2019-2020学年上海市奉贤区高一（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、已知扇形的周长是 6cm，面积是 2cm2，则扇形的中心角的弧度数是 2 （4 分）函数 f（x）log2（5x+1）的值域为 3 （4 分）已知 f（x）3x2，则 f 1f（x） ；ff1（x） 4 （4 分）已知，那么 tan（2） 5（4分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若a， 则角 A 的大小为 6 （4 分）设 2a5bm，且+2，m 7 （5 分）已知 sin（+），则 cos（）的值为 8 （5 分）设 f 1（x）是函数 f（x）log 2（x+1）的反函数，若1+f 1（a）1+f1（b） 8，则 a+b 的值为 9 （5 分）在ABC 中

2、，a，b，c 分别为 A、B、C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，B 30，ABC 的面积为 0.5，那么 b 为 10 （5 分）已知 tan（+）3，则 sin22cos2 11 （5 分）设 为第四象限的角，若，则 tan2 12 （5 分）给出下列四个命题： （1）函数 f（x）x|x|+bx+c 为奇函数的充要条件是 c0； （2）函数 y2 x（x0）的反函数是 ylog 2x（0x1） ； （3）若函数 f（x）1g（x2+axa）的值域是 R，则 a4 或 a0； （4）若函数 yf（x1）是偶函数，则函数 yf（x）的图象关于直线 x0 对称 其中所有正确命题的序号是

3、二、选择题（本大二、选择题（本大题共有题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）分） 13 （5 分）已知 A 是三角形 ABC 的内角，则“cosA”是“sinA”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14 （5 分）若 是第二象限的角，sin，则 sin 的值为（ ） 第 2 页（共 15 页） A B C D 15（5 分） 函数 ya+logbx 的图象如图所示， 其中 a、 b 为常数， 则下列结论正确的是 （ ） Aa0，b1 Ba0，b1 Ca0，0b1 Da0，0b1 16 （5 分）不等式 loga（x22x+3

4、）1 在 xR 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A2，+） B （1，2 C） D （0， 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分） 17 （14 分）已知 sin，求 tan（+）+的值 18 （14 分）已知 2x256 且 log2x，求函数 f（x）的最大值和最 小值 19 （14 分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形 状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（ACB） ，墙 AB 的长度为 6 米， （已有 两面墙的可利用长度足够大） ，记ABC （1）若 ，求ABC 的周长（结果精确到 0.01 米）

5、 ； （2） 为了使小动物能健康成长， 要求所建的三角形露天活动室面积ABC 的面积尽可能 大，问当 为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积 第 3 页（共 15 页） 20 （16 分）已知，是 R 上的奇函数 （1）求 a 的值； （2）求 f（x）的反函数； （3）对任意的 k（0，+）解不等式 21 （18 分）已知 f（x）定义在实数集 R 上的函数，把方程 f（x）称为函数 f （x）的特征方程，特征方程的两个实根 、（）称为 f（x）的特征根 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）把函数 yf（x） ，x，的最大值记作 maxf（x） 、最小值记作 minf（x） ，令

6、 g（m） maxf（x）minf（x） ，若 g（m）恒成立，求 的取值范围 第 4 页（共 15 页） 2019-2020 学年上海市奉贤区高一（下）期中数学试卷学年上海市奉贤区高一（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有一、填空题（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分）分） 1 （4 分）已知扇形的周长是 6cm，面积是 2cm2，则扇形的中心角的弧度数是 1 或 4 【分析】利用弧长公式、扇形面积计算公式即可得出 【解答】解：设扇形的中心角为 ，半径为 r 则

7、2r+r6，2， 解得 r1，4；r2，1 故答案为：1 或 4 【点评】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 2 （4 分）函数 f（x）log2（5x+1）的值域为 （0，+） 【分析】根据指数函数与对数函数的性质即可求解 【解答】解：因为 5x0，所以 5x+11，log2（5x+1）0， 即函数 f（x）log2（5x+1）的值域为（0，+） 故答案为： （0，+） 【点评】本题主要考查了利用指数与对数函数的性质求解函数的值域，属于基础试题 3 （4 分）已知 f（x）3x2，则 f 1f（x） x ；ff1（x） x 【分析】因为 f（x）3x

