2019-2020学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷（含详细解答）

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1、已知集合 Ax|x2x20，用列举法可表示为 A 2函数 f（x）lg（x2）的定义域是 3命题“若 x1，则 x0”的逆否命题是 4若函数 f（x），则 ff（1） 5已知集合 A2，1，2，B1，a，且 BA，则实数 a 的值为 6已知集合 Ax|x2px+60，若 3A，则方程 5x 1p 的解为 7函数 f（x）log2x+x 零点个数为 8设函数 f（x）的反函数为 f 1（x） ，则 f1（1） 9若方程 f（x）ax2+bx+c 是定义域为（2a3，1）的偶函数，则 a+b 10方程 lg2x3lgx+20 的解为 11若函数 f（x）x2+2ax+1a 在区间0，1上有最大值

2、2，则实数 a 的值为 12已知 f（x）为奇函数，且在0，+）上是减函数，若不等式 f（ax1）f（x2）在 x1，2上都成立，则实数 a 的取值范围是 二、选择题二、选择题 13下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） Af（x），g（x）x+1 Bf（x）x0，g（x）1 Cf（x）|x|，g（x） Df（x）|x|，g（x） 14已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|0，则 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1 D0，1，2 15设命题甲为“0x3” ，命题乙为“|x2|1” ，那么甲是乙的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 16下列函

3、数中，值域是（0，+）的是（ ） 第 2 页（共 13 页） Ayx By Cy3|x|1 Dyx 2 三、解答题三、解答题 17已知函数 f（x）ax（a1）在区间1，2上的最大值比最小值大 2，求实数 a 的值 18已知函数 f（x）求： （1）函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并加以证明 19甲乙两地的高速公路全长 166 千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车 速 v70，120（千米/时） ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固 定部分组成：可变部分为 0.02v2，固定部分为 220 元 （1）把全程运输成本 y（元）表示为速度

4、 v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义 域； （2）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果 保留整数） 20已知 m 是整数，幂函数 f（x）x m2+m+2 在0，+）上是单调递增函数 （1）求幂函数 f（x）的解析式； （2）作出函数 g（x）|f（x）1|的大致图象； （3）写出 g（x）的单调区间，并用定义法证明 g（x）在区间1，+）上的单调性 21已知函数 f（x）4+loga（1x） （a0，a1）的反函数 f 1（x）的图象经过点 P（5， 1） ，函数 g（x）b（bR）为奇函数 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 F（x）

5、g（x）+2x2 的零点； 第 3 页（共 13 页） （3）设 g（x）的反函数为 g 1（x） ，若关于 x 的不等式 k+g1（x）f（x）在区间（1， 0）上恒成立，求正实数 k 的取值范围 第 4 页（共 13 页） 2019-2020 学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷学年上海市浦东新区高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题一、填空题 1已知集合 Ax|x2x20，用列举法可表示为 A 1，2 【分析】解方程 x2x20 得：x1 或 2，即可求解 【解答】解；解方程 x2x20 得：x1 或 2， A1，2， 故答案为：1，2 【点评】本题

6、主要考查了集合的表示法，是基础题 2函数 f（x）lg（x2）的定义域是 （2，+） 【分析】对数的真数大于 0，可得答案 【解答】解：由 x20，得 x2，所以函数的定义域为（2，+） 故答案为： （2，+） 【点评】本题考查对数函数的定义域，是基础题 3命题“若 x1，则 x0”的逆否命题是 若 x0，则 x1 【分析】根据原命题、 逆命题、否命题和逆否命题的定义即可写出” 若 x1， 则 x0“的 逆否命题 【解答】解： “若 x1，则 x0”的逆否命题是： “若 x0，则 x1“ 故答案为：若 x0，则 x1 【点评】本题考查了原命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义，属于基础题 4若函

7、数 f（x），则 ff（1） 3 【分析】先求出 f（1）1+34，从而 ff（1）f（4） ，由此能求出结果 【解答】解：函数 f（x）， f（1）1+34， ff（1）f（4）3 故答案为：3 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 第 5 页（共 13 页） 5已知集合 A2，1，2，B1，a，且 BA，则实数 a 的值为 2 【分析】利用 BA，即可求解 【解答】解：BA，a2 或2， 故答案为：2 【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题 6已知集合 Ax|x2px+60，若 3A，则方程 5x 1p 的解为 x2 【分析】根据题意，

8、由元素与集合的关系可得 93p+60，解可得 p5，进而可得 5x 15，解可得 x 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，集合 Ax|x2px+60， 若 3A，则有 93p+60，解可得 p5， 若 5x 1p，即 5x15，解可得 x2， 故答案为：x2 【点评】本题考查集合的表示方法，涉及函数的零点，属于基础题 7函数 f（x）log2x+x 零点个数为 1 【分析】条件等价于函数 ylog2x 与函数 yx 的图象交点个数，数形结合即可 【解答】解：根据条件作出函数 ylog2x 与函数 yx 的图象如图： 由图可知，共一个交点，故函数 f（x）log2x+x 只有 1 个零点，

