2019-2020学年河南省许昌市、商丘市重点高中高一（下）4月联考数学试卷（含详细解答）

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1、用系统抽样的方法从含有 2403 个个体的总体中抽取 400 个作为样本，则抽样间 隔为（ ） A4 B5 C6 D7 2 （5 分）若样本的观测值 1，2，3，4 出现的次数分别为 1，2，3，4，则样本的平均数为 （ ） A4 B3 C D2 3 （5 分）若点 P（sin，tan）在第三象限，则角 是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 4 （5 分）函数 f（x）ln（sinx）的定义域为（ ） A B C D 5 （5 分）设 asin130，bcos（50） ，ctan230，则（ ） Aacb Bbac Ccab Dcba 6 （5 分）抛掷一枚硬币三次

2、，其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致 的概率为（ ） A B C D 7 （5 分）若弧度为的圆心角所对弦长为 m，则该圆心角所对的弧长为 （ ） A B C D 8 （5 分）执行如图所示程序框图，输出的 T 的值为（ ） 第 2 页（共 20 页） A0 B1 C D 9 （5 分）若函数 f（x）2cos2x+2sinx+a 在上的最小值为，则 f（x）在 上的最大值为（ ） A4 B5 C D 10 （5 分）已知函数 f（x）cosx（x0，）的图象与函数 g的图象交于 M， N 两点，则OMN 的面积为（ ） A B C D 11 （5 分）对于角 ，当分式有意义

3、时，该分式一定等于下列选项中的哪一 个式子（ ） A B C D 12 （5 分）在矩形 ABCD 中，ABAD，在 CD 上任取一点 P，使ABP 的最大边是 AB 的 概率为， 则在折线 ADCB 上任取一点 Q， 使ABQ 是直角三角形的概率为 （ ） A B C D 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）部分与整体 以某种相似 的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形， 由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边 中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小

4、三角形后，对其余 3 个小三角 形重复上述过程逐次得到各个图形，如图现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点 取自阴影部分的概率为 第 3 页（共 20 页） 14 （5 分）已知函数 f（x）2cosx（0）在区间上的最小值为，则 f（x） 的最小正周期为 15 （5 分）已知一组数据 3x1+2，3x2+2，3xn+2 的标准差为，数据 x1，x2，xn 的方差为 a22，则 a 16 （5 分）已知 是第四象限角，sin（+），则 sin（） ， 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）一

5、个盒子中装有 6 个完全相同的小球，分别标号为 1，2，3，4，5，6 （1）一次取出两个小球，求其号码之和能被 3 整除的概率； （2）有放回的取球两次，每次取一个，求两个小球号码是相邻整数的概率 18 （12 分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线 上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学 学科考试，随机抽取 50 名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示 （1）求 m 的值，并估计高一年级所有学生数学成绩在70，100分的学生所占的百分比； （2）分别估计这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数 （同一组中的数据以该组

6、区间的 中点值作代表，结果精确到 0.1） 19 （12 分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能 音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求经市场调查，某种新型智能音箱的 广告费支出 x（万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如表对应数据： 第 4 页（共 20 页） x 1 4 5 6 9 y 20 35 50 65 80 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程（数据精确到 0.01） ； （2）利用（1）中的回归方程，预测广告费支出 10 万元时的销售额 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， 20 （12 分）已知函数的最大值为 5，最

7、小值为 1 （1）求 a，b 的值； （2）若 f（x）的最小正周期为 4，求 f（x）的单调递增区间及在1，3上的值域 21 （12 分）某林业部门为了保证植树造林的树苗质量，对甲、乙两家供应的树苗进行根部 直径检测， 现从两家供应的树苗中各随机抽取 10 株树苗检测， 测得根部直径如下 （单位： mm） ： 甲：27 11 21 10 19 09 22 13 15 23 乙：15 20 27 17 21 14 16 18 24 18 （1）画出甲、乙两家抽取的 10 株树苗根部直径的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两家 树苗进行比较，写出两个统计结论； （2）设抽测的 10 株乙家树苗根部直径

8、的平均值为 ，将这 10 株树苗直径依次输入程序 框图中，求输出的 S 的值，并说明其统计学的意义 第 5 页（共 20 页） 22 （12 分）已知 （0，） ，且 （1）求的值； （2）求值 第 6 页（共 20 页） 2019-2020 学年河南省许昌学年河南省许昌市、商丘市重点高中高一（下）市、商丘市重点高中高一（下）4 月月 联考数学试卷联考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要

