2019-2020学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知全集 Ux|xZ，|x|3，集合 A2，0，1，2，B2，1，3，图 中阴影部分所表示的集合为 4 （3 分）已知奇函数 f（x）的定义域为 R，f（1）3，那么 f（0）+f（1） 5 （3 分）已知函数 f（x）logx 是增函数，则实数 a 的取值范围是 6 （3 分）已知原命题的逆命题是： “若 xy0，则 x2+y20“，试判断原命题的否命题的真 假 （填“真”或“假” ） 7 （3 分）令 lg2a，则用 a 表示 lg+31g的结果为 8（3 分） 已知函数 f （x） 是偶函数， 当 x0 时， f （x） x23x， 则当 x0 时， f （x） 9 （3 分）2019

2、年度，国内某电信企业甲投入科研经费 115 亿美元，国外一家电信企业乙投 入科研经费 156 亿美元从 2020 年开始，若企业甲的科研经费每年增加 x%，计划用 3 年时间超过企业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变） 请写出一个不 等式来表达题目中所描述的数量关系： （所列的不等式无需化简） 10 （3 分）已知函数 f（x）log2x，定义f（x）f（x+1）f（x） ，则函数 F（x）f （x）+f（x+1）的值域为 11 （3 分）已知 f（x）|x+1|x1|，g（x）x+，对于任意的 mR，总存在 x0R， 使得 f（x0）m 或 g（x0）m，则实数 a 的取值范围

3、是 12 （3 分）设函数 fk（x）x22x+1（x1，k1，2，3，2019） 的值域依次是 A1，A2，A3，A2019，则 A1A2A3A2019 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知 a，bR，则“3a3b“是“a3b3”的（ ） 第 2 页（共 14 页） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14 （3 分）如果 log0.5log0.50，那么（ ） A0x2x11 B0x1x21 C1x1x2 D1x2x1 15 （3 分）已知集合 Px|，xR，则下列集合中与 P 相等的是（ ） Ax|0，xR Bx|（2x1） （3x2）0，xR

4、Cx|ylg Dx|y+（3x2）0 16 （3 分）若 f（x）+1，当 x0，1时，f（x）x，若在区间（1，1内，函 数 g（x）f（x）m 有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （0，1 B C0，） D0，） 三、解答题三、解答题 17已知函数 f（x）x判断 f（x）在（，0）上的单调性，并给予证明 18已知集合 Ax|1，Bx|（x3a） （xa2）0，al （1）求集合 A 和 B； （2）若 ABB，求实数 a 的取值范围 19自 2019 年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪 肉价格连续暴涨某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生

5、产根据以往的养猪经验预 估：在近期的一个养猪周期内，每养 x 百头猪（5x15） ，所需固定成本为 20 万元， 其它为变动成本：每养 1 百头猪，需要成本 14 万元根据市场预测，销售收入 F（x） （万 元）与 x（百头）满足如下的函数关系：F（x）（注： 一个养猪周期内的总利润 R（x） （万元）销售收入固定成本变动成本） （1）试把总利润 R（x） （万元）表示成变量 x（百头）的函数； （2）当 x（百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润 20设 A 是由满足以下性质的函数 f（x）构成的集合：对于 f（x）的定义域内的任意两个 第 3 页（共 14 页） 不相等的实

6、数 x1、x2，不等式f（x1）+f（x2）f（）都成立， （1）已知函数 g（x）2x+1，求 g（x）的反函数 g 1（x） ，并指出 g1（x）的定义域； （2）试判断（1）中的函数 g（x）与 g 1（x）是否属于集合 A，并说明理由； （3）设 h（x）A，且 h（x）的定义域为（0，+） ，值域为（2，5） ，h（1），试 写出一个满足条件的函数 h（x）的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由） 21已知函数 f（x）1（a 是常数） （1）若 al，求函数 f（x）的值域； （2）若 f（x）为奇函数，求实数 a并证明 f（x）的图象始终在 g（x）2x+11 的图 象的下方

