2019-2020学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷（含详细解答）

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1、若 Pl，P，Ql，Q，则直线 l 与平面 有 个公共点； 2 （4 分）给出下列命题： 三条平行直线最多可以确定三个平面； 任意三点确定一个平面； 不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； 一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 其中，说法正确的有 （填序号） 3 （4 分）若异面直线 a，b 所成的角为 70，则过空间上任一点 P 可做不同的直线与 a，b 所成的角都是 55，可做直线有 条 4 （4 分） 平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 已知底面四边形为正方形， 且A1ABA1AD ，其中，设|AB|AD|1，|AA1|c，体对角线|A1C|2，则

2、 c 的值是 5 （4 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，底面是边长为 2 的正三角形，ABACAD4， 且 E，F 分别是 BC，AD 中点，则异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 6 （4 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是正方形 BB1C1C 的中心，M 为 C1D1的中点，过 A1M 的平面 与直线 DE 垂直，则平面 截正方体 ABCDA1B1C1D1 第 2 页（共 28 页） 所得的截面面积为 7 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 A1C 上运动，异面直线 BP 与 AD1所成的角为 ，则 的最小值为 8 （5

3、 分）如右图所示的几何体 ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且 AECF，六个顶点任 意两点连线能组成异面直线的对数是 9 （5 分）直线 l 在平面 上，直线 m 平行于平面 ，并与直线 l 异面，动点 P 在平面 上， 且到直线 l、m 距离相等，则点 P 的轨迹为 （如：直线、圆、椭圆、双曲线、抛 物线） 10 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 4，点 H 在棱 AA1上，且 HA11， 在侧面 BCC1B1内作边长为 1 的正方形 EFGC1， P 是侧面 BCC1B1内一动点， 且点 P 到平 面 CDD1C1距离等于线段 PF 的长，则当点 P 运动

4、时，|HP|2的范围是 11 （5 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCACa，AA1b，若该三棱柱的六个顶 点都在同一个球面上，且 a+b2，则该球的表面积的最小值为 12 （5 分）已知异面直线 a，b 所成角为 60，直线 AB 与 a，b 均垂直，且垂足分别是点 A， 第 3 页（共 28 页） B若动点Pa， Qb， |PA|+|QB|m， 则线段PQ中点M的轨迹围成的区域的面积是 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在

5、棱的中点，则能得出 AB平面 MNP 的图形个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 14 （5 分）如图，两正方形 ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线 FC 旋转一 周，则直线 EC 与 AC 所成角的取值范围是（ ） A B C D 15 （5 分）如图，N、S 是球 O 直径的两个端点，圆 C1是经过 N 和 S 点的大圆，圆 C2和圆 C3分别是所在平面与 NS 垂直的大圆和小圆，圆 C1和 C2交于点 A、B，圆 C1和 C3交于 点 C、D，设 a、b、c 分别表示圆 C1上劣弧 CND 的弧长、圆 C2上半圆弧 AB 的弧长、 圆 C3上半圆弧 C

6、D 的弧长，则 a、b、c 的大小关系为（ ） 第 4 页（共 28 页） Abac Bbca Cbac Dbca 16 （5 分）三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交？（ ） A一条 B两条 C无数条 D没有 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，满分题，满分 76 分，分，12+14+16+16+1876 ） ） 17 （12 分）现在四个正四棱柱形容器，1 号容器的底面边长是 a，高是 b；2 号容器的底面 边长是 b， 高是 a； 3 号容器的底面边长是 a， 高是 a； 4 号容器的底面边长是 b， 高是 b 假 设 ab，问是否存在一种必胜的 4 选 2 的

7、方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容 器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理 由 18 （14 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA1BC2，P，Q 分别为 B1C1 与 BB1中点 （1）经过 P，Q 作平面 ，平面 与长方体 ABCDA1B1C1D1六个表面所截的截面可能 是 n 边形，请根据 n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型， 例如 n3 只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加） ，保留 作图痕迹； （2）若 R 为直线 AD 上的一点，且 AR2，求过 PQR 截面图

8、形的周长； 第 5 页（共 28 页） 19 （16 分）如图，圆锥的顶点是 S，底面中心为 OOC 是与底面直径 AB 垂直的一条半径， D 是母线 SC 的中点 （1）求证：BC 与 SA 不可能垂直； （2）设圆锥的高为 4，异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为，求圆锥的体积 20 （16 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD135， 侧面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA6，E，F 分别为 BC，AD 的中点， 点 M 在线段 PD 上 （）求证：EF平面 PAC； （）若 M 为 PD 的中点，求证：ME平面 PAB； （）当时