9、求的. 1 （5 分）用系统抽样的方法从含有 2403 个个体的总体中抽取 400 个作为样本，则抽样间 隔为（ ） A4 B5 C6 D7 【分析】根据系统抽样方法，计算系统抽样间隔即可 【解答】解：用系统抽样的方法从含有 2403 个个体的总体中抽取 400 个作为样本， 由 240340063， 先剔除 3 个数据，再按抽样间隔为 6 进行分组 故选：C 【点评】本题考查了系统抽样方法应用问题，是基础题 2 （5 分）若样本的观测值 1，2，3，4 出现的次数分别为 1，2，3，4，则样本的平均数为 （ ） A4 B3 C D2 【分析】根据加权平均数的定义，计算即可 【解答】解：由题意

10、，计算样本的平均数为： （11+22+33+44）3 故选：B 【点评】本题考查了平均数的计算问题，是基础题 3 （5 分）若点 P（sin，tan）在第三象限，则角 是（ ） A第一象限角 B第二象限角 C第三象限角 D第四象限角 【分析】点 P（sin，tan）在第三象限，可得 sin0，tan0即可判断出结论 【解答】解：点 P（sin，tan）在第三象限， sin0，tan0 第 7 页（共 20 页） 则角 是第四象限角 故选：D 【点评】本题考查了象限角的三角函数值的符号、点的坐标的特点，考查了推理能力与 计算能力，属于基础题 4 （5 分）函数 f（x）ln（sinx）的定义域为

11、（ ） A B C D 【分析】根据对数函数与三角函数的定义与性质，求解即可 【解答】解：函数 f（x）ln（sinx）中，令 sinx0， 得 sinx， 解得+2kx+2k，kZ； 所以函数 f（x）的定义域为（2k+，2k+） ，kZ 故选：C 【点评】本题考查了对数函数与三角函数的定义与性质应用问题，是基础题 5 （5 分）设 asin130，bcos（50） ，ctan230，则（ ） Aacb Bbac Ccab Dcba 【分析】本题考查的是三角函数线，诱导公式，利用诱导公式将三个三角函数都化成第 一象限的角，利用单位圆中的知识，455090然后比较大小，cos50sin50 t

12、an50 【解答】解：asin130sin（18050）sin50， bcos（50）cos50， ctan230tan（180+50）tan50， 所以由上面计算可知 cos50sin50tan50，即 bac 故选：C 【点评】解本题时，要先将大角化小角，都化成第一象限角，然后在单位圆中比较三条 第 8 页（共 20 页） 三角函数线的长短，由于都是第一象限角，三个函数都为正，所以三角函数线越长值就 越大 6 （5 分）抛掷一枚硬币三次，其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致 的概率为（ ） A B C D 【分析】利用互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公式直接求解

13、【解答】解：抛掷一枚硬币三次， 其中相邻两次向上的图案一致且与另一次向上的图案不一致的概率为： P+（1）+（1）（1） 故选：B 【点评】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、相互独立事件概率乘法公 式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 7 （5 分）若弧度为的圆心角所对弦长为 m，则该圆心角所对的弧长为 （ ） A B C D 【分析】根据三角函数定义求出圆的半径，再计算圆心角所对的弧长 【解答】解：设圆的半径为 r，由弧度为的圆心角所对弦长为 m， 则 sin，r； 该圆心角所对的弧长为 l2r 故选：A 【点评】本题考查了三角函数的定义与弧长计算问题，是基础题 8 （5 分

14、）执行如图所示程序框图，输出的 T 的值为（ ） 第 9 页（共 20 页） A0 B1 C D 【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的 n 值 【解答】解：由程序框图知，第一次循环得到：T1+，n2， 第二次循环得到：T1，n3， 第三次循环得到：T1，n4， 第四次循环得到：T1+，n5， 第五次循环得到：T1，n6， ， 该程序是计算 T 的值，且以 3 为周期， n20206733+1，退出循环，输出 T1 故选：B 【点评】本题考查了程序框图的运行问题，模拟程序的运行过程是解题的关键 9 （5 分）若函数 f（x）2cos2x+2sinx+a 在上的最小值为，则

