2020年广东省肇庆市高考数学三模试卷（文科）含详细解答

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1、已知集合 Ax|x10，Bx|x22x80，则 AB（ ） A4，+） B1，4 C1，2 D2，+） 2 （5 分）复数 z 的共轭复数 满足，则 z（ ） A2+i B2i C1+2i D12i 3 （5 分）在等差数列an中，前 n 项和 Sn满足 S8S345，则 a6的值是（ ） A3 B5 C7 D9 4 （5 分）在ABC 中，|+|，AB4，AC3，则在方向上的投影是 （ ） A4 B3 C4 D3 5 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值是（ ） A0 B3 C4 D5 6 （5 分）命题 p：曲线 yx2的焦点为；命题 q：曲线的渐近线方程为 y2x

2、；下列为真命题的是（ ） Apq Bpq Cp（q） D （p）（q） 7 （5 分）某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018 年全年总收入与 2017 年全 年总收入相比增长了一倍，实现翻番同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发 生了相应变化如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法 正确的是（ ） A该企业 2018 年原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和 第 2 页（共 21 页） B该企业 2018 年研发费用是 2017 年工资金额、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业 2018 年其它费用是 2017 年工资金额的 D该企业 201

3、8 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍 8 （5 分）函数 f（x）（其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） A B C D 9 （5 分）已知 x，y 的取值如表：从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为 ，则 a（ ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A3.25 B2.6 C2.2 D0 10 （5 分） 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示， 则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A4 B6 C8 D12 11 （5 分）已知 a2log32，b2 1.5，c20.5，则（ ） Aabc Bcab

4、Cbca Dbac 12 （5 分）在正三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，点 E 在线段 AB 上， 且 AE2EB，过点 E 作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） 第 3 页（共 21 页） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿 几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍； 小老鼠第一

5、天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚尺， 天后两只老鼠打 穿城墙 14 （5 分）曲线 yx2+在点（1，2）处的切线方程为 15 （5 分）已知 为锐角，则 sin 16 （5 分）已知点 P 是双曲线左支上一点，F2是双曲线的 右焦点， 且双曲线的一条渐近线恰是线段 PF2的中垂线， 则该双曲线的离心率是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c， （1）求 A； （2）若 b4，c6，求 sinB 的值 18 （12 分）某快递公司为了解本公司快递业

6、务情况，随机调查了 100 个营业网点，得到了 这些营业网点 2019 年全年快递单数增长率 x 的频数分布表： x 的分组 0.20，0） 0，0.20） 0.20，0.40） 0.40，0.60） 0.60，0.80） 营业网点数 2 24 53 14 7 （1） 分别估计该快递公司快递单数增长率不低于 40%的营业网点比例和快递单数负增长 的营业网点比例； （2）求 2019 年该快递公司快递单数增长率的平均数和标准差的估计值（同一组中的数 据用该组区间的中点值作为代表） （精确到 0.01）参考数据： 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是边长为

7、2 的菱形，且 CA CB1 （1）证明：面 CBA1面 CB1A； （2）若BAA160，A1CBCBA1，求点 C 到平面 A1BC1的距离 第 4 页（共 21 页） 20 （12 分）已知点 F1为椭圆1（ab0）的左焦点，在椭圆上， PF1x 轴 （1）求椭圆的方程； （2）已知直线 l：ykx+m 与椭圆交于（1，2） ，B 两点，O 为坐标原点，且 OAOB， O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21 （12 分）设函数 （1）求 f（x）的单调区间； （2）当 x0 时，exax2xa0 成立，求正实数 a 的取值范围 请考生在第请考生在第

8、22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为在以原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴的极坐标系中，P 的极坐标为，直线 l 过点 P （1）若直线 l 与 OP 垂直，求直线 l 的极坐标方程： （2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且，求直线 l 的倾斜角 选修选修 4-5：不等

9、式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|xa|+|x+b|，ab0 （1）当 a1，b1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 2，求的最小值 第 5 页（共 21 页） 2020 年广东省肇庆市高考数学三模试卷（文科）年广东省肇庆市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目有一项是符合题目要求的要求的. 1 （5 分）已知集合 Ax|x10，Bx|x2