7、； （3）设函数 h（x）2，若对任意 x1，x2，x30，1，以 h（x1） ，h（x2） ，h （x3）为边长总可以构成三角形，求 a 的取值范围 第 4 页（共 14 页） 2019-2020 学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷学年上海市闵行区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1 （3 分）函数 y的定义域是 1，1 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0 求解绝对值的不等式得答案 【解答】解：由 1|x|0，得|x|1，即1x1 函数 y的定义域是1，1 故答案为：1，1 【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查绝对值不等式的解法

8、，是基础题 2 （3 分）函数 f（x）（x0）的反函数是 yx2（x0） 【分析】欲求原函数 y（x0）的反函数，即从原函数式中反解出 x，后再进行 x， y 互换，即得反函数的解析式 【解答】解：y（x0） ， xy2（y0） ， xy2（y0） ， x，y 互换，得 yx2（x0） 故答案为：yx2（x0） 【点评】本题考查反函数的求法，属于基础题目，要会求一些简单函数的反函数，掌握 互为反函数的函数图象间的关系 3 （3 分）已知全集 Ux|xZ，|x|3，集合 A2，0，1，2，B2，1，3，图 中阴影部分所表示的集合为 0，2，3 【分析】求出全集 Ux|xZ，|x|33，2，1，

9、0，1，2，3，UA3， 1，3，UB3，1，0，2，图中阴影部分所表示的集合为： （AUB）（BUA） 【解答】解：全集 Ux|xZ，|x|33，2，1，0，1，2，3， 第 5 页（共 14 页） 集合 A2，0，1，2，B2，1，3， UA3，1，3，UB3，1，0，2， 图中阴影部分所表示的集合为： （AUB）（BUA）0，230，2，3 故答案为：0，2，3 【点评】本题考查集合的求法，考查交集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题 4 （3 分）已知奇函数 f（x）的定义域为 R，f（1）3，那么 f（0）+f（1） 3 【分析】根据奇函数的性质可知 f（0）0，f

10、（1）f（1） ，代入即可求解 【解答】解：奇函数 f（x）的定义域为 R，f（1）3， 根据奇函数的性质可知 f（0）0，f（1）f（1）3， 那么 f（0）+f（1）3 故答案为：3 【点评】本题主要考查 了利用奇函数的定义及性质求解函数值属于基础试题 5 （3 分）已知函数 f（x）logx 是增函数，则实数 a 的取值范围是 （2，2） 【分析】结合对数函数的单调性可知，5a21，解不等式可求 【解答】解：由题意可得，5a21， 解可得，2a2 故答案为： （2，2） 【点评】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，属于基础试题 6 （3 分）已知原命题的逆命题是： “若 xy0，则 x

11、2+y20“，试判断原命题的否命题的真 假 假 （填“真”或“假” ） 【分析】原命题的逆命题是： “若 xy0，则 x2+y20“与原命题的否命题互为逆否命题， 它们的真假性相同，所以只需要判断原命题逆命题的真假性就可得出结论 【解答】解：原命题的逆命题是： “若 xy0，则 x2+y20“与原命题的否命题互为逆否 命题，它们的真假性相同， 所以只需要判断原命题的逆命题的真假即可， 若 xy0，则可能 x0，y1，此时 x2+y20， 所以原命题的逆命题是假命题， 所以原命题的否命题是假命题 第 6 页（共 14 页） 故答案为：假 【点评】本题考查命题的真假关系，属于中档题 7 （3 分）

12、令 lg2a，则用 a 表示 lg+31g的结果为 a1 【分析】利用对数的运算性质化简即可 【解答】解：lg+31glg8lg53lg23lg2（1lg2）3lg2lg21a1， 故答案为：a1 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题 8 （3 分）已知函数 f（x）是偶函数，当 x0 时，f（x）x23x，则当 x0 时，f（x） x2+3x 【分析】由 x0 时，f（x）x23x，可知当 x0 时，x0，代入已知函数解析式结 合偶函数的定义即可求解 【解答】解：由函数 f（x）是偶函数，可得 f（x）f（x） ， 当 x0 时，f（x）x23x， 则当 x0 时，x0， f（x）

