2020年广东省惠州市高考数学一模试卷(文科)含详细解答
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1、设集合 Ax|x0,集合,则 AB( ) Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x1 2 (5 分)已知 i 为虚数单位,下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) Ai(1+i) Bi(1i)2 Ci2(1+i)2 Di+i2+i3+i4 3 (5 分)已知 a,bR,则“ab”是“log2alog2b”的( )条件 A充分而不必要 B必要而不充分 C充要 D既不充分也不必要 4 (5 分)已知数据 x1,x2,x2020的方差为 4,若 yi2(xi3) (i1,2, 2020) ,则新数据 y1,y2,y2020的方差为( ) A16 B13 C8 D16 5 (5 分)函数的图象大致
2、形状是( ) A B C D 6 (5 分)我国古代木匠精于钻研,技艺精湛,常常设计出巧夺天工的建筑在一座宫殿中, 有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示,则其体积为( ) 第 2 页(共 23 页) A+4 B+8 C8+4 D8+8 7 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2,c3,且满足(2a c)cosBbcosC,则的值为( ) A2 B3 C1 D3 8 (5 分)已知函数 f(x)e|x|+|x|,则满足 f(2x1)f()的 x 取值范围是( ) A B C D 9 (5 分)已知 F 是抛物线 y24x 的焦点,过焦点 F 的直线 l 交抛物
3、线的准线于点 P,点 A 在抛物线上且|AP|AF|3,则直线 l 的斜率为( ) A1 B C D2 10 (5 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) A若 m,n,则 mn B若 ,m,n,则 mn C若 m,n,nm,则 n D若 m,mn,n,则 11 (5 分)函数的最小正周期为 ,若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象( ) A关于点对称 B在上单调递增 C关于直线对称 D在处取最大值 12 (5 分)已知函数,若关于 x 的方程 f2(x)mf(x)+10 恰好有四个 不相等的实数根,则实数 m 的取值范
4、围是( ) 第 3 页(共 23 页) A (2,+) B (1,+) C (1,2) D (2,4) 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)设直线 yx+m 是曲线 yex的一条切线,则实数 m 的值是 14 (5 分)已知向量,若向量与 垂直,则 x 15 (5 分)2020 年初,一场突如其来的“新型冠状肺炎”使得全国学生无法在春季正常返 校开学,不得不在家“停课不停学” 为了解高三学生每天居家学习时长,从某校的调查 问卷中,随机抽取 n 个学生的调查问卷进行分析,得到学生学习时长的频率分布直方图 (如图所示)
5、已知学习时长在9,11)的学生人数为 25,则 n 的值为 16 (5 分)已知椭圆1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 为椭圆上的动点,若动点 Q 满足(R,0)且|,则点 Q 到双曲线1 一条渐 近线距离的最大值为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个考生都必须作答第题,每个考生都必须作答第 22、23 题为选题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共考题,考生根据要求作答 (一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)设等差数列an的前 n 项和为 Sn,
6、S39,a4+a5+a627 (1)求数列an的通项公式; (2)若 bnan2,求数列bn前 n 项和 Tn 参考公式:12+22+n2 18 (12 分)已知几何体 ABCDEF 中,ABCD,FCEA,ADAB,AE面 ABCD,AB ADEA2,CDCF4 第 4 页(共 23 页) (1)求证:平面 BDF平面 BCF; (2)求点 B 到平面 ECD 的距离 19 (12 分) 惠州市某学校高三年级模拟考试的数学试题是全国 I 卷的题型结构, 其中第 22、 23 题为选做题,考生只需从中任选一题作答已知文科数学和理科数学的选做题题目无 任何差异, 该校参加模拟考试学生共 1050
7、 人, 其中文科学生 150 人, 理科学生 900 人 在 测试结束后, 数学老师对该学校全体高三学生选做的 22 题和 23 题得分情况进行了统计, 22 题统计结果如表 1,23 题统计结果如表 2 22 题得分 0 3 5 8 10 理科人数 50 70 80 100 500 文科人数 5 20 10 5 70 表 1 23 题得分 0 3 5 8 10 理科人数 10 10 15 25 40 文科人数 5 5 25 0 5 表 2 (1)在答卷中完成如下 22 列联表,并判断能否至少有 99.9%的把握认为“选做 22 题 或 23 题”与“学生的科类(文理) ”有关系; 选做 22