10、2x80，则 AB（ ） A4，+） B1，4 C1，2 D2，+） 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集合 Ax|x10x|x1， Bx|x22x80x|2x4， ABx|1x41，4 故选：B 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）复数 z 的共轭复数 满足，则 z（ ） A2+i B2i C1+2i D12i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得 ，再由共轭复数的概 念得答案 【解答】解：由5，得， z2+i 故选：A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念与复数模的

11、求法，是 基础题 3 （5 分）在等差数列an中，前 n 项和 Sn满足 S8S345，则 a6的值是（ ） A3 B5 C7 D9 【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解 【解答】解：因为 S8S3a4+a5+a6+a7+a845， 由等差数列的性质可得，5a645， 则 a69 第 6 页（共 21 页） 故选：D 【点评】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题 4 （5 分）在ABC 中，|+|，AB4，AC3，则在方向上的投影是 （ ） A4 B3 C4 D3 【分析】根据平面向量的数量积可得，再结合图形求出在方向上的投影即 可 【解答】解：|+|， 0， ， 又 AB

12、4，AC3， 在方向上的投影是|cos，|cos（ACB） |cosACB 3； 如图所示 故选：D 【点评】本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题，也考查了数形结合思想的 应用问题，是基础题目 5 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 z2x+y 的最大值是（ ） A0 B3 C4 D5 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数 z2x+y 对应的直线进行平 移，可得最优解，然后求解即可 第 7 页（共 21 页） 【解答】解：作出 x，y 满足约束条件表示的平面区域 ， 得到如图阴影部分及其内部， 其中 A（2，1 ） ，B（1，1） ，O 为坐标原点 设 zF（x，y

13、）2x+y，将直线 l：z2x+y 进行平移， 当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最大值 z最大值F（ 2，1）22+15 故选：D 【点评】本题给出二元一次不等式组，求目标函数 z2x+y 的最大值，着重考查了二元 一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题 6 （5 分）命题 p：曲线 yx2的焦点为；命题 q：曲线的渐近线方程为 y2x；下列为真命题的是（ ） Apq Bpq Cp（q） D （p）（q） 【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，判断两个命题的真假，即可得 到选项 【解答】解：曲线 yx2的焦点为（0，） ，所以 P 是假命题；p 是真

14、命题， 曲线的渐近线方程为 y2x；q 是真命题， 所以pq 是真命题 故选：B 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，抛物线以及双曲线的简单性质的应用，是 基本知识的考查 7 （5 分）某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高.2018 年全年总收入与 2017 年全 第 8 页（共 21 页） 年总收入相比增长了一倍，实现翻番同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发 生了相应变化如图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法 正确的是（ ） A该企业 2018 年原材料费用是 2017 年工资金额与研发费用的和 B该企业 2018 年研发费用是 2017 年工资金额、

15、原材料费用、其它费用三项的和 C该企业 2018 年其它费用是 2017 年工资金额的 D该企业 2018 年设备费用是 2017 年原材料的费用的两倍 【分析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可 得解 【解答】解：由折线图可知：不妨设 2017 年全年的收入为 t，则 2018 年全年的收入为 2t 对于选项 A，该企业 2018 年原材料费用为 0.32t0.6t，2017 年工资金额与研发费用的 和为 0.2t+0.1t0.3t，故 A 错误； 对于选项 B，该企业 2018 年研发费用为 0.252t0.5t，2017 年工资金额、原材料费用、 其它费

16、用三项的和为 0.2t+0.15t+0.15t0.5t，故 B 正确； 对于选项 C，该企业 2018 年其它费用是 0.052t0.1t，2017 年原工资金额是 0.2t，故 C 错误； 对于选项 D，该企业 2018 年设备费用是 0.22t0.4t，2017 年原材料的费用是 0.15t， 故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的合情推理，属中档题 8 （5 分）函数 f（x）（其中 e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ） 第 9 页（共 21 页） A B C D 【分析】由函数为偶函数，排除 AC；由 x+时，f（x）0，排除 B，由此得到答案 【

