2020年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)含详细解答
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1、已知集合 U1,2,3,4,5,6,7,M3,4,5,N1,3,6,则集合 2,7等于( ) AMN BU(MN) CU(MN) DMN 2(5 分) 某地区小学, 初中, 高中三个学段的学生人数分别为 4800 人, 4000 人, 2400 人 现 采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况,在抽取的样本中,初中 学生人数为 70 人,则该样本中高中学生人数为( ) A42 人 B84 人 C126 人 D196 人 3 (5 分)直线 kxy+10 与圆 x2+y2+2x4y+10 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 4 (5 分)已知函数 f(x),则 f
2、f()的值为( ) A4 B2 C D 5 (5 分)已知向量 (2,1) , (x,2) ,若| + |2 |,则实数 x 的值为( ) A B C D2 6 (5 分)如图所示,给出的是计算+值的程序框图,其中判断框内应填入 的条件是( ) 第 2 页(共 22 页) Ai9 Bi10 Ci11 Di12 7 (5 分)设函数 f(x)2cos(x) ,若对任意 xR 都有 f(x1)f(x)f(x2) 成立,则|x1x2|的最小值为( ) A4 B2 C D 8 (5 分)刘徽是我国古代伟大的数学家,他的杰作九章算术注和海岛算经是我国 最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人
3、,他正确地提出了正负数的 概念及其加减运算的规则提出了“割圆术” ,并用“割圆术”求出圆周率 为 3.14刘 徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆合体而无 所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六 边形的面积,第二步是求圆的内接正十二边形的面积,依此类推若在圆内随机取一点, 则该点取自该圆内接正十二边形的概率为( ) A B C D 9 (5 分)已知 sincos,0,则 cos2( ) A B C D 10 (5 分)已知点 P(x0,y0)在曲线 C:yx3x2+1 上移动,曲线 C 在点 P 处的切线的 斜率为 k,若
4、k,21,则 x0的取值范围是( ) A, B,3 C,+) D7,9 11 (5 分)已知 O 为坐标原点,设双曲线 C:1(a0,b0)的左,右焦点分 别为 F1,F2,点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点过点 F2作F1PF2的平分线的垂 线,垂足为 A,若 b|F1F2|2|OA|,则双曲线 C 的离心率为( ) A B C D2 12 (5 分)在三棱锥 ABCD 中,ABD 与CBD 均为边长为 2 的等边三角形,且二面角 ABDC 的平面角为 120,则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A7 B8 C D 二、填空题:本题共二、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题
5、5 分,共分,共 20 分分 第 3 页(共 22 页) 13 (5 分)已知复数 zi则 z2+z4 14 (5 分)已知函数 f(x)在区间(0,+)上有最小值 4,则实数 k 15 (5 分)已知直线 a平面 ,直线 b平面 ,给出下列 5 个命题若 ,则 ab; 若 ,则 ab:若 ,则 ab:若 ab,则 ;若 ab 则 , 其中正确命题的序号是 16 (5 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,BACADC,ABC,ADB ,则 tanACD 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.第第 1721 题为必
6、考题,题为必考题, 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共(一)必考题:共 60 分分 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且满足 annSn,设 bnan1 (1)求 a1,a2,a3; (2)判断数列bn是否是等比数列,并说明理由; (3)求数列an的前 n 项和 Sn 18 (12 分)如图 1,在边长为 2 的等边ABC 中,D,E 分别为边 AC,AB 的中点将 ADE 沿 DE 折起,使得 ABAD,得到如图 2 的四棱锥 ABCDE,连结 BD,CE,且 BD 与
