2019-2020学年江苏省南通市海安高中高三(下)期初数学试卷(3月份)含详细解答
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1、已知集合 A1, 0, 2, Bx|x2n1, nZ, 则 AB 中元素的个数为 2 (5 分)已知复数 z112i,z2a+2i(其中 i 是虚数单位,aR) ,若 z1z2是纯虚数, 则 a 的值为 3 (5 分)从集合1,2,3中随机取一个元素,记为 a,从集合2,3,4中随机取一个元 素,记为 b,则 ab 的概率为 4 (5 分)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 400,右图为检测 结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间25,30)的为一等品,在 区间20, 25) 和30, 35) 的为二等品, 其余均为三等品, 则样本中三等品的件数为 5 (
2、5 分)如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 6 (5 分)若“|x1|3”是“ (x+2) (x+a)0”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 围是 7 (5 分) 已知圆锥的母线长为 5, 侧面积为 15, 则此圆锥的体积为 (结果保留 ) 8 (5 分)函数 f(x)sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 ,单调递减区间是 9 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,1) ,B(3,4)两点,若点 C 在 AOB 的平分线上,且|,则点 C 的坐标是 10 (5 分)设 Sn为数列an的前 n 项和,若 Snnan3n(n1) (nN*) ,且 a211,则
3、第 2 页(共 24 页) S20的值为 11 (5 分)在平面四边形 ABCD 中,ABC75BC2,则 AB 的取值范围 是 12 (5 分)已知函数 f(x),若 f(t)f() ,则实数 t 的 取值范围是 13 (5 分)在平面直角坐标系中,点集 A(x,y)|x2+y21,B(x,y)|x4,y0, 3x4y0,则点集 Q(x,y)|xx1+x2,yy1+y2, (x1,y1)A, (x2,y2)B所 表示的区域的面积为 14 (5 分)设函数 f(x)(2x1)exax+a,若存在唯一的整数 x0使得 f(x0)0,则 实数 a 的取值范围是 二、解答题:本大题共二、解答题:本大
4、题共 6 小题,共计小题,共计 90 分请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文分请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤 15 (14 分)已知函数 (1)设 0,且 f()+1,求 的值; (2)在ABC 中,AB1,f(C)+1,且ABC 的面积为,求 sinA+sinB 的值 16 (14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是菱形,AC,BD 相交于点 O, EFAB,EFAB,平面 BCF平面 ABCD,BFCF,G 为 BC 的中点,求证: (1)OG平面 ABFE; (2)AC平面 BDE 17 (14
5、分)某生物探测器在水中逆流行进时,所消耗的能量为 EcvnT,其中 v 为进行时 第 3 页(共 24 页) 相对于水的速度,T 为行进时的时间(单位:h) ,c 为常数,n 为能量次级数,如果水的 速度为 4km/h,该生物探测器在水中逆流行进 200km (1)求 T 关于 v 的函数关系式; (2)当能量次级数为 2 时,求探测器消耗的最少能量; 当能量次级数为 3 时,试确定 v 的大小,使该探测器消耗的能量最少 18 (16 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆+1(ab0)的焦距 F1F2的长 为 2,经过第二象限内一点 P(m,n)的直线+1 与圆 x2+y2a2交于 A,
6、B 两点, 且 OA (1)求 PF1+PF2的值; (2)若,求 m,n 的值 19 (16 分)已知函数 f(x)a(|sinx|+|cosx|)sin2x1,aR (1)写出函数 f(x)的最小正周期(不必写出过程) ; (2)求函数 f(x)的最大值; (3)当 a1 时,若函数 f(x)在区间(0,k) (kN*)上恰有 2015 个零点,求 k 的 值 20 (16 分)已知正整数 , 为常数,且 1,无穷数列an的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn,且 SnannN*记数列an中任意不同两项的和构成的集合为 A (1)求证:数列an为等比数列,并求 的值; (2)若 2015
