2019-2020学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、若实数 ab，则下列说法正确的是 （1）a+cb+c； （2）acbc； （3）； （4）a2b2 2 （4 分）函数 f（x）kx+b（k0）是奇函数的充要条件是 3 （4 分）函数 f（x）（m2m1）x是幂函数，则 m 4 （4 分）若 a，b 都是正数，且 a+b1，则（a+1） （b+1）的最大值 5 （4 分）不等式|x1|+|x+2|13 的解集为 6 （4 分） “若 x+y1，则 x1 且 y0”的逆否命题是 7 （4 分）已知函数 f（x），x1，9，g（x）f（x） f（x2）的反函数是 g 1（x） ， 则 g 1（x）的定义域为 8 （4 分）函数 f（x）的值域为

2、9 （4 分）已知 a，b 为非零实数，且 3a12b6ab，则 a+b 的值为 10 （4 分）已知函数 f（x），g（x）aln（x+2）+（aR） ， 若对任意的 x1， x2x|xR， x2， 均有 f （x1） g （x2） ， 则实数 k 的取值范围是 二、选择题（每题二、选择题（每题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）幂函数 yf（x）经过点（3，） ，则 f（x）是（ ） A偶函数，且在（0，+）上是增函数 B偶函数，且在（0，+）上是减函数 C奇函数，且在（0，+）是减函数 D非奇非偶函数，且在（0，+）上是增函数 12 （4 分）若函数 f（x）单调递增，则

3、实数 a 的取值范围是（ ） A （，3） B，3） C （1，3） D （2，3） 13 （4 分）定义在 R 上的函数 f（x）有反函数 f 1（x） ，若有 f（x）+f（x）2 恒成立， 第 2 页（共 13 页） 则 f 1（2020x）+f1（x2018）的值为（ ） A0 B2 C2 D不能确定 14 （4 分）已知函数 f（x）的定义域为0，1，2，值域为0，1，则满足条件的函数 f（x） 的个数为（ ） A1 个 B6 个 C8 个 D无数个 三、解答题三、解答题 15 （8 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）x22x （）求 f（0）及

4、 f（f（1） ）的值； （）求函数 f（x）的解析式； （）若关于 x 的方程 f（x）m0 有四个不同的实数解，求实数 m 的取值范围， 16 （10 分）某城市居民每月自来水使用量 x 与水费 f（x）之间满足函数 f（x） 当使用 4m3时， 缴费 4 元， 当使用 27m3时， 缴费 14 元； 当使用 35m3 时，缴费 19 元 （1）求实数 A、B、C 的值； （2）若某居民使用 29m3水，应该缴水费多少元？ 17 （12 分）已知函数 f（x）的图象关于原点对称，其中 a 为常数 （1）求 a 的值； （2）当 x（1，+）时，f（x）+（x1）m 恒成立，求实数 m 的取

5、值范围； （3）若关于 x 的方程 f（x）（x+k）在2，3上有解，求 k 的取值范围 18 （14 分）已知函数 f（x）其中 P，M 是非空数集，且 PM， 设 f（P）y|yf（x） ，xP，f（M）y|yf（x） ，xM （I）若 P（，0） ，M0，4，求 f（P）f（M） ； （II）是否存在实数 a3，使得 PM3，a，且 f（P）f（M）3，2a3？ 若存在，请求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由； （III）若 PMR，且 0M，IP，f（x）是单调递增函数，求集合 P，M 第 3 页（共 13 页） 2019-2020 学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期

6、末学年上海市浦东新区华东师大二附中高一（上）期末 数学试卷数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（每题一、填空题（每题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）若实数 ab，则下列说法正确的是 （1） （1）a+cb+c； （2）acbc； （3）； （4）a2b2 【分析】由不等式的性质逐项判断即可 【解答】解：由可加性知， （1）正确； 当 c0 时， （2）显然不正确； 当 a，b 满足其中一个为 0 时， （3）显然无意义； 取 a1，b2 可知， （4）不正确 故答案为： （1） 【点评】本题考查不等式性质的运用，属于基础题 2 （4 分）函数 f（x）k

7、x+b（k0）是奇函数的充要条件是 b0 【分析】函数 f（x）kx+b（k0）f（0）0，即可得出 【解答】解：函数 f（x）kx+b（k0）f（0）0，b0 函数 f（x）kx+b（k0）是奇函数的充要条件是 b0 故答案为：b0 【点评】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 3 （4 分）函数 f（x）（m2m1）x是幂函数，则 m 2 或1 【分析】函数 f（x）（m2m1）x是幂函数，利用幂函数的定义得 m2m 11，由此能求出 m 的值 【解答】解：函数 f（x）（m2m1）x是幂函数， m2m11， 解得 m2 或 m1 故答案为：2