8、 题 选做 23 题 合计 文科人数 110 理科人数 100 总计 1050 (2)在第 23 题得分为 0 的学生中,按分层抽样的方法随机抽取 6 人进行答疑辅导,并 在辅导后从这 6 人中随机抽取 2 人进行测试,求被抽中进行测试的 2 名学生均为理科生 第 5 页(共 23 页) 的概率 参考公式:K2,其中 na+b+c+d P(K2)k0 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 20 (12 分)已知函数 f(x)ax2+lnxx,aR 且 a0 (1)当 a1 时,求函数 f(x)的单调区间与极值; (2)当 x1 时,f(x)2ax 恒成
9、立,求 a 的取值范围 21 (12 分)已知椭圆 C:1(a0,a1)的两个焦点分别是 F1、F2,直线 l:y kx+m(k,mR)与椭圆交于 A、B 两点 (1)若 M 为椭圆短轴上的一个顶点,且MF1F2是直角三角形,求 a 的值; (2)若 a2,且 kOAkOB,求证:OAB 的面积为定值 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答答题时请在答卷中写清题中任选一题作答答题时请在答卷中写清 题号并将相应信息点涂黑题号并将相应信息点涂黑选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22(10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中
10、, 曲线 C1的参数方程为( 为参数) 以 坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2的极坐标方程为 (1)求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程; (2) 设 P 是曲线 C1上一点, 此时参数 , 将射线 OP 绕坐标原点 O 逆时针旋转 交曲线 C2于点 Q,记曲线 C1的上顶点为 T,求OTQ 的面积 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)|x+2a|+|xa| ()当 a1 时,求不等式 f(x)4|x+2|的解集; ()设 a0,b0,且 f(x)的最小值是 t若 t+3b3,求的最小值 第 6 页(共 23 页) 202
11、0 年广东省惠州市高考数学一模试卷(文科)年广东省惠州市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求一项符合题目要求 1 (5 分)设集合 Ax|x0,集合,则 AB( ) Ax|x0 Bx|0x1 Cx|0x1 Dx|x1 【分析】先求出集合 B,再利用集合的并集运算即可求出结果 【解答】解:x10,x1, 集合 Bx|x1, ABx|x0, 故选:A 【点评】本题主要考查了集合的基本运算,是基础题
12、 2 (5 分)已知 i 为虚数单位,下列各式的运算结果为纯虚数的是( ) Ai(1+i) Bi(1i)2 Ci2(1+i)2 Di+i2+i3+i4 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简逐一化简四个选项得答案 【解答】解:对于 A,i(1+i)1+i,不是纯虚数; 对于 B,i(1i)22i22,不是纯虚数; 对于 C,i2(1+i)22i,是纯虚数; 对于 D,i+i2+i3+i4i1i+10,不是纯虚数 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题 3 (5 分)已知 a,bR,则“ab”是“log2alog2b”的( )条件 A充分而不必要 B必要而
13、不充分 C充要 D既不充分也不必要 【分析】根据对数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论 【解答】解:log2alog2b, 0ab, “ab”是“log2alog2b”的必要不充分条件, 第 7 页(共 23 页) 故选:B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断、对数函数的单调性,比较基础 4 (5 分)已知数据 x1,x2,x2020的方差为 4,若 yi2(xi3) (i1,2, 2020) ,则新数据 y1,y2,y2020的方差为( ) A16 B13 C8 D16 【分析】根据题意,由数据方差的性质分析可得答案 【解答】解:根据题意,样本数据 x1,x2,x20
14、20的方差是 4, yi2(xi3) (i1,2,2020) , 则 y1,y2,y2020的方差为 D(Y)D(2(x3) )4D(X)4416, 故选:A 【点评】本题考查方差的计算公式,注意方差的性质,属于基础题 5 (5 分)函数的图象大致形状是( ) A B C D 【分析】由,然后根据指数函数的图象可判断 【解答】解:, 根据指数函数的图象可知,选项 B 符合题意 故选:B 【点评】本题主要考查了函数图象的应用,属于基础试题 6 (5 分)我国古代木匠精于钻研,技艺精湛,常常设计出巧夺天工的建筑在一座宫殿中, 第 8 页(共 23 页) 有一件特别的“柱脚”的三视图如图所示,则其体