9、，求四棱锥 MECDF 的体积 第 6 页（共 28 页） 21 （18 分）已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABCBAD，G 是 BC 的中点AB BC2AD4，E、F 分别是 AB、CD 上的动点，且 EFBC，设 AEx（0x2） ，沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使使平面 AEFD平面 EBCF，如图 （1）当 x2 时，求证：BDEG； （2）若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥的体积记为 f（x） ，求 f（x）的最大值； （3）当 f（x）取得最大值时，求二面角 DBFC 的余弦值 第 7 页（共 28 页） 2019-2020 学年上海市交大附中高二（下学年上海市交大附中高

10、二（下）期中数学试卷）期中数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分，满分分，满分 54 分）分） 1 （4 分）若 Pl，P，Ql，Q，则直线 l 与平面 有 1 个公共点； 【分析】判断出直线和平面的位置关系为相交，得出结论 【解答】解：根据题意，P，Q 点在直线 l 上，P 是 l 与 的交点， Q 不在平面 上， 所以直线和平面相交，只有一个交点， 故答案为：1 【点评】考查直线和平面的位置关系，基础题 2 （4 分）给出下列命题： 三条平行直线最多可以确定三个

11、平面； 任意三点确定一个平面； 不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行； 一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 其中，说法正确的有 （填序号） 【分析】利用空间的基本定理和推论，以及面面平行的判断定理即可判断出结果 【解答】解：对于：当三条平行直线共面时，确定一个平面，当三条平行直线不共面 时，可以确定三个平面，故正确； 对于：因为任意不共线的三点确定一个平面；故错误； 对于：因为垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故正确； 对于：因为一个平面内的两条相交直线都平行于另外一个平面，则这两个平面平行， 故错误， 所以命题正确的是：， 故答案为： 【点评】本题主要考

12、查了空间的基本定理和推论，命题的真假的判断，是中档题 3 （4 分）若异面直线 a，b 所成的角为 70，则过空间上任一点 P 可做不同的直线与 a，b 所成的角都是 55，可做直线有 3 条 第 8 页（共 28 页） 【分析】在空间取一点 M，经过点 M 分别作 aa，bb，设直线 a、b确定平面 由 异面直线所成角的定义，得 a、b所成锐角等于 70，经过 M 的直线 MP 的射影 MQ 在 a、b所成锐角的平分线上时，存在两条直线与 a，b所成的角都是 55，当 MP 的射影 MQ 在 a、b所成钝角的平分线上时，存在 1 条直线与 a，b所成的角都是 55，由此可 得本题答案 【解答

13、】解：在空间取一点 M，经过点 M 分别作 aa，bb， 设直线 a、b确定平面 ， 当直线 MP 满足它的射影 MQ 在 a、b所成角的平分线上时， MP 与 a所成的角等于 MP 与 b所成的角 因为直线 a，b 所成的角为 70，得 a、b所成锐角等于 70 所以当 MP 的射影 MQ 在 a、b所成锐角的平分线上时， MP 与 a、b所成角的范围是35，90） 这种情况下，过点 M 有两条直线与 a，b所成的角都是 55 当 MP 的射影 MQ 在 a、b所成钝角的平分线上时，MP 与 a、b所成角的范围是55， 90） 这种情况下，过点 M 有且只有一条直线（即 MP 时）与 a，b

14、所成的角都是 55 综上所述，过空间任意一点 M 可作与 a，b 所成的角都是 55的直线有 3 条 故答案为：3 【点评】本题给出两条直线所成角为 70，求过空间任意一点 M 可作与 a，b 所成的角 都是 55的直线的条数着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于中 档题 4 （4 分） 平行六面体 ABCDA1B1C1D1中， 已知底面四边形为正方形， 且A1ABA1AD ，其中，设|AB|AD|1，|AA1|c，体对角线|A1C|2，则 c 的值是 1+ 第 9 页（共 28 页） 【 分 析 】 推 导 出， 从 而 （） 2 c2+1+1+c22c+2，再由体对角线|A1