8、2，所以 f 1（x） ，代入即可 【解答】解：f（x）3x2， ， f 1f（x）f1（3x2） x， ff 1（x）f（ ）32x 故答案为：x，x 【点评】本题考查函数的解析式的求法，考查反函数的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题 第 5 页（共 15 页） 4 （4 分）已知，那么 tan（2） 【分析】把所求的式子中的角 2 变为（），然后利用两角差的正切函数公 式化简后，把已知的 tan 和 tan（）的值代入即可求出值 【解答】解：由 ， 则 tan（2）tan（） 故答案为： 【点评】此题考查学生灵活运用两角差的正切函数公式化简求值，是一道基础题学生 做题时应注意角度

9、的灵活变换 5（4分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， 若a， 则角 A 的大小为 30 【分析】 由 sinB+cosB， 平方可求 sin2B， 进而可求 B， 然后利用正弦定理 可求 sinA，进而可求 A 【解答】解：由 sinB+cosB，两边平方可得 1+2sinBcosB2， 2sinBcosB1，即 sin2B1， 0B，B45， 又a，b2， 在ABC 中，由正弦定理得：， 解得 sinA， 又 ab，AB45， A30 故答案为：30 【点评】本题考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边 对大角的应用，是易错题 6 （4

10、 分）设 2a5bm，且+2，m 【分析】 先解出 a， b， 再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到 m 的等式， 求 m 第 6 页（共 15 页） 【解答】解：2a5bm，alog2m，blog5m，由换底公式得 ，m210，m0， 故应填 【点评】考查指对转化，对数的运算性质，求两对数式的倒数和，若两真数相同，常用 换底公式转化为同底的对数求和 7 （5 分）已知 sin（+），则 cos（）的值为 【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式即可计算求解 【解答】解：sin（+）， cos（）cos2（）cos2（）2sin2（）1 故答案为： 【点评】本题主要考查了诱

11、导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应 用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 8 （5 分）设 f 1（x）是函数 f（x）log 2（x+1）的反函数，若1+f 1（a）1+f1（b） 8，则 a+b 的值为 3 【分析】由题意可得反函数为 f 1（x）2x1，再由1+f1（a）1+f1（b）8，可 得 2a2b2a+b8，由此求得 a+b 的值 【解答】解：由题意可得反函数为 yf 1（x）2x1，故由1+f1（a）1+f1（b） 8， 可得 2a2b2a+b8，故 a+b3， 故答案为 3 【点评】本题主要考查求反函数的方法，求函数的值，属于基础题 9 （5 分）在AB

12、C 中，a，b，c 分别为 A、B、C 的对边，如果 a，b，c 成等差数列，B 30，ABC 的面积为 0.5，那么 b 为 【分析】由题意利用等差数列的性质，余弦定理、三角形的面积公式，求得 b 的值 【解答】解：在ABC 中，如果 a，b，c 成等差数列，则 2ba+c， SABCacsinBac.0.5，ac2，所以，a2+c2+2ac4b2 第 7 页（共 15 页） a2+c24b24，由余弦定理得 b2a2+c22accosB，b24b2422， b2， 故答案为： 【点评】本题主要考查等差数列的性质，余弦定理、三角形的面积公式，属于基础题 10 （5 分）已知 tan（+）3，

13、则 sin22cos2 【分析】把已知条件利用两角和的正切函数公式和特殊角的三角函数值化简求得 tan， 然后把所求的式子利用二倍角的正弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，把 tan 的值代入即可求出值 【解答】解：由，得，解得 所以 故答案为： 【点评】本题的解题思路是根据已知得到正切值得到所求的式子要化为关于正切的关系 式考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系、两角和的正切函数公式和特殊角的 三角函数值化简求值 11 （5 分）设 为第四象限的角，若，则 tan2 【分析】将已知等式左边的分子中的角 3 变形为 2+，利用两角和与差的正弦函数公 式化简，再利用二倍角的正弦函数公式

14、化简，约分后再利用二倍角的余弦函数公式化简， 得到关于 cos 的方程，求出方程的解得到 cos 的值，再利用同角三角函数间的基本关 系求出 sin 的值， 进而求出 tan 的值，最后利用二倍角的正切函数公式化简所求的式子 后，将 tan 的值代入即可求出值 【解答】解：sin3sin（2+）sin2cos+cos2sin， 2cos2+cos22cos2+2cos21， 整理得：4cos21，解得：cos或 cos， 是第四象限角，cos， sin， 第 8 页（共 15 页） tan， 则 tan2 故答案为： 【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角