7、A,求 的值; (3)已知 m1,求集合x|32n 1x32n,xA的元素个数 【选做题】请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分,【选做题】请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的前两题评分, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.选修选修 4-2:矩阵与变换:矩阵与变换 21 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,先对曲线 C 作矩阵 A(0 2)所对应的变换,再将所得曲线作矩阵 B(0k1)所对应的变换,若连 续实施两次变换所对应的矩阵为,求 k, 的值 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标
8、系与参数方程 第 4 页(共 24 页) 22 (10 分)在极坐标系中,已知 A(1,) ,B(9,) ,线段 AB 的垂直平分线 l 与极 轴交于点 C,求 l 的极坐标方程及ABC 的面积 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知实数 a,b 满足|a+b|2,求证:|a2+2ab2+2b|4(|a|+2) 24 (10 分)在正方体 ABCDA1B1C1D1中,O 是 AC 的中点,E 是线段 D1O 上一点,且 D1EEO (1)若 1,求异面直线 DE 与 CD1所成角的余弦值; (2)若平面 CDE平面 CD1O,求 的值 25 (10 分)一种抛硬币游戏的规则是:抛掷
9、一枚硬币,每次正面向上得 1 分,反面向上得 2 分 (1)设抛掷 5 次的得分为 ,求 的分布列和数学期望 E; (2)求恰好得到 n(nN*)分的概率 第 5 页(共 24 页) 2019-2020 学年江苏省南通市海安高中高三(下)期初数学试卷学年江苏省南通市海安高中高三(下)期初数学试卷 (3 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题:本大题共一、填空题:本大题共 14 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 70 分请把答案填写在答题纸相应位置分请把答案填写在答题纸相应位置 上上 1(5 分) 已知集合 A1, 0, 2, Bx|x2n1, nZ, 则 AB
10、 中元素的个数为 1 【分析】进行交集的运算即可得出 AB,从而可得出 AB 中元素的个数 【解答】解:A1,0,2,Bx|x2n1,nZ, AB1, AB 中元素的个数为 1 故答案为:1 【点评】本题考查了列举法、描述法的定义,交集的运算,集合元素的定义,考查了计 算能力,属于基础题 2 (5 分)已知复数 z112i,z2a+2i(其中 i 是虚数单位,aR) ,若 z1z2是纯虚数, 则 a 的值为 4 【分析】由复数代数形式的乘法运算化简,然后由实部等于 0 且虚部不等于 0 求得 a 值 【解答】解:z112i,z2a+2i, z1z2(12i) (a+2i)a+4+(22a)i,
11、 又 z1z2是纯虚数,解得:a4 故答案为:4 【点评】本题考查复数代数形式的乘法运算,考查了复数为纯虚数的条件,是基础题 3 (5 分)从集合1,2,3中随机取一个元素,记为 a,从集合2,3,4中随机取一个元 素,记为 b,则 ab 的概率为 【分析】先确定的所有的基本事件,共有 9 种,再求出 ab 的概率,根据互斥事件的概 率公式计算即可 【解答】解:从集合1,2,3中随机取一个元素,记为 a,从集合2,3,4中随机取一 个元素,共有 339 种, 第 6 页(共 24 页) 因为 ab 的取法只有一种:a3,b2, 所以 ab 的概率是, 所以 ab 的概率是 1 故答案为: 【点
12、评】本题考查了古典概型的概率和互斥事件的概率问题,属于基础题 4 (5 分)对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 400,右图为检测 结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间25,30)的为一等品,在 区间20, 25) 和30, 35) 的为二等品, 其余均为三等品, 则样本中三等品的件数为 100 【分析】由频率分布直方图可知,算出三等品所占的比例乘以样本容量得出三等品的件 数 【解答】解:根据频率分布直方图可知,三等品的数量是(0.0125+0.025+0.0125)5 400100(件) 故答案为:100 【点评】本题主要考查频率分布直方图的读图能力,属
13、于简单题型,注意纵坐标意义 5 (5 分)如图是一个算法的伪代码,其输出的结果为 【分析】模拟执行伪代码,可得伪代码的功能是计算并输出 S0+ +的值,从而得解 【解答】解:模拟执行伪代码,可得:S0+(1)+( 第 7 页(共 24 页) )+()1 故答案为: 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,属于基本知识的考查 6 (5 分)若“|x1|3”是“ (x+2) (x+a)0”的充分不必要条件,则实数 a 的取值范 围是 (,4) 【分析】通过绝对值不等式的解法求出集合 A,利用 A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集,推出集合 B,求解 a 的范围即可 【解答】