8、 或1 第 4 页（共 13 页） 【点评】本题考查实数值的求法，考查幂函数的性质的性质等基础知识，考查推理能力 与计算能力，属于基础题 4 （4 分）若 a，b 都是正数，且 a+b1，则（a+1） （b+1）的最大值 【分析】先利用基本不等式可得，再将（a+1） （b+1）展开即可得到答案 【解答】解：a+b1，a0，b0， ，即，当且仅当 ab 时取等号， ，即（a+1） （b+1）的最大值为 故答案为： 【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题 5 （4 分）不等式|x1|+|x+2|13 的解集为 （7，6） 【分析】分类讨论，去掉绝对值符号，解不等式即可 【解答】解：当 x

9、2 时，原不等式等价于 1xx213，解得 x7，此时满足 7x2； 当2x1 时，原不等式等价于 1x+x+213，即 313 恒成立； 当 x1 时，原不等式等价于 x1+x+213，解得 x6，此时满足 1x6； 综上，不等式的解集为（7，6） 故答案为： （7，6） 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题 6 （4 分） “若 x+y1，则 x1 且 y0”的逆否命题是 若 x1 或 y0，则 x+y1 【分析】本题根据“若 p，则 q”的逆否命题的形式是： “若q，则p” ，可以解答 【解答】解：若 p，则 q 的逆否命题的形式是：若q，则p 因此命题“若

10、x+y1，则 x1 且 y0”的逆否命题为“若 x1 或 y0，则 x+y1” 故答案为：若 x1 或 y0，则 x+y1 【点评】本题考查了逆否命题的概念，四种命题的关系 7 （4 分）已知函数 f（x），x1，9，g（x）f（x） f（x2）的反函数是 g 1（x） ， 则 g 1（x）的定义域为 2，2 【分析】 函数 f （x） ， x1， 9， g （x） f （x） f （x2） ， 第 5 页（共 13 页） 根据单调性可得其值域于是 g 1（x）的定义域为原函数 g（x）的值域 【解答】解：函数 f（x），x1，9，g（x）f（x） f（x2） 2，2， 则 g 1（x）的定义

11、域为原函数 g（x）的值域，g1（x）的定义域为2，2 ， 故答案为：2，2， 【点评】本题考查了互为反函数的性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 8 （4 分）函数 f（x）的值域为 【分析】分离常数后，利用双勾函数的性质即可得解 【解答】解：， 由双勾函数性质可知， 故答案为： 【点评】本题考查函数值域的求解，属于基础题 9 （4 分）已知 a，b 为非零实数，且 3a12b6ab，则 a+b 的值为 2 【分析】设 3a12b6abk，把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质即可求解 【解答】解：设 3a12b6abk， alog3k，blog12k，ablog6k

12、， 2logk6，又， ， ， a+b2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，以及对数的运算性质，是中档题 10 （4 分）已知函数 f（x），g（x）aln（x+2）+（aR） ， 若对任意的 x1，x2x|xR，x2，均有 f（x1）g（x2） ，则实数 k 的取值范围是 第 6 页（共 13 页） 【分析】可求得，根据题意 f（x）maxg （x）min（x2） ，由此得到，解该不等式即可求得实数 k 的取值范围 【解答】解：对函数 f（x） ，当 x1 时，；当 x1 时， ， f（x）在（2，+）上的最大值； 对函数 g（x） ，函数 g（x）若有最小值，则

13、a0，即， 当 x（2，0）（0，+）时，易知函数； 又对任意的 x1，x2x|xR，x2，均有 f（x1）g（x2） ， f（x）maxg（x）min（x2） ，即， ， ，即实数 k 的取值范围为 故答案为： 【点评】本题考查不等式的恒成立问题，考查函数最值的求解，考查转化思想及计算能 力，属于中档题 二、选择题（每题二、选择题（每题 4 分，共分，共 16 分）分） 11 （4 分）幂函数 yf（x）经过点（3，） ，则 f（x）是（ ） A偶函数，且在（0，+）上是增函数 B偶函数，且在（0，+）上是减函数 C奇函数，且在（0，+）是减函数 D非奇非偶函数，且在（0，+）上是增函数 【

14、分析】设出幂函数的解析式，求出自变量的指数，从而求出函数的性质即可 【解答】解：设幂函数的解析式为：yx， 将（3，）代入解析式得： 第 7 页（共 13 页） 3，解得 ， y， 故选：D 【点评】本题考查了求幂函数的解析式，考查函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础 题 12 （4 分）若函数 f（x）单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A （，3） B，3） C （1，3） D （2，3） 【分析】利用函数的单调性，判断指数函数的对称轴，以及一次函数的单调性列出不等 式求解即可 【解答】解：函数 f（x）单调递增， 由指数函数以及一次函数的单调性的性质，可得 3a0 且 a1 但应当