15、 三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键 12 （5 分）给出下列四个命题： （1）函数 f（x）x|x|+bx+c 为奇函数的充要条件是 c0； （2）函数 y2 x（x0）的反函数是 ylog 2x（0x1） ； （3）若函数 f（x）1g（x2+axa）的值域是 R，则 a4 或 a0； （4）若函数 yf（x1）是偶函数，则函数 yf（x）的图象关于直线 x0 对称 其中所有正确命题的序号是 【分析】由 yx|x|，ybx 均为奇函数，知函数 f（x）x|x|+bx+c 为奇函数的充要条 件是 c0； 由 y2 x（x0） ，知 0y1，xlog 2

16、y，x，y 互换，得函数 y2 x（x0）的反 函数是 ylog2x（0x1） ； 根据对数函数的值域为 R，则 R+为 yx2+axa 值域的子集，将问题转化为二次函数 问题后，可判断的真假； yf（x1）是偶函数，它的图象关于 y 轴（x0）对称yf（x）是由 yf（x1） 向左平移 1 个单位得到，故可判断的真假 【解答】解：yx|x|，ybx 均为奇函数，故函数 f（x）x|x|+bx+c 为奇函数的充要 条件是 c0，故成立； 由 y2 x（x0） ，知 0y1，xlog 2y，x，y 互换，得函数 y2 x（x0）的反 函数是 ylog2x（0x1） ，故成立； 若函数 f（x）l

17、g（x2+axa）的值域是 R，则 yx2+axa 的图象与 x 轴有交点，即 a2+4a0，故 a4 或 a0，故成立； yf（x1）是偶函数，它的图象关于 y 轴（x0）对称yf（x）是由 yf（x1） 向左平移 1 个单位得到故：yf（x）关于 x1 对称，故不成立 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是充要条件，反函数的定义，函数的奇偶性，函数的值域， 第 9 页（共 15 页） 掌握函数的三要素及三大性质是解答函数类问题的关键 二、选择题（本大题共有二、选择题（本大题共有 4 题，满分题，满分 20 分，每题分，每题 5 分）分） 13 （5 分）已知 A 是三角形 ABC 的内角，

18、则“cosA”是“sinA”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【分析】根据三角函数的公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断 【解答】解：A 是三角形 ABC 的内角， 若 cosA，则 A，此时 sinA成立，即充分性成立 若 sinA，则 A或，当 A，cosA，即必要性不成立， 故“cosA”是“sinA”充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据三角函数的关系式是解决本题 的关键 14 （5 分）若 是第二象限的角，sin，则 sin 的值为（ ） A B C D 【分析】先确定是第一或三象限角，再利

19、用同角三角函数的基本关系求得 cos，利 用二倍角公式求得 sin 的值 【解答】解： 是第二象限角， 是第一或三象限角， sin， cos， sin2sincos 故选：C 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用，属于中档题 15（5 分） 函数 ya+logbx 的图象如图所示， 其中 a、 b 为常数， 则下列结论正确的是 （ ） 第 10 页（共 15 页） Aa0，b1 Ba0，b1 Ca0，0b1 Da0，0b1 【分析】由图中特殊位置：x1 时函数的值是负值，可得 a 的取值范围，再根据对数函 数的性质即可 【解答】解：当 x1 时，ya，由图形 易知 a0

20、 又函数是减函数， 0b1故选 D 故选：D 【点评】本题主要考查知识点：对数与对数函数的图象，属于基础题 16 （5 分）不等式 loga（x22x+3）1 在 xR 上恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ） A2，+） B （1，2 C） D （0， 【分析】由于 x22x+3（x1）2+22 以及题中的条件可得 0a1 且 2，由此 求得实数 a 的取值范围 【解答】 解： x22x+3 （x1） 2+22， 不等式 1 在 xR 上恒成立， 0a1 且 2 解得 a1， 第 11 页（共 15 页） 故选：C 【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的定义域，复合函数的单

21、 调性规律，属于中档题 三、解答题（本大题共有三、解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）分） 17 （14 分）已知 sin，求 tan（+）+的值 【分析】根据 sin 的值大于 0，判断 的范围为第一或第二象限角，分象限，利用同角 三角函数间的基本关系求出 cos 的值，然后把所求的式子利用诱导公式化简后，把 sin 和 cos 的值分别代入即可求出值 【解答】解：sin0， 为第一或第二象限角 当 是第一象限角时，cos， tan（+）+tan+ 当 是第二象限角时，cos，原式 【点评】此题是一道基础题，要求学生灵活运用同角三角函数间的关系及诱导公式化简 求值，值得让学生