15、C|2，能求 出 c 的值 【解答】解：平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，底面四边形为正方形， 且A1ABA1AD，其中，设|AB|AD|1，|AA1|c， ， （）2 + c2+1+1+ c22c+2， 体对角线|A1C|2， c22c+24， 由 c0，解得 c1+ c 的值是 1+ 故答案为：1+ 【点评】本题考查线段长的求法，考查空间向量加法法则、向量的数量积等基础知识， 考查运算求解能力，是中档题 5 （4 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，底面是边长为 2 的正三角形，ABACAD4， 且 E，F 分别是 BC，AD 中点，则异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 第 1

16、0 页（共 28 页） 【分析】连结 DE，到 DE 中点 P，连结 PF、PC，则 PFAE，从而PFC 是异面直线 AE 和 CF 所成角的余弦值，由此能求出异面直线 AE 和 CF 所成角的余弦值 【解答】解：因为三棱锥 ABCD 中，底面是边长为 2 的正三角形，ABACAD4， 所以三棱锥 ABCD 为正三棱锥； 连结 DE，取 DE 中点 P，连结 PF、PC， 正三棱锥 ABCD 的侧棱长都等于 4，底面正三角形的边长 2， 点 E、F 分别是棱 BC、AD 的中点， PFAE， PFC 是异面直线 AE 和 CF 所成角的余弦值， AE，DE， cosCAF， CF PF，PC

17、， cosPFC 异面直线 AE 和 CF 所成角的余弦值为 故答案为： 第 11 页（共 28 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 6 （4 分）在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是正方形 BB1C1C 的中心，M 为 C1D1的中点，过 A1M 的平面 与直线 DE 垂直，则平面 截正方体 ABCDA1B1C1D1 所得的截面面积为 2 【分析】由已知可得所找截面形状，进而得到答案 【解答】解：如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，记 AB 的中点

18、为 N，连接 MC，CN， NA1，则平面 A1MCN 即为平面 证明如下： 由正方体的性质可知，A1MNC，则 A1，M，C，N 四点共面， 记 CC1的中点为 F，连接 DF，易证 DFMC 连接 EF，则 EFMC，所以 MC平面 DEF， 则 DECM 同理可证，DENC，NCMCC， 则 DE平面 A1MCN， 所以平面面 A1MCN 即平面 ，且四边形面 A1MCN 即平面 截正方体所得的截面 因为正方体的棱长为 2， 易知四边形面 A1MCN 是菱形， 其对角线 AC12， MN2， 所以其面积 S222 故答案为：2 第 12 页（共 28 页） 【点评】本题考查了空间中的平行

19、关系与平面公理的应用问题以及截面的形状判断，是 中档题 7 （5 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 A1C 上运动，异面直线 BP 与 AD1所成的角为 ，则 的最小值为 【分析】当 B 与 C 重合时， 取最小值当 P 是 A1C 中点时， 取最大值，当 B 与 A1重合时， 取由此能求出 的最小值 【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 A1C 上运动， 异面直线 BP 与 AD1所成的角为 ， 则当 B 与 C 重合时， 取最小值 当 P 是 A1C 中点时， 取最大值， 当 B 与 A1重合时， 取 则 的最小值为 故答案为：.

20、第 13 页（共 28 页） 【点评】本题考查异面直线所成角的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的 位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 8 （5 分）如右图所示的几何体 ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且 AECF，六个顶点任 意两点连线能组成异面直线的对数是 39 【分析】根据三棱锥的结构特征可得：每个三棱锥中有三对异面直线，因为六个点一共 形成 C64213 个三棱锥 （计算三棱锥的个数时应该做到不重不漏） ， 所以得到答案为 3 （C642）39 【解答】解：由题意可得：因为题中共有六个点，所以一共形成 C64213 个三棱锥， 又因为每个三棱锥中有三对异面直

21、线， 所以异面直线的对数是 3（C642）39 故答案为：39 【点评】本题把排列组合和立体几何挂起钩来，因此解决此类问题的关键是熟练掌握立 体几何中一共几何体的结构特征，并且结合排列与组合的有关知识解决问题 9 （5 分）直线 l 在平面 上，直线 m 平行于平面 ，并与直线 l 异面，动点 P 在平面 上， 且到直线 l、m 距离相等，则点 P 的轨迹为 双曲线 （如：直线、圆、椭圆、双曲线、 抛物线） 【分析】作出直线 m 在平面 内的射影直线 n，假设 l 与 n 垂直，建立坐标系，求出 P 点轨迹即可得出答案 【解答】解：设直线 m 在平面 的射影为直线 n，则 l 与 n 相交，不