15、积为( ) A+4 B+8 C8+4 D8+8 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的体积 【解答】解:根据几何体的三视图可得直观图,该几何体由一个三棱锥体和半个圆锥体 构成的几何体 如图所示: 则:V8+4 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积和表面积公 式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 7 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a2,c3,且满足(2a c)cosBbcosC,则的值为( ) A2 B3 C1 D3 【分析】利用正弦定理把题设等式中的边换成角的正弦,进而利
16、用两角和公式化简整理 求得 cosB 的值,从而求得 B,再运用平面向量数量积运算性质计算即可 【解答】解:(2ac)cosBbcosC,由正弦定理得: (2sinAsinC)cosBsinBcosC 2sinAcosBsinCcosBsinBcosC, 第 9 页(共 23 页) 化为:2sinAcosBsinCcosB+sinBcosC, 2sinAcosBsin(B+C) , 在ABC 中,sin(B+C)sinA, 2sinAcosBsinA,得:cosB, B |cosBaccos233, 故选:D 【点评】本题以三角形为载体,主要考查了正弦定理的运用,考查平面向量数量积运算 性质,
17、考查了学生综合分析问题和解决问题的能力,属于中档题 8 (5 分)已知函数 f(x)e|x|+|x|,则满足 f(2x1)f()的 x 取值范围是( ) A B C D 【分析】先利用函数奇偶性的定义证明 f(x)是偶函数,于是原不等式可等价为 f(|2x 1|)f() ,再结合基本初等函数的单调性,可知当 x0 时,f(x)单调递增,所以 |2x1|,解之即可 【解答】解:函数的定义域为 R,且 f(x)e| x|+|x|e|x|+|x|f(x) ,函数 f(x) 是偶函数, 于是原不等式可等价为 f(|2x1|)f() , 当 x0 时,f(x)ex+x 在区间0,+)上单调递增, |2x
18、1|,解得, 故选:A 【点评】本题考查函数单调性和奇偶性的应用,以及绝对值不等式的解法,考查学生的 分析能力和运算能力,属于基础题 9 (5 分)已知 F 是抛物线 y24x 的焦点,过焦点 F 的直线 l 交抛物线的准线于点 P,点 A 在抛物线上且|AP|AF|3,则直线 l 的斜率为( ) A1 B C D2 【分析】通过抛物线的定义与性质求出 A 的坐标,得到 P 的坐标,然后求解直线的斜率 即可 第 10 页(共 23 页) 【解答】解:F 是抛物线 y24x 的焦点(1,0) ,过焦点 F 的直线 l 交抛物线的准线于点 P,点 A 在抛物线上且|AP|AF|3,可得 A 的坐标
19、(2,2) 所以 P(1,2) , 所以直线 l 的斜率为: 故选:C 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,是基本知识的考查 10 (5 分)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 ( ) A若 m,n,则 mn B若 ,m,n,则 mn C若 m,n,nm,则 n D若 m,mn,n,则 【分析】根据各选项的条件及结论,可画出图形或想象图形,再结合面面垂直的判定定 理即可找出正确选项 【解答】解:A错误,同时和一个平面平行的两直线不一定平行,可能相交,可能异面; B错误,两平面平行,两平面内的直线不一定平行,可能异面; C错误,一个平面内垂直于两平面交线的
20、直线,不一定和另一平面垂直,可能斜交; D正确,由 m,mn 便得 n,又 n,即 故选:D 【点评】考查根据选项中的条件及结论想象对应图形的能力,两直线平行、两平面平行、 线面垂直的概念,以及面面垂直的判定定理 11 (5 分)函数的最小正周期为 ,若其图 象向右平移个单位后得到的函数为奇函数,则函数 f(x)的图象( ) A关于点对称 B在上单调递增 C关于直线对称 D在处取最大值 【分析】由题意利用函数 yAsin(x+)的图象变换规律,三角函数的奇偶性,求出 f (x)的解析式,再根据三角函数图象的对称性,得出结论 第 11 页(共 23 页) 【解答】解:函数 f(x)2sin(x+
21、) (0,|)的最小正周期为 T , 2, 函数图象向右平移个单位后得到的函数为 y2sin2(x)+2sin(2x +)的图象, 又所得函数为奇函数,|, 可得 , f(x)2sin(2x+) 对于 A,f()sin(+)0,则 f(x)的图象关于点(,0)对称,故 A 成立; 对于 B,由于 2k2x+2k+,kZ,可得:+kx+k,kZ, 可得 f(x)的单调递增区间为+k,+k,kZ,故 B 错误; 对于 C,由 2x+k,kZ,解得 x+k,kZ,故 C 错误; 对于 D,f()2sin2,故 D 错误 故选:A 【点评】本题主要考查函数 yAsin(x+)的图象变换规律,三角函数的
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