14、解:根据题意,由于命题 A:|x1|3,得到2x4, 命题 B(x+2) (x+a)0, A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集, 那么可知集合 B:2xa,则可知参数 a4, 故答案为: (,4) 【点评】本题主要是考查了绝对值不等式的解法,充分条件的运用,属于基础题 7 (5 分) 已知圆锥的母线长为 5, 侧面积为 15, 则此圆锥的体积为 12 (结果保留 ) 【分析】设圆锥的底面半径为 r,母线为 l,高为 h,根据侧面积公式算出底面半径 r3, 用勾股定理算出高 h4,代入圆锥体积公式即可算出此圆锥的体积 【解答】解:设圆锥的底面半径为 r,母线为 l,高为 h
15、 圆锥的母线长为 l5,侧面积为 15, lr15,解之得底面半径 r3 因此,圆锥的高 h4 圆锥的体积为:Vr2h9412 故答案为:12 【点评】本题给出圆锥母线长和侧面积,求它的体积,着重考查了圆锥的侧面积公式和 体积公式等知识,属于基础题 8(5 分) 函数 f (x) sin2x+sinxcosx+1 的最小正周期是 , 单调递减区间是 k+, k+(kZ) 【分析】由三角函数公式化简可得 f(x)sin(2x)+,易得最小正周期,解 第 8 页(共 24 页) 不等式 2k+2x2k+可得函数的单调递减区间 【解答】解:化简可得 f(x)sin2x+sinxcosx+1 (1co
16、s2x)+sin2x+1 sin(2x)+, 原函数的最小正周期为 T, 由 2k+2x2k+可得 k+xk+, 函数的单调递减区间为k+,k+(kZ) 故答案为:;k+,k+(kZ) 【点评】本题考查三角函数的化简,涉及三角函数的周期性和单调性,属基础题 9 (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 A(0,1) ,B(3,4)两点,若点 C 在 AOB 的平分线上,且|,则点 C 的坐标是 (1,3) 【分析】求出方向上的单位向量 ,则有点 C 在AOB 的平分线上,故存在实数 使 得(+ ) ,如此可以得到坐标的参数表达式,再由|,建立方程求出 参数的值,即可得出点 C 的坐标 【解
17、答】解:由题意(0,1) ,是一个单位向量, 由于(3,4) ,故方向上的单位向量 (,) , 点 C 在AOB 的平分线上,存在实数 使得(+ )(,1) (,) , |, 2(+)10,解得 代入得得(1,3) 故答案为: (1,3) 【点评】本题考查向量的坐标运算,向量的求模公式,综合性较强,解决本题关键是认 识到角平分线与向量的关系,求出方向上的单位向量,用待定系数法将向量表示出 来 第 9 页(共 24 页) 10 (5 分)设 Sn为数列an的前 n 项和,若 Snnan3n(n1) (nN*) ,且 a211,则 S20的值为 1240 【分析】由 S2a1+a22a232(21
18、) ,a211,可得 a15 解法 1:当 n2 时,由 anSnSn1,可得 anan16(n2,nN*) ,利用等差数列 的通项公式及其前 n 项和公式即可得出 解法 2: 当 n2 时, 由 Snnan3n (n1) n (SnSn1) 3n (n1) , 化为 3,利用等差数列的通项公式即可得出 【解答】解:由 S2a1+a22a232(21) ,a211,可得 a15 解法 1:当 n2 时,由 anSnSn1,得 annan3n(n1)(n1)an13(n 1) (n2), (n1)an(n1)an16(n1) ,即 anan16(n2,nN*) , 数列an是首项 a15,公差为
19、 6 的等差数列, S20205+61240 解法 2:当 n2 时,由 Snnan3n(n1)n(SnSn1)3n(n1) , 可得(n1)SnnSn13n(n1) , 3, 数列是首项5,公差为 3 的等差数列, 5+31962, S201240 【点评】本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题 11 (5 分)在平面四边形 ABCD 中,ABC75BC2,则 AB 的取值范围是 (,+) 【分析】如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,设 ADx,AEx,DEx, CDm,求出x+m+,即可求出 AB 的取值范围 【解答】解:
20、方法一: 如图所示,延长 BA,CD 交于点 E,则 第 10 页(共 24 页) 在ADE 中,DAE105,ADE45,E30, 设 ADx,AEx,DEx,CDm, BC2, (x+m)sin151, x+m+, 0x4, 而 ABx+mx+x, AB 的取值范围是(,+) 故答案为: (,+) 方法二: 如下图,作出底边 BC2 的等腰三角形 EBC,BC75, 倾斜角为 150的直线在平面内移动,分别交 EB、EC 于 A、D,则四边形 ABCD 即为满 足题意的四边形; 当直线移动时,运用极限思想, 直线接近点 C 时,AB 趋近最小,为; 直线接近点 E 时,AB 趋近最大值,为
21、+; 故答案为: (,+) 第 11 页(共 24 页) 【点评】本题考查求 AB 的取值范围,考查三角形中的几何计算,考查学生的计算能力, 属于中档题 12 (5 分)已知函数 f(x),若 f(t)f() ,则实数 t 的 取值范围是 【分析】根据分段函数 f(x)的解析式作出其图象,如图所示再对 x 进行分类讨论: 当 x时,f(x)是增函数,若;当 x时,f(x), 若,得出关于 a 的不等关系,最后综上所述,即可得出实数 t 的取值 范围 【解答】解:根据函数 f(x)的解析式作出其图象,如图所示 当 x时,f(x)是增函数, 若, 则,解得:1t0 或 t1; 当 x时,t(x),
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