22、妨设 l 与 n 垂直， 设直线 m 与平面 的距离为 d，在平面 内，以 l，n 为 x 轴，y 轴建立平面坐标系， 第 14 页（共 28 页） 则 P 到直线 l 的距离为|y|，P 到直线 n 的距离为|x|， P 到直线 m 的距离为， |y|，即 y2x2d2，P 点的轨迹为双曲线 故答案为：双曲线 【点评】本题主要考查圆锥曲线在立体几何中的应用，属于中档题 10 （5 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1棱长为 4，点 H 在棱 AA1上，且 HA11， 在侧面 BCC1B1内作边长为 1 的正方形 EFGC1， P 是侧面 BCC1B1内一动点， 且点 P 到平 面

23、CDD1C1距离等于线段 PF 的长，则当点 P 运动时，|HP|2的范围是 22， 【分析】建立空间直角坐标系，过点 H 作 HMBB，垂足为 M，连接 MP，得出 HP2 HM2+MP2，利用空间直角坐标系求出 MP2的取值范围，则答案可求 【解答】解：建立空间直角坐标系如图所示， 过点 H 作 HMBB，垂足为 M，连接 MP， 则 HMPM， HP2HM2+MP2 过 P 作 PNCC，垂足为 N， 设 P（x，4，z） ， 则 F（1，4，3） ，M（4，4，3） ，N（0，4，z） ，且 0x4，0z4 第 15 页（共 28 页） PNPF， x，化简得 2x1（z3）2，则 2

24、x10，即 MP2（x4）2+（z3）2（x4）2+2x1x26x+156， 此时 HP2HM2+MP216+MP222， 故答案为：22， 【点评】本题考查空间直角坐标系的应用问题，考查数学转化思想方法，训练了利用二 次函数求最值，属难题 11 （5 分）在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABBCACa，AA1b，若该三棱柱的六个顶 点都在同一个球面上，且 a+b2，则该球的表面积的最小值为 【分析】由底面为正三角形找到外接圆的圆心 O，求出 AO的长度，又因为 OO垂 直于底面 ABC，所以构造直角三角形 OOA，则 AO 即为半径 r，求出半径的平方的表 达式，把 a+b2 代入，求出最

25、值，利用球的表面积公式求出结果 【解答】解：设该球的半径为 r， 则 r2（）2+（a）2+（2b）2（b）2+， 当且仅当 b，a时取等号， 则该球的表面积的最小值为 4， 故答案为： 第 16 页（共 28 页） 【点评】本题考查了球的组合体问题，考查了球的表面积计算公式，棱柱的性质，属于 中档题 12 （5 分）已知异面直线 a，b 所成角为 60，直线 AB 与 a，b 均垂直，且垂足分别是点 A， B 若动点 Pa，Qb，|PA|+|QB|m，则线段 PQ 中点 M 的轨迹围成的区域的面积是 【分析】作直线 a，b 以及点 P、Q 在线段 AB 的中垂面上的投影，记为直线 a，b认

26、及点 P，Q，由线段 PQ的中点即为点 M，这样把空间问题转化成平面问题 【解答】解：设线段 AB 的中垂面为 ，则 M 的轨迹在平面 内，在平面 内分别作直 线 a，b 的投影 a，b，则两直线的夹角为 60 设 A，B 在平面 的投影为 O，P，Q 在平面 内的投影分别为 P，Q，则 M 为 P Q的中点， OPPA，OQBQ |PA|+|QB|m，OP+OQm 在直线 a，b上分别取点 E，F，G，H 四点，使得 OEOFOGOH OE+OHOP+OQm，PEHQ 过 P作 PREH 交 OQ于 R，则 HRPEHQ， PQ的中点 M 在 EH 上， 同理可得 M 在 EF，FG，GH

27、上， M 的轨迹为矩形 EHGH EOH60，OEOFOGOH， 第 17 页（共 28 页） S矩形EFGH+ 故答案为： 【点评】本题考查了点的轨迹的判断，解题时要认真审题，合理地化空间问题为平面问 题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在 棱的中点，则能得出 AB平面 MNP 的图形个数是（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】分别利用线面平行的判定定理，在平面 MNP 中能否寻找