13、x2+3xf（x） ， 故答案为：x2+3x 【点评】本题主要考查了利用偶函数的定义求解函数解析式，属于基础试题 9 （3 分）2019 年度，国内某电信企业甲投入科研经费 115 亿美元，国外一家电信企业乙投 入科研经费 156 亿美元从 2020 年开始，若企业甲的科研经费每年增加 x%，计划用 3 年时间超过企业乙的年投入量（假设企业乙每年的科研经费投入量不变） 请写出一个不 等式来表达题目中所描述的数量关系： 115（1+x%）3156 （所列的不等式无需 化简） 【分析】由题意可得：115（1+x%）3156 【解答】解：由题意可得：115（1+x%）3156， 故答案为：115（1

14、+x%）3156 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是基础题 10 （3 分）已知函数 f（x）log2x，定义f（x）f（x+1）f（x） ，则函数 F（x）f （x）+f（x+1）的值域为 2，+） 第 7 页（共 14 页） 【分析】据题意并根据对数的运算性质得出，而根据基本不等式 即可得出，从而可得出函数 F（x）的值域 【 解 答 】 解 ： 据 题 意 得 ， log2x ， x0， ，当 x1 时取等号， ， ， F（x）的值域为2，+） 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了函数值域的定义及求法，对数的运算性质，基本不等式的运用，考 查了计算能力，属于基础题 11 （3 分

15、）已知 f（x）|x+1|x1|，g（x）x+，对于任意的 mR，总存在 x0R， 使得 f（x0）m 或 g（x0）m，则实数 a 的取值范围是 （，1 【分析】通过去掉绝对值符号，得到分段函数的解析式，求出值域，然后求解 g（x） x+的值域，结合已知条件推出 a 的范围即可 【解答】解：因为 f（x）|x+1|x1|， 结合分段函数的性质可得，f（x）的值域2，2， 当 a0 时，可知 g（x）x+的值域为2，+）， 此时 22，可得 a0，1， 当 a0 时，g（x）x+的值域为 R， 所以对于任意的 mR，总存在 x0R，使得 f（x0）m 或 g（x0）m， 只需 a（，1 故答案

16、为： （，1 第 8 页（共 14 页） 【点评】本题考查函数恒成立条件的转化，考查转化思想的应用，注意题意的理解是解 题的关键，是中档题 12 （3 分）设函数 fk（x）x22x+1（x1，k1，2，3，2019） 的值域依次是 A1， A2， A3， ， A2019， 则 A1A2A3A2019 0， 【分析】求出二次函数的对称轴，判断函数的最小值与最大值，然后求解值域的交集即 可 【解答】解：函数 fk（x）x22x+1 的对称轴为 x1，开口向上，所以函数的最小值为 f（1）0， 函数 fk（x）x22x+1（x1，k1，2，3，2019）的值域依次 是 A1，A2，A3，A2019

17、，它们的最小值都是 0，函数值域中的最大值为：k1010， 此时 x1， 所以值域中的最大值中的最小值为 f（1） ， f（1）（11）2， 则 A1A2A3A20190， 故答案为：0， 【点评】本题考查二次函数的性质，函数的最值，考查分析问题解决问题的能力，涉及 集合的交集计算，属于基础题 二、选择题二、选择题 13 （3 分）已知 a，bR，则“3a3b“是“a3b3”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据不等式的性质求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进 行判断即可 【解答】解：由 3a3b是得 ab，由“a3b3”