9、故答案为 1 【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题 8设函数 f（x）的反函数为 f 1（x） ，则 f1（1） 2 【分析】根据原函数过点（x，y） ，反函数必过点（y，x） ，把 y1 代入原函数，求解即 可 【解答】解：因为函数 f（x）的反函数为 f 1（x） ，当 y1 时，x2； 故 f 1（1）2 第 6 页（共 13 页） 故答案为：2 【点评】本题考查了反函数的定义，原函数与反函数的关系，属于基础题 9若方程 f（x）ax2+bx+c 是定义域为（2a3，1）的偶函数，则 a+b 1 【分析】根据题意，由偶函数的性质可得（2a3）+10，且 b

10、0，解可得 a 的值，相 加即可得答案 【解答】解：根据题意，若 f（x）ax2+bx+c 是定义域为（2a3，1）的偶函数， 则有（2a3）+10，且 b0， 解可得：a1， 则 a+b1； 故答案为：1 【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题 10方程 lg2x3lgx+20 的解为 10 或 100 【分析】根据题意，由 lg2x3lgx+20 解可得 lgx 的值，进而计算可得答案 【解答】解：根据题意，方程 lg2x3lgx+20，变形可得（lgx1） （lgx2）0， 解可得 lgx1 或 lgx2， 则 x10 或 100； 故答案为：10 或

11、100 【点评】本题考查对数的运算性质，注意换元思想的运用，属于基础题 11若函数 f（x）x2+2ax+1a 在区间0，1上有最大值 2，则实数 a 的值为 a1 或 a2 【分析】这是一个动函数、定区间的二次函数的最值问题，由于二次项系数为1，所以 函数 f（x）x2+2ax+1a 的图象的开口方向是向下的，对称轴为 xa，因此需要按 对称轴与区间的关系进行分类讨论 【解答】解：函数 f（x）x2+2ax+1a 的对称轴为 xa，图象开口向下， 当 a0 时，函数 f（x）x2+2ax+1a 在区间0，1是减函数， fmax（x）f（0）1a，由 1a2，得 a1， 当 0a1 时，函数

12、f（x）x2+2ax+1a 在区间0，a是增函数，在a，1上是减 函数， a2a+1， 第 7 页（共 13 页） 由 a2a+12，解得 a或 a， 0a1，两个值都不满足； 当 a1 时，函数 f（x）x2+2ax+1a 在区间0，1是增函数， fmax（x）f（1）1+2a+1aa， a2 综上可知，a1 或 a2 故答案为：a1 或 a2 【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，考查了数形结合、分类讨论的数学 思想 12已知 f（x）为奇函数，且在0，+）上是减函数，若不等式 f（ax1）f（x2）在 x1，2上都成立，则实数 a 的取值范围是 a0 【分析】根据题意，可得 f（

13、x）在 R 上递减，所以 ax1x2，分离参数构造函数法 判断单调性，求出结论 【解答】解：已知 f（x）为奇函数，且在0，+）上是减函数，可得 f（x）在 R 上递减， 所以 ax1x2， 分离参数得 a1， 由 y1在 x1，2单调递增， 所以 a（1）min110， 故答案为：a0 【点评】考查函数的奇偶性和单调性的应用，分离参数构造函数法求不等式，考查了转 化思想，中档题 二、选择题二、选择题 13下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） Af（x），g（x）x+1 Bf（x）x0，g（x）1 Cf（x）|x|，g（x） Df（x）|x|，g（x） 第 8 页（共 13 页） 【分析】根

14、据两个函数的定义域和对应关系分别相同，即可判断是同一函数 【解答】解：对于 A，f（x）x+1（x1） ，与 g（x）x+1（xR）的定义域 不相同，不是同一函数 对于 B，f（x）x01（x0） ，与 g（x）1（xR）的定义域不相同，不是同一函数 对于 C，f（x）|x|（xR） ，与 g（x）|x|（xR）的定义域相同，对应关系也相 同，是同一函数 对于 D，f（x）|x|，与 g（x）的定义域不相同，不是同一 函数 故选：C 【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题 14已知集合 A2，1，0，1，2，Bx|0，则 AB（ ） A1，0 B0，1 C1，0，1 D0

15、，1，2 【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出交集 AB 【解答】解：集合 A2，1，0，1，2， Bx|0x|1x2， AB0，1 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运 用 15设命题甲为“0x3” ，命题乙为“|x2|1” ，那么甲是乙的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】解出不等式，即可判断出关系 【解答】解：由|x2|1，解得：1x3 甲是乙的必要不充分条件 故选：B 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 第 9 页（共 13 页） 属于

16、基础题 16下列函数中，值域是（0，+）的是（ ） Ayx By Cy3|x|1 Dyx 2 【分析】分别求出四个函数的值域得答案 【解答】解：函数的值域为 R； 由 x22x30，得 x1 或 x3，则函数 y的值域为0，+） ； |x|0，3|x|1，则函数 y3|x|1 的值域为0，+） ； y0，则函数 yx 2 的值域为（0，+） 值域是（0，+）的是 yx 2 故选：D 【点评】本题考查函数的值域及其求法，是基础的计算题 三、解答题三、解答题 17已知函数 f（x）ax（a1）在区间1，2上的最大值比最小值大 2，求实数 a 的值 【分析】对于指数函数 a1 时，函数 f（x）ax