28、一条直线和 AB 平行即 可 【解答】解：在（4）中 NP 平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行 AB，所以 AB平面 MNP； 第 18 页（共 28 页） 在（1）中设过点 B 且垂直于上底面的棱与上底面交点为 C， 则由 NPCB，MNAC 可知平面 MNP平行平面 ABC， 即 AB平面 MNP 故选：B 【点评】本题主要考查线面平行的判定，利用线面平行的判定，只要直线 AB 平行于平面 MNP 内的一条直线即可 14 （5 分）如图，两正方形 ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线 FC 旋转一 周，则直线 EC 与 AC 所成角的取值范围是（ ） A B C

29、D 【分析】如图所示，两正方形 ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线 FC 旋 转一周， 可得： 直线 EC 与 AC 所成角的最大值为ACE 由于ACF ECF 即可得出直线 EC 与 AC 所成角的最小值 【解答】解：如图所示， 两正方形 ABCD，CDFE 所在的平面垂直，将EFC 沿着直线 FC 旋转一周， 则直线 EC 与 AC 所成角的最大值为ACE 由于ACFECF 直线 EC 与 AC 所成角的最小值 直线 EC 与 AC 所成角的取值范围是， 故选：C 第 19 页（共 28 页） 【点评】本题考查正方体与圆锥的性质、异面直线所成角、直角三角形的边角关系，考

30、 查空间想象能力、运算求解能力，属于中档题 15 （5 分）如图，N、S 是球 O 直径的两个端点，圆 C1是经过 N 和 S 点的大圆，圆 C2和圆 C3分别是所在平面与 NS 垂直的大圆和小圆，圆 C1和 C2交于点 A、B，圆 C1和 C3交于 点 C、D，设 a、b、c 分别表示圆 C1上劣弧 CND 的弧长、圆 C2上半圆弧 AB 的弧长、 圆 C3上半圆弧 CD 的弧长，则 a、b、c 的大小关系为（ ） Abac Bbca Cbac Dbca 【分析】分别计算 a，b，c，即可得出结论 【解答】解：设球的半径为 R，球心角COD2，则 bR，a2R， CDAB，cb， CD2Rs

31、in， c2Rsin， 0，1， ca， bca， 故选：D 【点评】本题考查球中弧长的计算，考查学生的计算能力，正确计算是关键 16 （5 分）三条直线两两异面，有几条直线同时与这三条直线相交？（ ） A一条 B两条 C无数条 D没有 第 20 页（共 28 页） 【分析】三条直线 a，b，c 两两异面，在 a、b、c 上取三条线段 AB、CC、AD， 作一个平行六面体 ABCDABCD， 在 c 上， 即在直线 AD上取一点 P， 过 a、 P 作一个平面 ，平面 与 DD交于 Q、与 CC交于 R，由面面平行的性质定理，得 QRa，推导出直线 PR 是与 a，b，c 都相交的一条直线根据

32、点 P 的任意性，得与 a， b，c 都相交的直线有无穷多条 【解答】解：三条直线 a，b，c 两两异面， 在 a、b、c 上取三条线段 AB、CC、AD， 作一个平行六面体 ABCDABCD，如右图所示 在 c 上，即在直线 AD上取一点 P，过 a、P 作一个平面 平面 与 DD交于 Q、与 CC交于 R，则 由面面平行的性质定理，得 QRa， 于是 PR 不与 a 平行，但 PR 与 a 共面故 PR 与 a 相交，得直线 PR 是与 a，b，c 都相 交的一条直线 根据点 P 的任意性，得与 a，b，c 都相交的直线有无穷多条 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、

33、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查运算求解能力，是中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，满分题，满分 76 分，分，12+14+16+16+1876 ） ） 17 （12 分）现在四个正四棱柱形容器，1 号容器的底面边长是 a，高是 b；2 号容器的底面 边长是 b， 高是 a； 3 号容器的底面边长是 a， 高是 a； 4 号容器的底面边长是 b， 高是 b 假 设 ab，问是否存在一种必胜的 4 选 2 的方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容 器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理 由 【分析】存在一种必胜的 4

34、选 2 的方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容器的容 积之和大于余下的两个容器的容积之和 理由如下： 若选中 3 号容器与 4 号容器， 则 V3+V4 第 21 页（共 28 页） V1+V2，即 a3+b3a2b+ab2（ab，a，b0） 通过作差即可证明结论 【解答】解：存在一种必胜的 4 选 2 的方案（与 a、b 的大小无关） ，使选中的两个容器 的容积之和大于余下的两个容器的容积之和 理由如下：若选中 3 号容器与 4 号容器，则 V3+V4V1+V2， 即 a3+b3a2b+ab2（ab，a， b0） 证明如下：a3+b3（a2b+ab2）（a+b） （a2ab+b2