15、 f（x）在 上的最大值为（ ） A4 B5 C D 【分析】首先利用关系式的恒等变换的应用，把函数的关系式变形成二次型函数的形式， 进一步利用二次函数的性质的应用求出结果 【解答】解：由于，所以， 则函数 f（x）2cos2x+2sinx+a2， 当 sinx时，函数的最小值为，解得 a3 第 10 页（共 20 页） 所以 f（x） 由于，所以， 当时，函数的最大值为 故选：D 【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用， 二次函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题 型 10 （5 分）已知函数 f（x）cosx（x0，）

16、的图象与函数 g的图象交于 M， N 两点，则OMN 的面积为（ ） A B C D 【分析】由题意可知，M、N 两点关于（，0）对称，因此可以得到两个三角形全等， 求出一个三角形的面积就可以，正切函数和余弦函数交点的纵坐标即为三角形的高，横 坐标为，利用三角形面积公式就可以求出三角形的面积 【解答】解：由题意可知，M、N 两点关于（，0）对称 函数 f（x）与 g（x）相交与两点 cosxtanx，可得 cosx，2cos2xsinx，2（1sin2x）sinx， （sinx+2） （sinx1）0，解得 sinx，所以 x1和 x2 两交点为（，） ， （，） 设 ycosx 与 x 轴相

17、较于 A 点 SOMNSOMA+SOAN SOMA ，SOAN SOMN+ 故选：B 【点评】本题找出对称点是解题的关键，根据两个三角函数图象画出要求的三角形，这 个三角形面积是由两个三角形加和得到的，根据数形结合的方法，准确求出三角形的面 第 11 页（共 20 页） 积 11 （5 分）对于角 ，当分式有意义时，该分式一定等于下列选项中的哪一 个式子（ ） A B C D 【分析】利用同角的三角函数关系，化简即可 【解答】解： 故选：D 【点评】本题考查了同角的三角函数关系应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题 12 （5 分）在矩形 ABCD 中，ABAD，在 CD 上任取一点 P，使

18、ABP 的最大边是 AB 的 概率为， 则在折线 ADCB 上任取一点 Q， 使ABQ 是直角三角形的概率为 （ ） A B C D 【分析】先根据“ABP 的最大边是 AB 的概率为”确定出矩形两边长的关系，然后易 知当 Q 点在线段 AD 和 BC 上时，ABQ 是直角三角形，矩形两条宽的长度和比上周长 即为所求 第 12 页（共 20 页） 【解答】解：如图：P 所在位置使ABP 的最大边是 AB 的概率为， 可令 AB5，设 P 在 MN 之间运动时，ABP 的最大边是 AB，易知 ABAMBN3， DNMC1，由勾股定理得 ADBC3 又 Q 在线段 AD 或 BC 上时，ABQ 是

19、直角三角形，故概率 P 故选：A 【点评】本题考查了几何概型的计算方法本例的关键是能够判断出 M、N 两点的位置， 由此进一步确定出矩形长宽的关系 二二.填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）部分与整体 以某种相似 的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形， 由波兰数学家谢尔宾斯基 1915 年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边 中点连线，将它分成 4 个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余 3 个小三角 形重复上述过程逐次得到各个图形，如图现在上述图（3）中随机选取一个点，则此点 取自阴影部分的概率

20、为 【分析】由归纳推理得：设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S，则图（3）中阴影部 分的面积为：9S，又图（3）中大三角形的面积为 16S， 由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率为，得解 【解答】解：设图（3）中 1 个小阴影三角形的面积为 S， 则图（3）中阴影部分的面积为：9S， 又图（3）中大三角形的面积为 16S， 第 13 页（共 20 页） 由几何概型中的面积型可得： 此点取自阴影部分的概率为， 故答案为： 【点评】本题考查了归纳推理及几何概型中的面积型题型，属简单题 14 （5 分）已知函数 f（x）2cosx（0）在区间上的最小值为，则 f（x） 的最小正周期