7、CE 交于点 H (1)证明:AHBD; (2)设点 B 到平面 AED 的距离为 h1,点 E 到平面 ABD 的距离为 h2,求的值 第 4 页(共 22 页) 19 (12 分)某种昆虫的日产卵数和时间变化有关,现收集了该昆虫第 1 天到第 5 天的日产 卵数据: 第 x 天 1 2 3 4 5 日产卵数 y(个) 6 12 25 49 95 对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值 xi xi2 (lnyi) (xilnyi) 15 55 15.94 54.75 (1)根据散点图,利用计算机模拟出该种昆虫日产卵数 y 关于 x 的回归方程为 yea+bx (其中 e 为
8、自然对数的底数) ,求实数 a,b 的值(精确到 0.1) ; (2)根据某项指标测定,若日产卵数在区间(e6,e8)上的时段为优质产卵期,利用(1) 的结论,估计在第 6 天到第 10 天中任取两天,其中恰有 1 天为优质产卵期的概率 附:对于一组数据(v1,1) , (v2,2) , (vn,n) ,其回归直线 +v 的斜率和 截距的最小二乘估计分别为, 20 (12 分)已知M 过点 A(,0) ,且与N: (x+)2+y216 内切,设M 的圆心 M 的轨迹为曲线 C (1)求曲线 C 的方程: (2)设直线 l 不经过点 B(0,1)且与曲线 C 相交于 P,Q 两点若直线 PB 与
9、直线 QB 的斜率之积为,判断直线 l 是否过定点,若过定点,求出此定点坐标;若不过定点, 请说明理由 第 5 页(共 22 页) 21 (12 分)已知函数 f(x)(x+a)ebx(b0)的最大值为,且曲线 yf(x)在 x0 处的切线与直线 yx2 平行(其中 e 为自然对数的底数) (1)求实数 a,b 的值; (2)如果 0x1x2,且 f(x1)f(x2) ,求证:3x1+x23 (二)选考题:共(二)选考题:共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一如果多做,则按所做的第一 题计分题计分.选修选修 4-4:坐标系与
10、参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为(t 为参数) ,曲线 C2的参数方程为( 为参数,且 (,) ) (1)求 C1与 C2的普通方程, (2)若 A,B 分别为 C1与 C2上的动点,求|AB|的最小值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲(10 分)分) 23已知函数 f(x)|3x6|+|xa| (1)当 a1 时,解不等式 f(x)3; (2)若不等式 f(x)114x 对任意 x4,成立,求实数 a 的取值范围 第 6 页(共 22 页) 2020 年广东省广州市高考数学一模试卷(文科)年广东省广州市高考数学一模试卷
11、(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1 (5 分)已知集合 U1,2,3,4,5,6,7,M3,4,5,N1,3,6,则集合 2,7等于( ) AMN BU(MN) CU(MN) DMN 【分析】由已知求出 MN3,MN1,3,4,5,6,再求其补集,可判断结果 【解答】解:由已知:MN3,MN1,3,4,5,6, U(MN)1,2,4,5,6,7) ,U(MN)2,7 故选:B
12、【点评】本题考查的知识点是集合的交集,并集,补集运算,难度不大,属于基础题 2(5 分) 某地区小学, 初中, 高中三个学段的学生人数分别为 4800 人, 4000 人, 2400 人 现 采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况,在抽取的样本中,初中 学生人数为 70 人,则该样本中高中学生人数为( ) A42 人 B84 人 C126 人 D196 人 【分析】设高中抽取人数为 x,根据条件,建立比例关系进行求解即可 【解答】解:设高中抽取人数为 x, 则,得 x42, 故选:A 【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键比 较基础 3 (5
13、分)直线 kxy+10 与圆 x2+y2+2x4y+10 的位置关系是( ) A相交 B相切 C相离 D不确定 【分析】判断直线恒过的定点与圆的位置关系,即可得到结论 【解答】解:圆方程可整理为(x+1)2+(y2)24,则圆心(1,2) ,半径 r2, 直线恒过点(0,1) , 因为(0,1)在圆内,故直线与圆相交, 第 7 页(共 22 页) 故选:A 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查计算能力 4 (5 分)已知函数 f(x),则 ff()的值为( ) A4 B2 C D 【分析】根据分段函数的解析式,先求出 f()的值,再求 ff()的值 【解答】解:因为 f(x), f()ln
14、; ff()e 故选:D 【点评】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础 题 5 (5 分)已知向量 (2,1) , (x,2) ,若| + |2 |,则实数 x 的值为( ) A B C D2 【分析】 由向量 和向量 的坐标求出向量和向量的坐标, 再利用| + |2 |,即可求出 x 的值 【解答】解:向量 (2,1) , (x,2) , (2+x,1) ,(4x,4) , | + |2 |, ,解得 x, 故选:C 【点评】本题主要考查了向量的坐标运算,以及向量的模长公式,是基础题 6 (5 分)如图所示,给出的是计算+值的程序框图,其中判断框内应填入 的条
