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性、 单调性，得出结论 （2）由题意根据函数 yf（x）的零点定义，求得求得 cos（2x+），2x+ 2k，由此求得结果 【解答】 解： （1） 函数 f （x） cos4xsin4x2sinxcosx1cos2xs

28、in2xsin2x1cos2x sin2x1cos（2x+）1， 最小正周期 T 令 2k2x+2k+，求得 kxk+， 可得 f（x）的单调递减区间为k，k+，kZ （2）由于 f（x）cos（2x+）1，令 f（x）0，求得 cos（2x+）， 2x+2k，求得 xk，或 xk，kZ 【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性、单调性，属于基础题 20 （12 分）王久良导演的纪录片垃圾围城真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国 668 个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中， 且城市垃圾中的快递行业产生的包装 垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从 2016 年到 2019 年

29、产生的包装垃圾量如表： 年份 x 2016 2017 2018 2019 第 16 页（共 19 页） 包装垃圾 y（万吨） 4 6 9 13.5 （1）有下列函数模型： yabx 2016； ；yalg（x+b） （a0，b1）试从以上函数模 型中，选择模型 （填模型序号） ，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量 y（万吨） 与年份 x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式； （2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超 过 40 万吨？（参考数据：lg20.3010，lg30.4771） 【分析】 （1）选函数模型：yabx 2016，代入数据得到所选函

30、数模型解析式为：y4 （）x 2016； （2）令 y40 得：，x2021.6786，使用若不加以控制，任由包 装垃圾如此增长下去，从 2022 年开始，该城市的包装垃圾将超过 40 万吨 【解答】解： （1）所选函数模型解析式为：y4（）x 2016； （2）函数模型解析式为：y4（）x 2016， 令 y40 得：， ， ， ， x2021.6786， 从 2022 年开始，该城市的包装垃圾将超过 40 万吨， 故若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从 2022 年开始，该城市的包装垃圾将超 过 40 万吨 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 21 （12 分）已知函数

31、（1）已知，求 cos2 的值； （2）已知 0，函数，若函数 g（x）在区间上是 第 17 页（共 19 页） 增函数，求 的最大值 【分析】 （1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式，由已知可求 sin（2+） ，根据范围，可得 2x+（，） ，利用同角三角函数基本 关系式可求 cos（2x+）的值，进而根据两角差的余弦函数公式即可求解 cos2 的值 （2）求出函数 g（x）的解析式，结合函数 g（x）的单调性建立不等式关系进行求解即 可 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） sinxcosx+cos2x sin2x+cos2xsin（2x+） ， ，可得 sin（2+）， ，可得

32、2x+（，） ， cos（2x+）， cos2cos（2x+）cos（2x+）cos+sin（2x+）sin + （2）f（x）sin（2x+） ， sin（x+） ， 当 x，x+，+， 函数 g（x）在区间，上是增函数，且 0， 则+，+2k，2k+，kZ， 即 ，则 ， 0， k，kZ， k0， 1， 第 18 页（共 19 页） 则 的最大值为 1 【点评】本题主要考查三角函数单调性的应用，利用辅助角公式将函数进行化简是解决 本题的关键考查学生的运算能力和转化思想，属于中档题 22 （12 分）已知函数， （kZ，a0 且 a1） （1）若，求 f1（2）的值； （2）若 fk（x）为

33、定义在 R 上的奇函数，且 0a1，是否存在实数 ，使得 fk（cos2x） +fk（2sinx5）0 对任意的恒成立，若存在，请写出实数 的取值范 围：若不存在，请说明理由 【分析】 （1）由指数的运算性质和完全平方公式，计算可得所求值； （2）由奇函数的定义可得 k1，由 0a1，fk（x）axa x 在 R 上为减函数，由 题意可得原不等式等价为 cos2x52sinx 对任意的恒成立，由参数分 离和二倍角公式，以及换元法、对勾函数的单调性，可得所求范围 【解答】解： （1）由已知，即 a+a3， 即（a+a）2a+a 1+23，即 a+a17， （a+a 1）2a2+a2+249， 则

34、 a2+a 247， 即 f1（2）47 （2）若 fk（x）为定义在 R 上的奇函数， 则若 fk（0）1+k0，解得 k1， 由 0a1，fk（x）axa x 在 R 上为减函数， 则 fk（cos2x）+fk（2sinx5）0， 可化为 fk（cos2x）fk（2sinx5）fk（52sinx） ， 即 cos2x52sinx 对任意的恒成立， 即 sinx+对任意的恒成立， 令 tsinx，t0，1，则 yt+为减函数， 当 t1 时，y 取最小值为 3，所以存在，且 3 第 19 页（共 19 页） 【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运 用转化思想和换元法，考查化简运算能力，属于中档题