17、解答】解：，故函数 f （x）为偶函数，其图象关于 y 轴对称，故排除 A，C； 当 x+时，x3（ex1）ex+1，f（x）0，故排除 B 故选：D 【点评】本题考查函数图象的确定，考查读图识图能力，属于基础题 9 （5 分）已知 x，y 的取值如表：从散点图可以看出 y 与 x 线性相关，且回归方程为 ，则 a（ ） x 0 1 3 4 y 2.2 4.3 4.8 6.7 A3.25 B2.6 C2.2 D0 【分析】本题考查的知识点是线性回归直线的性质，由线性回归直线方程中系数的求法， 我们可知在回归直线上，满足回归直线的方程，我们根据已知表中数据计算出 ，再将点的坐标代入回归直线方程，

18、即可求出对应的 a 值 【解答】解：点在回归直线上， 计算得， 回归方程过点（2，4.5） 代入得 4.50.952+a a2.6； 故选：B 【点评】本题就是考查回归方程过定点，考查线性回归方程，考查待定系数法 第 10 页（共 21 页） 求字母系数，是一个基础题 10 （5 分） 如图， 网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某三棱锥的三视图如图所示， 则该棱锥的外接球的表面积为（ ） A4 B6 C8 D12 【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出外接球的半径，最后求出球的表面积 【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示： 该几何体为三棱锥体， 所以该几何体

19、的外接球的半径满足（2r）212+22+126， 解得：r， 所以外接球的表面积为 S 故选：B 【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的关系的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 11 （5 分）已知 a2log32，b2 1.5，c20.5，则（ ） Aabc Bcab Cbca Dbac 【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出 【解答】解：alog341，b2 1.520.5c1， bca， 故选：C 第 11 页（共 21 页） 【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础 题 12 （5 分

20、）在正三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，点 E 在线段 AB 上， 且 AE2EB，过点 E 作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A B C D 【分析】构造以 PA，PB，PC 为棱长的正方体 PADBCFGH，且该正方体棱长为， 以 B 为原点，BP 为 x 轴，BD 为 y 轴，BH 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则该正三棱锥 外接球球心为 AH 中点 O，半径为 R，求出 EO，当所得截面圆面积取 最小值时截面圆的圆心为 E，从而当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为 r ，由此能求出所得截面圆面积的最小值 【解答】解：在正三棱锥 PABC

21、中，PA，PB，PC 两两垂直， 构造以 PA，PB，PC 为棱长的正方体 PADBCFGH，且该正方体棱长为， 以 B 为原点，BP 为 x 轴，BD 为 y 轴，BH 为 z 轴，建立空间直角坐标系， 则该正三棱锥外接球球心为 AH 中点 O，半径为 R， 点 E 在线段 AB 上，且 AE2EB， E（，0） ，O（） ， EO， 过点 E 作该正三棱锥外接球的截面，当所得截面圆面积取最小值时截面圆的圆心为 E， 当所得截面圆面积取最小值时截面圆的半径为： r， 过点 E 作该正三棱锥外接球的截面，则所得截面圆面积的最小值为 Sr2 故选：A 第 12 页（共 21 页） 【点评】本题考

22、查截面圆面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置 关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分） 九章算术中的“两鼠穿墙题“是我国数学的古典名题： “今有垣厚若干尺， 两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半问何日相逢，各穿 几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍； 小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半“，如果墙厚尺， 6 天后两只老鼠打穿 城墙 【分析】由题意，n 天后两只老鼠打洞之和：Sn+ ，由墙厚，能求出结果

23、 【解答】解：由题意，n 天后两只老鼠打洞之和： Sn+， 墙厚， Sn， 解得 n6 故答案为：6 第 13 页（共 21 页） 【点评】本题考查等比数列的前 n 项和的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题， 注意等比数列的性质的合理运用 14 （5 分）曲线 yx2+在点（1，2）处的切线方程为 xy+10 【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可 【解答】解：曲线 yx2+，可得 y2x， 切线的斜率为：k211 切线方程为：y2x1，即：xy+10 故答案为：xy+10 【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力 15 （5 分）已知 为锐角，