35、）ab（a+b）（a+b） （ab）2 ab，a，b0，（a+b） （ab）20 a3+b3a2b+ab2（ab，a，b0） ，即 V3+V4V1+V2 因此存在必胜方案是：选中 3 号容器与 4 号容器 【点评】本题考查了乘法公式、不等式的性质、作差法，考查了推理能力与计算能力， 属于中档题 18 （14 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABAA1BC2，P，Q 分别为 B1C1 与 BB1中点 （1）经过 P，Q 作平面 ，平面 与长方体 ABCDA1B1C1D1六个表面所截的截面可能 是 n 边形，请根据 n 的不同的取值分别作出截面图形形状（每种情况找一个代表类型， 例

36、如 n3 只需要画一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加） ，保留 作图痕迹； （2）若 R 为直线 AD 上的一点，且 AR2，求过 PQR 截面图形的周长； 【分析】 （1）平面 与长方体 ABCDA1B1C1D1表面所截的截面可能是三角形、四边形、 第 22 页（共 28 页） 五边形、六边形； （2）若 R 为直线 AD 上的一点，且 AR2，可得过 PQR 截面图形为六边形，由已知结 合勾股定理求周长 【解答】解： （1）平面 与长方体 ABCDA1B1C1D1表面所截的截面可能是三角形、四 边形、五边形、六边形 如图： 其中三角形时，四边形，六边形时，点均取所在棱的中

37、点； 五边形时，G 取 C1D1 的四等分点（靠近 C1） ，E 为 AB 的四等分点（靠近 B） ，F 为 CD 的四等分点（靠近 D） （2） 若 R 为直线 AD 上的一点， 且 AR2， 过 PQR 截面图形的周长 4+2 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查作图能力，是中档题 19 （16 分）如图，圆锥的顶点是 S，底面中心为 OOC 是与底面直径 AB 垂直的一条半径， D 是母线 SC 的中点 （1）求证：BC 与 SA 不可能垂直； （2）设圆锥的高为 4，异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为，求圆锥的体积 第 23 页（共 28 页） 【分析】 （1）法一应用反证法，

38、若 BCSA，推出SCB 是锐角与 BCSC 矛盾 法二建立空间直角坐标系，求说明两条直线不垂直 （2）利用空间直角坐标系数量积求出底面半径，然后求体积 【解答】解： （1）证法一：反证法：若 BCSA， 连 AC，由 AB 是直径 则 ACBC，所以 BC平面 SAC 则 BCSC 又圆锥的母线长相等， SCB 是等腰三角形 SBC 的底角， 则SCB 是锐角 与 BCSC 矛盾，所以 BC 与 SA 不垂直 证法二：建立如图坐标系，设圆锥的高为 h， 底面半径为 r， 则 B（0，r，0） ，C（r，0，0） ，A（0，r，0） S（0，0，h） ， ， ， 所以 BC 与 SA 不垂直

39、（2）建立如图坐标系，设底面半径为 r， 由高为 4则 D（） ，则， 第 24 页（共 28 页） ， 解得 r2， 所以 V 【点评】本题考查组合体及旋转体的体积，空间直角坐标系，直线与平面所成的角，考 查反证法，是中档题 20 （16 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形，BCD135， 侧面 PAB底面 ABCD，BAP90，ABACPA6，E，F 分别为 BC，AD 的中点， 点 M 在线段 PD 上 （）求证：EF平面 PAC； （）若 M 为 PD 的中点，求证：ME平面 PAB； （）当时，求四棱锥 MECDF 的体积 【分析】 （）证明 ABAC得

40、到 EFAC证明 PA底面 ABCD，可得 PAEF然 后证明 EF平面 PAC （） 证明 MFPA， 即可证明 MF平面 PAB， 同理 EF平面 PAB 然后证明平面 MEF 平面 PAB，得到 ME平面 PAB 第 25 页（共 28 页） （）证明 MN底面 ABCD，然后求解四棱锥 MECDF 的体积 【解答】 （本小题满分 14 分） （）证明：在平行四边形 ABCD 中，因为 ABAC，BCD135， ABC45， 所以 ABAC 由 E，F 分别为 BC，AD 的中点，得 EFAB， 所以 EFAC（1 分） 因为侧面 PAB底面 ABCD，且BAP90， 所以 PA底面 A