22、注意的是根据正弦值判断角度的范围 18 （14 分）已知 2x256 且 log2x，求函数 f（x）的最大值和最 小值 【分析】由条件可得x8，运用对数的运算性质可得 f（x）（log2x1） （log2x 2） ，设 tlog2x，3，可得 t 的二次函数，配方可得对称轴，由二次函数的最值， 即可得到所求最值 【解答】解：2x256 且 log2x， 可得x8， 函数 f（x）log2 （log2x1） （2） （log2x1） （log2x2） ， 第 12 页（共 15 页） 设 tlog2x，3， 则设 g（t）（t1） （t2）t23t+2 （t）2， 当 t，即 x2时，函数 f

23、（x）取得最小值，且为； 当 t3 时，即 x8 时，函数 f（x）取得最大值，且为 2 【点评】本题考查对数函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的最值求法，考查运 算能力，属于中档题 19 （14 分）某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形 状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（ACB） ，墙 AB 的长度为 6 米， （已有 两面墙的可利用长度足够大） ，记ABC （1）若 ，求ABC 的周长（结果精确到 0.01 米） ； （2） 为了使小动物能健康成长， 要求所建的三角形露天活动室面积ABC 的面积尽可能 大，问当 为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面

24、积 【分析】 （1）在ABC 中，由正弦定理可得 AC，BC，即可求ABC 的周长； （2）利用余弦定理列出关系式，将 c，cosC 的值代入并利用基本不等式求出 ab 的最大 值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时 的值 【解答】解： （1）在ABC 中，由正弦定理可得 AC2，BC 3+， ABC 的周长为 6+3+317.60 米 （2）在ABC 中，由余弦定理：c2602a2+b22abcos60， a2+b2ab36， 36+aba2+b22ab，即 ab36， 第 13 页（共 15 页） SABCACBCsinab9， 此时 ab，ABC 为等边三角形， 60， （S

25、ABC）max9 【点评】此题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解 本题的关键 20 （16 分）已知，是 R 上的奇函数 （1）求 a 的值； （2）求 f（x）的反函数； （3）对任意的 k（0，+）解不等式 【分析】 （1）由题知奇函数在 R 上有定义，故图象过原点，所以 f（0）0，解得 a1； （2）令，依据反函数的定义解出 f（x）的反函数的表达式 （3）由（2）知由此知两边底数一致，故可以用相关函 数的单调性进行转化 【解答】解： （1）由题知 f（0）0，得 a1， 此时， 即 f（x）为奇函数 （2），得， （3）， 当 0k2 时，原不等式的解集

26、x|1kx1， 当 k2 时，原不等式的解集x|1x1 【点评】本题考点是反函数，考查反函数解析式的求法以及解对数不等式，反函数的求 法用反函数的定义，解对数不等式要根据对数的单调性进行转化 第 14 页（共 15 页） 21 （18 分）已知 f（x）定义在实数集 R 上的函数，把方程 f（x）称为函数 f （x）的特征方程，特征方程的两个实根 、（）称为 f（x）的特征根 （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）把函数 yf（x） ，x，的最大值记作 maxf（x） 、最小值记作 minf（x） ，令 g（m） maxf（x）minf（x） ，若 g（m）恒成立，求 的取值范围 【分析

27、】 （1）根据函数奇偶性的定义即可讨论函数的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义先判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化，利用参数 分离法即可得到结论 【解答】解： （1）当 m0 时，f（x），此时 f（x）f（x） ，函数 f（x）为 奇函数， 当 m0 时，函数 f（x）为非奇非偶函数 （2）证明 f（x）是增函数 f（x2）f（x1）， x1x2， ， 则m（x1+x2）20， 2x1x2x12+x22，2x1x2x12+x22m（x1+x2）+2， 即 2x1x2m（x1+x2）20， x1x2，x1x20， 即 f（x1）f（x2）0， 即 f（x1）f（x2） ， 故函数 f（x）在（，）是递增的， 则恒成立， ， ， 第 15 页（共 15 页） 2 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数最值的求解，利用条件判断函数的单 调性是解决本题的关键