24、则 sin 【分析】先利用 为锐角，求得，又 sin ，再利用两角差的正弦公式即可求出结果 【解答】解： 为锐角， sin ， 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础 题 16 （5 分）已知点 P 是双曲线左支上一点，F2是双曲线的 右焦点， 且双曲线的一条渐近线恰是线段 PF2的中垂线， 则该双曲线的离心率是 【分析】由题意，F1PF2是直角三角形，PF2的斜率为，设|PF1|n，|PF2|m，则 ，利用双曲线的定义，结合几何量之间的关系，即可得出结论 【解答】解：由题意，F1PF2是直角三角形，PF2的斜率为， 设|PF1|n，|PF2|

25、m，则， 第 14 页（共 21 页） mn2a，m2+n24c2， m2b，n2a， mn2b2， b2a， ca， e 故答案为： 【点评】本题考查双曲线的离心率，考查学生分析解决问题的能力，确定PF1F2是直 角三角形，PF2的斜率为是关键 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知在ABC 中，角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c， （1）求 A； （2）若 b4，c6，求 sinB 的值 【分析】 （1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合范围 0A，0B 即 可解得 A 的值 （2）法一：由

26、余弦定理可得 a 的值，由正弦定理可求 sinB 的值；法二：由正弦定理及 三角函数恒等变换的应用可求，结合范围 0B，可求 sinB 的值 【解答】解： （1）由asinB 及正弦定理可得， 因为 A+B+C， 所以， 又， 第 15 页（共 21 页） 所以， 因为 0A，0B， 所以， 所以， 因此，即 （2）法一：由余弦定理可得 ， 所以， 由正弦定理得，得； 法二：由正弦定理及 A+B+C，得， 代入数据得，即， 结合 cos2B+sin2B1，得， 因为 0B， 可得 【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理在解三角形中 的应用，考查了计算能力和转化思想，属

27、于基础题 18 （12 分）某快递公司为了解本公司快递业务情况，随机调查了 100 个营业网点，得到了 这些营业网点 2019 年全年快递单数增长率 x 的频数分布表： x 的分组 0.20，0） 0，0.20） 0.20，0.40） 0.40，0.60） 0.60，0.80） 营业网点数 2 24 53 14 7 （1） 分别估计该快递公司快递单数增长率不低于 40%的营业网点比例和快递单数负增长 的营业网点比例； （2）求 2019 年该快递公司快递单数增长率的平均数和标准差的估计值（同一组中的数 据用该组区间的中点值作为代表） （精确到 0.01）参考数据： 【分析】 （1）根据频数分布

28、表得，所调查 100 个营业网点中，快递单数增长率不低于 的 营业网点的频率为 0.21，快递单数负增长的营业网点的频率为 0.02，由此能求出结果 第 16 页（共 21 页） （2）求出 0.0296，S2，由此能求出 2019 年该快递公司快递 单数增长率的平均数的估计值和标准差的估计值 【解答】解： （1）根据频数分布表得，所调查 100 个营业网点中， 快递单数增长率不低于 的营业网点的频率为， 快递单数负增长的营业网点的频率为， 用样本频率分布估计总体分布得该快递公司快递单数增长率不低于 40%的营业网点比例 为 21%， 快递单数负增长的营业网点比例为 2% （2）， S2（0.

29、100.3）2+（0.100.3）2+（0.300.3）2+（0.500.3） 2 +（0.700.3）2， ， 2019年该快递公司快递单数增长率的平均数的估计值为30%， 标准差的估计值为17% 【点评】本题考查频率、平均数、标准差的求法，考查频数分布表的性质等基础知识， 考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题 19 （12 分）如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1是边长为 2 的菱形，且 CA CB1 （1）证明：面 CBA1面 CB1A； （2）若BAA160，A1CBCBA1，求点 C 到平面 A1BC1的距离 【分析】（1） 设 A1BAB1O， 连接 CO

30、证明 A1BAB1， COAB1， 得到 AB1面 CA1B， 然后证明面 CBA1面 CB1A 第 17 页（共 21 页） （2）说明线段 CH 的长就是点 C 到平面 A1BC1的距离然后转化求解即可 【解答】 （1）证明：设 A1BAB1O，连接 CO因为侧面 ABB1A1是菱形，所以 A1B AB1， 又因为 CACB1，所以 COAB1，又 A1BCOO， 所以 AB1面 CA1B，又 AB1面 CAB1，所以面 CBA1面 CB1A （2）在菱形 ABB1A1 中，因为BAA160， 所以ABA1是等边三角形，可得 A1B2，所以 BC2BB1， 所以侧面 BB1C1C 是菱形，