15、件是( ) 第 8 页(共 22 页) Ai9 Bi10 Ci11 Di12 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的 作用是累加并输出 s 的值,模拟循环过程可得条件 【解答】解:程序运行过程中,各变量值如下表所示: s0,n2,i1 不满足条件,第一圈:s0+,n4,i2, 不满足条件,第二圈:s+,n6,i3, 不满足条件,第三圈:s+,n8,i4, 依此类推, 不满足条件,第 10 圈:s+,n22,i11, 不满足条件,第 11 圈:s+,n24,i12, 此时,应该满足条件,退出循环,其中判断框内应填入的条件是:i11? 故选:C 【点评】 算法
16、是新课程中的新增加的内容, 也必然是新高考中的一个热点, 应高度重视 程 序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:分支的条件循环的条件变量 的赋值变量的输出其中前两点考试的概率更大此种题型的易忽略点是:不能准确 理解流程图的含义而导致错误,属于基础题 7 (5 分)设函数 f(x)2cos(x) ,若对任意 xR 都有 f(x1)f(x)f(x2) 第 9 页(共 22 页) 成立,则|x1x2|的最小值为( ) A4 B2 C D 【分析】由题意可知 f(x1)f(x)f(x2) ,f(x1)是函数的最小值,f(x2)是函数 的最大值,|x1x2|的最小值就是半个周期 【解答】解:函数
17、 f(x)2cos(x) ,若对于任意的 xR,都有 f(x1)f(x) f(x2) , f(x1)是函数的最小值,f(x2)是函数的最大值,|x1x2|的最小值就是函数的半周期, 2; 故选:B 【点评】本题是基础题,考查三角函数的周期的求法,题意的正确理解,考查分析问题 解决问题的能力 8 (5 分)刘徽是我国古代伟大的数学家,他的杰作九章算术注和海岛算经是我国 最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人,他正确地提出了正负数的 概念及其加减运算的规则提出了“割圆术” ,并用“割圆术”求出圆周率 为 3.14刘 徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割,则与圆
18、合体而无 所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六 边形的面积,第二步是求圆的内接正十二边形的面积,依此类推若在圆内随机取一点, 则该点取自该圆内接正十二边形的概率为( ) A B C D 【分析】设圆的半径为 1,分别求出圆的面积及圆内接正十二边形的面积,由测度比是面 积比得答案 【解答】解:设圆的半径为 1,圆内接正十二边形的一边所对的圆心角为30, 则圆内接正十二边形的面积为:1211sin303 圆的面积为 12, 由测度比为面积比可得:在圆内随机取一点,则此点在圆的某一个内接正十二边形内的 概率是 故选:C 第 10 页(共 22 页) 【点评】本题
19、考查几何概型概率的求法,关键是求出圆内接正十二边形的面积,是基础 题 9 (5 分)已知 sincos,0,则 cos2( ) A B C D 【分析】把 sincos平方可得 2sincos 的值,从而求得 sin+cos 的值,再利用 二倍角的余弦公式求得 cos2cos2sin2(sincos) (sin+cos)的值 【解答】解:sincos,0, 平方可得:12sincos,2sincos0 为锐角 sin+cos, cos2cos2sin2(sincos) (sin+cos) 故选:A 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式、二倍角的余弦 公式的应用,考查了
20、转化思想,属于基础题 10 (5 分)已知点 P(x0,y0)在曲线 C:yx3x2+1 上移动,曲线 C 在点 P 处的切线的 斜率为 k,若 k,21,则 x0的取值范围是( ) A, B,3 C,+) D7,9 【分析】先求出 yx3x2+1 的导数,然后求出曲线 C 在点 P(x0,y0)处的切线斜率 k, 再根据 k,21求出 x0的取值范围 【解答】解:由 yx3x2+1,得 y3x22x, 则曲线 C 在点 P(x0,y0)处的切线的斜率为, k,21, 故选:B 【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,考查了转化思想,属基础题 第 11 页(共 22 页) 11 (5
21、 分)已知 O 为坐标原点,设双曲线 C:1(a0,b0)的左,右焦点分 别为 F1,F2,点 P 是双曲线 C 上位于第一象限内的点过点 F2作F1PF2的平分线的垂 线,垂足为 A,若 b|F1F2|2|OA|,则双曲线 C 的离心率为( ) A B C D2 【分析】 由角平分线的性质可得延长 F2A 交 PF1与 B, 由 PA 为F1PF2的角平分线, F2A PA, 所以 A 为 F2B 的中点, |PF2|PB|, 可得 OA 为BF1F2的中位线, b|F1F2|2|OA| 2c2a 再由 a,b,c 的关系求出离心率 【解答】解:延长 F2A 交 PF1与 B,由 PA 为F
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