18、得 ab， 第 9 页（共 14 页） 即“3a3b”是“a3b3”的充要条件， 故选：C 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的性质求出不等式的等 价条件是解决本题的关键 14 （3 分）如果 log0.5log0.50，那么（ ） A0x2x11 B0x1x21 C1x1x2 D1x2x1 【分析】利用对数函数的单调性即可得出 【解答】解：log0.5log0.50，那么 1x1x2， 故选：C 【点评】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 15 （3 分）已知集合 Px|，xR，则下列集合中与 P 相等的是（ ） Ax|0，xR

19、Bx|（2x1） （3x2）0，xR Cx|ylg Dx|y+（3x2）0 【分析】利用集合相等的定义即可判断 【解答】解：集合 Px|，xRx|（2x1） （3x2）0 且（3x2） 0，与集合 D 相等， 故选：D 【点评】本题主要考查了集合相等的定义，是基础题 16 （3 分）若 f（x）+1，当 x0，1时，f（x）x，若在区间（1，1内，函 数 g（x）f（x）m 有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（ ） A （0，1 B C0，） D0，） 【分析】先求函数的解析式，再分段考虑函数的零点，即可得出结论 【解答】解：当 x（1，0） ，x+1（0，1） ， 当 x0，1时，f

20、（x）x， f（x+1）x+1 第 10 页（共 14 页） m0 时，在区间（1，1内，g（x）f（x）有 1 个零点 当 x0，1时，要使 g（x）0 有解，必须有 g（0）g（1）0 且 m0，m（1m） 0 且 m0， 0m1 当 x（1，0 ）时，要使 g（x）0 有解，必须有1m0，m1 综上所述：0m1 故选：A 【点评】本题考查函数的解析式，考查函数的零点，利用零点存在定理是关键 三、解答题三、解答题 17已知函数 f（x）x判断 f（x）在（，0）上的单调性，并给予证明 【分析】先设 x1x20，然后利用作差比较 f（x1）与 f（x2）的大小即可判断 【解答】f（x）在（，

21、0）上单调递减 证：设 x1x20， 则 f（x1）f（x2）（）（x1x2）（x1x2）（x1x2） ， 因为 x1x20，则（x1x2）0， 即 f（x1）f（x2） ， 故 f（x）在（，0）上单调递减 【点评】本题主要考查了单调性的定义在判断单调性中的应用，属于基础试题 18已知集合 Ax|1，Bx|（x3a） （xa2）0，al （1）求集合 A 和 B； （2）若 ABB，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）利用不等式的性质能求出集合 A，B （2）由集合 Ax|0x1，Bx|x3a 或 xa+2ABB，得 AB，解不等式组， 第 11 页（共 14 页） 能求出实数 a 的取

22、值范围 【解答】解： （1）集合 Ax|1x|0x|0x1， Bx|（x3a） （xa2）0，alx|x3a 或 xa+2 （2）集合 Ax|0x1，Bx|x3a 或 xa+2 ABB， AB， 或， 解得 a2 或a1 实数 a 的取值范围是（，2） 【点评】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考 查运算求解能力，是基础题 19自 2019 年春季以来，在非洲猪瘟、环保禁养、上行周期等因素形成的共振条件下，猪 肉价格连续暴涨某养猪企业为了抓住契机，决定扩大再生产根据以往的养猪经验预 估：在近期的一个养猪周期内，每养 x 百头猪（5x15） ，所需固定成本为 20

23、 万元， 其它为变动成本：每养 1 百头猪，需要成本 14 万元根据市场预测，销售收入 F（x） （万 元）与 x（百头）满足如下的函数关系：F（x）（注： 一个养猪周期内的总利润 R（x） （万元）销售收入固定成本变动成本） （1）试把总利润 R（x） （万元）表示成变量 x（百头）的函数； （2）当 x（百头）为何值时，该企业所获得的利润最大，并求出最大利润 【分析】 （1）根据题意即可求出函数 R（x）的解析式； （2）分段求出最大值，再比较即可求出当 x13 时，该企业所获得的利润最大，从而求 出最大利润 【解答】解： （1）R（X）F（X）（14x+20）； （2）当 5x10 时，