21、为 【分析】由题意结合给定单调减区间得到 x时该函数取得最小值，然后即可确定 的值 【解答】解：函数 f（x）2cosx（0）在区间上递减， x时该函数取得最小值， 2cos，可得 cos， ， ， 故答案为： 【点评】本题重点考查了余弦函数的单调性、常见特殊角的三角函数等知识，属于基础 题 15 （5 分）已知一组数据 3x1+2，3x2+2，3xn+2 的标准差为，数据 x1，x2，xn 的方差为 a22，则 a 2 【分析】根据数据 3x1+2，3x2+2，3xn+2 的标准差求出数据 x1，x2，xn的标准差， 再由方差列方程求出 a 的值 【解答】解：数据 3x1+2，3x2+2，3

22、xn+2 的标准差为， 所以数据 x1，x2，xn的标准差是（a0） ， 它的方差是 a，即 a22a， 解方程得 a2 或 a1（舍去） ， 所以 a2 故答案为：2 第 14 页（共 20 页） 【点评】本题考查了标准差与方差的定义与运算问题，是基础题 16 （5 分）已知 是第四象限角，sin（+），则 sin（） ， 【分析】由已知 sin（）sin（）sin（）结合诱导公 式可求；由 tan（）tan（），结合同角基本关系 可求 【解答】解：因为 sin（+）， 则 sin（）sin（）sin（）， 因为，所以， 因为 sin（+）， 所以 cos（），tan（）， 所以 tan（）

23、tan（） 故答案为：， 【点评】本题主要考查了同角基本关系及诱导公式在三角求值化简中的应用，属于中档 试题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）一个盒子中装有 6 个完全相同的小球，分别标号为 1，2，3，4，5，6 （1）一次取出两个小球，求其号码之和能被 3 整除的概率； （2）有放回的取球两次，每次取一个，求两个小球号码是相邻整数的概率 【分析】 （1）一次取出两个小球，基本事件总数 n15，利用列举法求出其号码之 和能被 3 整除包含的基本事件有 5 个，由此能求出其号码之和能被

24、3 整除的概率 （2）有放回的取球两次，每次取一个，基本事件总数 n6636，利用列举法两个 小球号码是相邻整数包含的基本事件有 10 个， 由此能求出两个小球号码是相邻整数的概 率 第 15 页（共 20 页） 【解答】解： （1）一个盒子中装有 6 个完全相同的小球，分别标号为 1，2，3，4，5，6 一次取出两个小球，基本事件总数 n15， 其号码之和能被 3 整除包含的基本事件有： （1，2） ， （1，5） ， （2，4） ， （3，6） ， （4，5） ，共 5 个， 其号码之和能被 3 整除的概率为：P （2）有放回的取球两次，每次取一个， 基本事件总数 n6636， 两个小球号

25、码是相邻整数包含的基本事件有： （1，2） ， （2，1） ， （2，3） ， （3，2） ， （3，4） ， （4，3） ， （4，5） ， （5，4） ， （5，6） ， （6， 5） ，共 10 个， 两个小球号码是相邻整数的概率 P 【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 18 （12 分）某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线 上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织了数学 学科考试，随机抽取 50 名学生的成绩并制成频率分布直方图如图所示 （1）求 m 的值，并估计高一年级

26、所有学生数学成绩在70，100分的学生所占的百分比； （2）分别估计这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数 （同一组中的数据以该组区间的 中点值作代表，结果精确到 0.1） 【分析】 （1）根据频率分布直方图中各小长方体的体积之和为 1，可求出 m 的值，计算 出 50 名学生中数学成绩在70，100的概率，用样本估算总体，即是高一年级所有学生数 学成绩在70，100分的学生所占的百分比； （2）利用每组的频率该组区间的中点值再相加，即可求出平均数的估计值，先利用各 第 16 页（共 20 页） 组频率判断中位数落在哪一组，然后利用中位数左侧小长方体的面积为，即可估算出 中位数 【解答】解：

27、 （1）由频率分布直方图可知，m1（0.004+0.006+0.02+0.03+0.024） 100.016， 50 名学生中数学成绩在70，100的概率为： （0.03+0.024+0.016）100.7， 故高一年级所有学生数学成绩在70，100分的学生所占的百分比估计为 70%； （2）这 50 名学生数学成绩的平均数为：0.0445+0.0655+0.265+0.375+0.24 85+0.169576.2， 设这 50 名学生数学成绩的中位数为 x， 0.04+0.06+0.20.5，0.04+0.06+0.2+0.30.5， 中位数落在70，80这组， 0.04+0.06+0.2+