41、BCD（2 分） 又因为 EF底面 ABCD， 所以 PAEF（3 分） 又因为 PAACA，PA平面 PAC，AC平面 PAC， 所以 EF平面 PAC（5 分） （）证明：因为 M 为 PD 的中点，F 分别为 AD 的中点， 所以 MFPA， 又因为 MF平面 PAB，PA平面 PAB， 所以 MF平面 PAB（7 分） 同理，得 EF平面 PAB 又因为 MFEFF，MF平面 MEF，EF平面 MEF， 所以平面 MEF平面 PAB（9 分） 又因为 ME平面 MEF， 所以 ME平面 PAB（10 分） （）解：在PAD 中，过 M 作 MNPA 交 AD 于点 N（图略） ， 由，

42、得， 又因为 PA6， 所以 MN4，（12 分） 第 26 页（共 28 页） 因为 PA底面 ABCD， 所以 MN底面 ABCD， 所以四棱锥MECDF的体积 （14 分） 【点评】本题考查直线与平面垂直与平行的判定定理以及性质定理的应用，平面与平面 平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力 21 （18 分）已知梯形 ABCD 中，ADBC，ABCBAD，G 是 BC 的中点AB BC2AD4，E、F 分别是 AB、CD 上的动点，且 EFBC，设 AEx（0x2） ，沿 EF 将梯形 ABCD 翻折，使使平面 AEFD平面 EBCF，如图 （1）当 x2 时

43、，求证：BDEG； （2）若以 B、C、D、F 为顶点的三棱锥的体积记为 f（x） ，求 f（x）的最大值； （3）当 f（x）取得最大值时，求二面角 DBFC 的余弦值 【分析】 （1）利用面面垂直的性质证线面垂直，由线面垂直线线垂直，再由线线垂直 证线面垂直，由线面垂直的性质证得线线垂直； （2）根据题意先求得棱锥的高，再根据体积公式求三棱锥的体积即可 第 27 页（共 28 页） （3）可利用空间向量求解根据条件可得 AEEF，AEBE，BEEF 故可建立如图所 示的空间直角坐标系然后求出面 DBF 和面 EBF 的法向量则两个法向量的夹角即为二面 角的平面角然后利用向量夹角公式即可求出

44、二面角 DBFE 的余弦值 【解答】 （1）证明：作 DHEF，垂足 H，连结 BH，GH， 平面 AEFD平面 EBCF，交线 EF，DH平面 AEFD， DH平面 EBCF，又 EG平面 EBCF，故 EGDH EHADBCBG，EFBC，ABC90 四边形 BGHE 为正方形，EGBH 又BH 、 DH 平 面DBH ， 且BH DH H ， 故EG 平 面 DBH 又 BD平面 DBH，EGBD （2）AEEF，平面 AEFD平面 EBCF，交线 EF，AE平面 AEFD AE面 EBCF又由（1）DH平面 EBCF，故 AEGH， 四边形 AEHD 是矩形，DHAE，故以 F、B、C

45、、D 为顶点的三 棱锥 DBCF 的高 DHAEx 又 SBCFBCBE4（4x）82x， （0x4） 三棱锥 DBCF 的体积 f（x）SBFCDHSBFCAE（82x） x ， （0x4） （3）f（x）， （0x4） 当 x2 时，f（x）取最大值， （2）AE面平面 EBCF，AEEF，AEBE，又 BEEF， 故可如图建立空间坐标系 Exyz 则 A（0，0，2） ，B（2，0，0） ，G（2，2，0） ，D（0，2，2） ，E（0，0，0） 设平面 DBF 的法向量为（x，y，z） 第 28 页（共 28 页） AE2，B（2，0，0） ，D（0，2，2） ，F（0，3，0） （2，3，0） ，（2，2，2） 则 即 取 x3，则 y2，z1 （3，2，1） 平面 BCF 的一个法向量为（0，0，1） 记此二面角的平面角为 ，则， 二面角 DBFC 是钝二面角 此二面角的余弦值为 cos 【点评】本题主要考察了三棱锥体积和二面角的求解解题的关键是在求三棱锥体