17、在区间1，2上是增函数，求出最值， 作差求出 a 即可 【解答】解：当 a1 时，函数 f（x）ax在区间1，2上是增函数， f（x）minf（1）a，f（x）maxf（2）a2， 由题意知 a2a2，解得 a2，a1（舍弃） ， 故 a 的值为：2 【点评】考查指数函数的单调性和最值，基础题 18已知函数 f（x）求： （1）函数 f（x）的定义域； （2）判断函数 f（x）的奇偶性，并加以证明 【分析】 （1）由题意可得，解不等式即可求解； （2）只要检验 f（x）与 f（x）的关系即可判断 第 10 页（共 13 页） 【解答】解： （1）由题意可得， 解可得，1x1 且 x0， 故函数

18、的定义域1，0）（0，1； （2）因为 f（x）， 所以 f（x）f（x） ， 故 f（x）为偶函数 【点评】本 题主要考查了函数定义域的求解及函数奇偶性的判断，属于基础试题 19甲乙两地的高速公路全长 166 千米，汽车从甲地进入该高速公路后匀速行驶到乙地，车 速 v70，120（千米/时） ，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固 定部分组成：可变部分为 0.02v2，固定部分为 220 元 （1）把全程运输成本 y（元）表示为速度 v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义 域； （2）汽车应以多大速度行驶才能使全程运输成本最小？最小运输成本为多少元？（结果 保留整数） 【

19、分析】 （1）由题意可知：； （2），当且仅当 0.02v即 v10105 时，等号成立，即 v105 时，最小运输成本为 696 元 【解答】解： （1）由题意可知：； （2）， 当且仅当 0.02v即 v10105 时，等号成立， 即 v105 时，最小运输成本为 696 元 【点评】本题主要考查了函数的实际运用，是中档题 20已知 m 是整数，幂函数 f（x）x m2+m+2 在0，+）上是单调递增函数 （1）求幂函数 f（x）的解析式； （2）作出函数 g（x）|f（x）1|的大致图象； 第 11 页（共 13 页） （3）写出 g（x）的单调区间，并用定义法证明 g（x）在区间1，+

20、）上的单调性 【分析】 （1）求幂函数 f（x）的解析式； （2）作出函数 g（x）|f（x）1|的大致图象； （3）写出 g（x）的单调区间，并用定义法证明 g（x）在区间1，+）上的单调性 【解答】解： （1）由 f（x）在0，+）上单调递增可得：m2+m+20，1m2， 又mZ，m0 或 m1， f（x）x2； （2）由于 f（x）x2，所以 g（x）|x21| 如图所示： （3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：，1和0，1 函数的单调增区间为1，0和1，+） 证明：设 1x1x2， 所以 所以 g（x2）g（x1）（x2x1） （x2+x1）0 所以函数在区间1，+）上为增函数 【

21、点评】本题主要考查：幂函数的定义和函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能 力和转换能力及思维能力，属于基础题 第 12 页（共 13 页） 21已知函数 f（x）4+loga（1x） （a0，a1）的反函数 f 1（x）的图象经过点 P（5， 1） ，函数 g（x）b（bR）为奇函数 （1）求函数 f（x）的解析式； （2）求函数 F（x）g（x）+2x2 的零点； （3）设 g（x）的反函数为 g 1（x） ，若关于 x 的不等式 k+g1（x）f（x）在区间（1， 0）上恒成立，求正实数 k 的取值范围 【分析】 （1）由题意可得 f（x）的图象过点（1，5） ，解方程可得 a 的值，进

22、而得到所 求解析式； （2）求得 F（x）的解析式，令 F（x）0，解方程可得所求零点； （3）求得反函数 g 1（x） ，运用参数分离和对勾函数的单调性、对数函数的单调性，可 得最值，即可得到所求范围 【解答】解： （1）由题意可得 f（x）的图象过点（1，5） ，即 f（1）4+loga25， 解得 a2， 即有 f（x）4+log2（1x） ； （2）g（x）为 R 上的奇函数，可得 g（0）0，即 b10，可得 b1， g（x）1，F（x）g（x）+2x20， 即+2x10，即有（2x1） （2x+1）2，可得 4x3，解得 xlog43，即所求 零点为 log43； （3）g 1（x）log 2 ，1x1， k+g 1（x）f（x）即 kf（x）g1（x）4+log 2（1x）log2 4+log2， 令 t1+x，0t1，则 k4+log24+log2（t+4） ， 易得 ylog2（t+4）在 0t1 单调递减， 可得 y4+log2（t+4）（4，+） ，可得 k4，又 k0， 可得 k 的范围是（0，4 【点评】本题考查函数与反函数的关系，考查函数的单调性和奇偶性的运用，以及不等 式恒成立问题解法，参数分离法和化简运算能力、推理能力，属于中档题