15、注意两段函数在衔接点 x7 处的函数值大小的比较， 即（3a）73a，可以解得 a， 综上，实数 a 的取值范围是，3） 故选：B 【点评】本题考查分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档 题 13 （4 分）定义在 R 上的函数 f（x）有反函数 f 1（x） ，若有 f（x）+f（x）2 恒成立， 则 f 1（2020x）+f1（x2018）的值为（ ） A0 B2 C2 D不能确定 【分析】分析：由 f（x）+f（x）2，得 f（t）+f（t）2，注意（2020x ）与 （x 2018）的和等于 2，若（x2018）与 （2020x）一个是 t，则另一个是t，再应用

16、反函数的定义解出 t 和t 即得 【解答】解：f（x）+f（x）2，f（t）+f（t）2， 令 2020xm，x2018n，m+n2， 可令 f（t）m，f（t）n，由反函数的定义知， 第 8 页（共 13 页） tf 1（m） ，tf1（n） f1（m）+f1（n）0， 即：f 1（2020x）+f1（x2018）的值是 0， 故选：A 【点评】本题考查反函数，体现换元的数学思想，属于中档题 14 （4 分）已知函数 f（x）的定义域为0，1，2，值域为0，1，则满足条件的函数 f（x） 的个数为（ ） A1 个 B6 个 C8 个 D无数个 【分析】由函数定义直接写出即可得解 【解答】解：

17、当 0 对应 0 时，可以有（1，0） ， （2，1） ；（1，1） ， （2，0） ；（1， 1） ， （2，1） ；共三种对应方式； 当 0 对应 1 时，可以有（1，0） ， （2，0） ；（1，1） ， （2，0） ；（1，0） ， （2，1） ； 共三种对应方式； 故满足条件的函数 f（x）共有 6 个 故选：B 【点评】本题考查函数定义的理解，属于基础题 三、解答题三、解答题 15 （8 分）已知函数 f（x）是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时，f（x）x22x （）求 f（0）及 f（f（1） ）的值； （）求函数 f（x）的解析式； （）若关于 x 的方程 f（x）m0

18、有四个不同的实数解，求实数 m 的取值范围， 【分析】 （）根据题意，由函数的解析式，将 x0 代入函数解析式即可得 f（0）的值， 同理可得 f（1）的值，利用函数的奇偶性分析可得 f（f（1） ）的值； （）设 x0，则x0，由函数的解析式分析 f（x）的解析式，进而由函数的奇偶 性分析可得答案； （）若方程 f（x）m0 有四个不同的实数解，则函数 yf（x）与直线 ym 有 4 个 交点，作出函数 f（x）的图象，由数形结合法分析即可得答案 【解答】解： （）根据题意，当 x0 时，f（x）x22x； 则 f（0）0， f（1）121， 第 9 页（共 13 页） 又由函数 f（x）为

19、偶函数，则 f（1）f（1）1， 则 f（f（1） ）f（1）1； （）设 x0，则x0， 则有 f（x）（x）22（x）x2+2x， 又由函数 f（x）为偶函数， 则 f（x）f（x）x2+2x， 则当 x0 时，f（x）x2+2x， （）若方程 f（x）m0 有四个不同的实数解，则函数 yf（x）与直线 ym 有 4 个 交点， 而 yf（x）的图象如图： 分析可得1m0； 故 m 的取值范围是（1，0） 【点评】本题考查偶函数的性质以及函数的图象，涉及方程的根与函数图象的关系，注 意利用数形结合法分析与应用，是中档题 16 （10 分）某城市居民每月自来水使用量 x 与水费 f（x）之间

20、满足函数 f（x） 当使用 4m3时， 缴费 4 元， 当使用 27m3时， 缴费 14 元； 当使用 35m3 时，缴费 19 元 （1）求实数 A、B、C 的值； （2）若某居民使用 29m3水，应该缴水费多少元？ 【分析】 （1）由题意知 C 的值，再把（27，14） ， （35，19）代入 f（x）中求出 B 和 A 的 值； 第 10 页（共 13 页） （2）写出 f（x）的解析式，计算 f（29）的值即可 【解答】解： （1）由题意得：C4， 将（27，14） ， （35，19）代入 f（x）4+B（xA） ，得： ， 解得 A11，B； 所以 A11，B，C4 （2）由（1）知