28、（x70）0.030.5， 解得 x76.7， 故这 50 名学生数学成绩的平均数和中位数估计值分别为 76.2，76.7 【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了根据频率分布直方图估计平均 数和中位数，是中档题 19 （12 分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能 音箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求经市场调查，某种新型智能音箱的 广告费支出 x（万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如表对应数据： x 1 4 5 6 9 y 20 35 50 65 80 （1）求 y 关于 x 的线性回归方程（数据精确到 0.01） ； （2）利用（1）

29、中的回归方程，预测广告费支出 10 万元时的销售额 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 第 17 页（共 20 页） ， 【分析】 （1）由已知表格中的数据求得 与 的值，则线性回归方程可求； （2）在（1）中求得的线性回归方程中，取 x10 求得 y 值即可 【解答】解： （1）， ， y 关于 x 的线性回归方程为； （2）在中，取 x10，得 预测广告费支出 10 万元时的销售额为 89.7 万元 【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题 20 （12 分）已知函数的最大值为 5，最小值为 1 （1）求 a，b 的值； （2）若 f（x）的最小正周期为

30、4，求 f（x）的单调递增区间及在1，3上的值域 【分析】 （1）根据 f（x）的最大值为 5，最小值为 1 即可得出，从而解出 a2， b3； （2）根据 f（x）的周期为 4 即可得出，从而得出， 然后解即可得出 f（x）的单调递增区间；而根据 x1，3即可得出的范围，进而得出 f（x）在1，3上的值域 【解答】解： （1）f（x）的最大值为 5，最小值为 1， ，解得 a2，b3； 第 18 页（共 20 页） （2）f（x）的最小正周期为 4，且 0， ，解得， ， 解得，kZ， f（x）的单调递增区间为，kZ， x1，3， ， ， ， f（x）在1，3上的值域为 【点评】本题考查了正

31、弦函数的最值，函数 yAsin（x+）+k 的周期的计算公式，正 弦函数的单调区间，熟悉正弦函数的图象，考查了计算能力，属于基础题 21 （12 分）某林业部门为了保证植树造林的树苗质量，对甲、乙两家供应的树苗进行根部 直径检测， 现从两家供应的树苗中各随机抽取 10 株树苗检测， 测得根部直径如下 （单位： mm） ： 甲：27 11 21 10 19 09 22 13 15 23 乙：15 20 27 17 21 14 16 18 24 18 （1）画出甲、乙两家抽取的 10 株树苗根部直径的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两家 树苗进行比较，写出两个统计结论； （2）设抽测的 10 株乙家树

32、苗根部直径的平均值为 ，将这 10 株树苗直径依次输入程序 框图中，求输出的 S 的值，并说明其统计学的意义 第 19 页（共 20 页） 【分析】 （1）画出茎叶图，通过图能判断甲，乙两种树苗的平均高度、分散情况、中位 数的值 （2）直接利用均值与方差公式求解，说明几何意义 【解答】解： （1）根据题意画出茎叶图，如图所示； 由茎叶图得出统计结论如下： 甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度； 乙种树苗比甲种树苗长得整齐； 甲种树苗的中位数为 17，乙种树苗的中位数为 18 （2）计算 （14+15+16+17+18+18+20+21+24+27）19， S（1419）2+（1519）2+

33、（1619）2+（1719）2+（1819）2 +（1819）2+（2019）2+（2119）2+（2419）2+（2719）2 15； S 表示 10 株乙种树苗高度的方差 【点评】通过茎叶图的形状能判断出平均值、中位数、众数、稳定与分散程度 22 （12 分）已知 （0，） ，且 （1）求的值； 第 20 页（共 20 页） （2）求值 【分析】 （1）由已知利用诱导公式可求 cos+sin，两边平方可得 2cossin ，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解 （2）由（1）可得 cos+sin，结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求 cos，sin 的值，即可计算得解 【解答】解： （1）（0，） ，且， 可得：cossin，即 cos+sin，两边平方可得：1+2cossin， 可得 2cossin， 为钝角，cos0， cos+sin （1+sin）+1+coscossin （2）由（1）可得：（0，） ，cos+sin0， （，） ， 又cos2+sin21， 由解得 cos，sin， 【点评】本题主要考查了诱导公式、同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的 应用，考查了计算能力和转化思想，计算量比较大，属于中档题