24、R（x）16x60，x10 时，R（x）的值最大，最大值为 100， 当 10x15 时，R（X）x2+26x60，x13 时，R（x）的值最大， 最大值为 109， 第 12 页（共 14 页） 综上所述，当 x13 时，该企业所获得的利润最大，最大利润为 109 万元 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 20设 A 是由满足以下性质的函数 f（x）构成的集合：对于 f（x）的定义域内的任意两个 不相等的实数 x1、x2，不等式f（x1）+f（x2）f（）都成立， （1）已知函数 g（x）2x+1，求 g（x）的反函数 g 1（x） ，并指出 g1（x）的定义域； （2）试判断（

25、1）中的函数 g（x）与 g 1（x）是否属于集合 A，并说明理由； （3）设 h（x）A，且 h（x）的定义域为（0，+） ，值域为（2，5） ，h（1），试 写出一个满足条件的函数 h（x）的解析式（不用分段函数表示，不需要说明理由） 【分析】 （1）直接求出即可； （2）根据题意，作差比较判断即可； （3）根据题意，答案不唯一，满足条件即可 【解答】解： （1）由 g（x）2x+1，得 xlog2（y1） ，y1， 所以 g 1（x）log 2（x1） ，定义域为（1，+） ； （2）对于 g（x） ，任意取两个不相等的实数 x1、x2，则， g（x1）+g（x2）g（） ， 对于 g

26、1（x） ，任意取两个不相等的实数 x 1、x2，（1，+） ，则 x110，x210， ， ， 因为x1x2（x1+x2）+1， 第 13 页（共 14 页） 且 x1x2（x1+x2）+1（x11） （x21）0， 所以0， 综上，g（x）A，g 1（x）A； （3）y（答案不唯一，满足条件即可） 【点评】考查函数与反函数的关系，判断不等式的大小关系，中档题 21已知函数 f（x）1（a 是常数） （1）若 al，求函数 f（x）的值域； （2）若 f（x）为奇函数，求实数 a并证明 f（x）的图象始终在 g（x）2x+11 的图 象的下方； （3）设函数 h（x）2，若对任意 x1，x2

27、，x30，1，以 h（x1） ，h（x2） ，h （x3）为边长总可以构成三角形，求 a 的取值范围 【分析】 （1）把 a1 代入后反解可得 2x0，解分式不等式即可求解； （2）直接利用奇函数的定义代入即可求解 a； （3）由题意可得，2h（x）minh（x）max，结合 h（x）2，利 用换元法 t2x，t1，2，则可转化为 y，t1，2，结合二次函数的性质可 求 【解答】解： （1）当 a1 时，f（x）， 则 2x0， 即0，解可得1y1， 故函数的值域（1，1） ； （2）由 f（x）为奇函数可得 f（x）+f（x）0， 化简可得（a1） （2x+2 x）+（a1）20， 故 a1

28、， 第 14 页（共 14 页） 因为 f（x）g（x）（2x+11）0， 故 f（x）的图象始终在 g（x）2x+11 的图象的下方； （3）由题意可得，2h（x）minh（x）max， 又 h（x）2， 令 t2x，t1，2，则 y，t1，2， a2 即 a2 时，此时 y在 t1，2上单调递减， 由 2h（x）minh（x）max，可得， 解可得，或 a， 所以 a， 即时， 此时 y在 t1， 2上先减后增， 左面端点高， 由 2h（x）minh（x）max，可得，此时 a 不存在， 1即时，y在 t1，2上单先减后增，右端点高， 由 2h（x）minh（x）max，可得，此时 a 不存在， a1 即 a1 时，y在 t1，2上单调递增， 由 2h（x）minh（x）max可得， 解可得，a或 a， 所以 a 综上，a 的范围（，3）（） 【点评】本题综合考查了函数的奇偶性，二次函数闭区间最值的求解，体现了分类讨论 思想及转化思想的应用，还考查了一定的逻辑推理的能力