21、，f（x）； 当 x29 时，f（29）4+（2911）15.25； 所以该居民使用 29m3水时，应该缴水费 15.25 元 【点评】本题考查了分段函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题 17 （12 分）已知函数 f（x）的图象关于原点对称，其中 a 为常数 （1）求 a 的值； （2）当 x（1，+）时，f（x）+（x1）m 恒成立，求实数 m 的取值范围； （3）若关于 x 的方程 f（x）（x+k）在2，3上有解，求 k 的取值范围 【分析】 （1）函数 f（x）的图象关于原点对称，可得 f（x）+f（x）0， 整理得+0 恒成立，即可得出答案 （2）x（1，+）时，f（

22、x）+（x1）m 恒成立，求出 x（1，+）时，f（x） +（x1）的最大值，即可解出 m 的取值范围 （3）由于 f（x）在2，3上是增函数，g（x）（x+k）在2，3上是 减函数，可得出，两函数图象在所给区间上有交点，由此可通过比较两函数在区间端点 处的函数值的大小得出，解之即可得出答案 第 11 页（共 13 页） 【解答】解： （1）函数 f（x）的图象关于原点对称， f（x）+f（x）0，即+0， （）0，1 恒成立， 即 1a2x21x2，即（a21）x20 恒成立，所以 a210，解得 a1， 又 a1 时，f（x）无意义，故 a1； （2）x（1，+）时，f（x）+（x1）m

23、恒成立，即+（x1） m， （x+1）m 在（1，+）恒成立， 由于 y（x+1）是减函数，故当 x1，函数取到最大值1， m1，即实数 m 的取值范围是 m1； （3）f（x）在2，3上是增函数，g（x）（x+k）在2，3上是减函 数， 只需要即可保证关于 x 的方程 f（x）（x+k）在2，3上有解， 下解此不等式组 代入函数解析式得，解得1k1， 即当1k1 时关于 x 的方程 f（x）（x+k）在2，3上有解 【点评】本题考查函数恒成立问题的解法及对数函数性质的综合运用，属于有一定难度 的题，本题考查了数形结合的思想，转化化归的思想，属于灵活运用知识的好题 18 （14 分）已知函数

24、f（x）其中 P，M 是非空数集，且 PM， 第 12 页（共 13 页） 设 f（P）y|yf（x） ，xP，f（M）y|yf（x） ，xM （I）若 P（，0） ，M0，4，求 f（P）f（M） ； （II）是否存在实数 a3，使得 PM3，a，且 f（P）f（M）3，2a3？ 若存在，请求出满足条件的实数 a；若不存在，请说明理由； （III）若 PMR，且 0M，IP，f（x）是单调递增函数，求集合 P，M 【分析】 （I）利用 y|x|的图象和性质和二次函数的图象和性质分别计算此分段函数两支 上的值域，再求其并集即可； （II）抓住线索3PM，逐层深入，先判断3P，得 a 的范围，再

25、由已知推理缩小此范围，最后确定 a 的值； （III）现根据函数的单调性确定 （，0）M， （1，+）P，再证明在（0，1）上存在分界点的话，这个分界点应 具有怎样的性质，最后根据此性质写出满足题意的集合 P，M 【解答】解： （I）P（，0） ，f（P）y|y|x|，x（，0）（0，+） ， M0，4，f（M）y|yx2+2x，x0，48，1 f（P）f（M）8，+） （II）若3M，则 f（3）153，2a3，不符合要求 3P，从而 f（3）3 f（3）33，2a3 2a33，得 a3 若 a3，则 2a33（x1）2+1x2+2x PM，2a3 的原象 x0P 且 3x0a x02a3a

26、，得 a3，与前提矛盾 a3 此时可取 P3，1）0，3，M1，0） ，满足题意 （III）f（x）是单调递增函数，对任意 x0，有 f（x）f（0）0，xM （，0）M，同理可证： （1，+）P 若存在 0x01，使得 x0M，则 1f（x0）+2x0x0， 于是x0，+2x0M 记 x1+2x0（0，1） ，x2+2x1， x0，x1M，同理可知x1，x2M， 第 13 页（共 13 页） 由 xn+1+2xn，得 1xn+11+2xn（1）2； 1xn（1）2（1xn2）22（1x0）2n 对于任意 xx0，1，取log2log（1x0） （1x）1，log2log（1x0） （1x）中的自然数 nx，则 xxnx，xnx+1M x0，1）M 综上所述，满足要求的 P，M 必有如下表示： P（0，t）1，+） ，M（，0t，1） ，其中 0t1 或者 P（0，t1，+） ，M（，0（t，1） ，其中 0t1 或者 P1，+） ，M（，1 或者 P（0，+） ，M（，0 【点评】本题综合考查了集合的表示方法和意义，函数的值域，逻辑推理和论证的能力， 分析问题解决问题的能力