31、故 CB1C1B， （*） 在等边三角形 CA1B 中，A1BCO，又 A1BAB1，且 COAB1O， 所以 A1B面 CAB1，又 CB1面 CAB1，所以 CB1A1B， 结合（*）以及 A1BC1BB 得 CB1面 A1C1B，设 CB1C1BH， 则线段 CH 的长就是点 C 到平面 A1BC1的距离 经计算得， 所以，即点 C 到平面 A1BC1的距离为 【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空 间想象能力以及计算能力 20 （12 分）已知点 F1为椭圆1（ab0）的左焦点，在椭圆上， PF1x 轴 （1）求椭圆的方程； （2）已知直线 l：y

32、kx+m 与椭圆交于（1，2） ，B 两点，O 为坐标原点，且 OAOB， O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 【分析】 （1）由 PF1x 轴可得 c1，即可得椭圆的左右焦点的坐标，由椭圆的定义求 出 a 的值，由 a，b，c 的关系求出 a，b 的值，进而求出椭圆的方程； 第 18 页（共 21 页） （2）将直线 l 与椭圆的方程联立求出两根之积，由 OAOB，可得0，可得 k， m 的关系，求出原点到直线的距离的表达式，可得为定值 【解答】解： （1）依题意可得 F1（1，0） ，右焦点 F2（1，0） ， ，所以， 所以椭圆方程为； （2）设 A（

33、x1，y1） ，B（x2，y2） ， 由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m220， 所以 y1y2（kx1+m） （kx2+m）k2x1x2+km（x1+x2）+m2k2+km+m2 ， 由， 得 3m22（k2+1） ， 所以原点 O 到直线 l 的距离为，为定值 【点评】本题可得求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题 21 （12 分）设函数 （1）求 f（x）的单调区间； （2）当 x0 时，exax2xa0 成立，求正实数 a 的取值范围 【分析】 （1），令 f（x）0，得 x 第 19 页（共 21 页） 1 或，a0，即可得出单调性 （2）由 exax2xa0，可得对

34、 a 分类讨论，利用（1）的结论即可 得出 a 的取值范围 【解答】 解： （1） （2 分） 令 f（x）0，得 x1 或，因为 a0，所以当或 x1 时，f（x）0； 当时，f（x）0， 所以 f（x） 的单调增区间为，减区间为 （5 分） （2）由 exax2xa0 可得 （6 分） 由（1）可知，当，即 0a1 时，f（x）在（0，1）单调递增，在（1，+） 上单调递减， （8 分） 依题意有，即； （9 分） 当 a1 时，与题意矛盾 （11 分） 所以 a 的取值范围是 （12 分） 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不 等式的解法，考查了推

35、理能力与计算能力，属于中档题 请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程（10 分）分） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的方程为在以原点 O 为极点，x 轴 正半轴为极轴的极坐标系中，P 的极坐标为，直线 l 过点 P （1）若直线 l 与 OP 垂直，求直线 l 的极坐标方程： 第 20 页（共 21 页） （2）若直线 l

36、 与曲线 C 交于 A，B 两点，且，求直线 l 的倾斜角 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换 求出结果 （2） 利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦函数 的值的应用求出结果 【解答】解： （1）P 的极坐标为，转换为直角坐标为（） ， 所以直线 OP 的斜率为，直线 l 的斜率为， 所以直线 l 的方程为，整理得， 转换为极坐标方程为：，整理得 （2）把直线的方程转换为参数方程为（t 为参数） ，代入曲线 C 的方 程为的方程为 所以， 则：cos2+2sin22，由于 cos2+sin21， 所以 sin1（负值

37、舍去） ， 所以， 故直线的倾斜角为 【点评】本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三 角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，一元二次方程根和系数关系式的 应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（10 分）分） 23设函数 f（x）|xa|+|x+b|，ab0 （1）当 a1，b1 时，求不等式 f（x）3 的解集； （2）若 f（x）的最小值为 2，求的最小值 第 21 页（共 21 页） 【分析】 （1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3，然后对 x 分类去绝对值，化为关于 x 的一

38、元一次不等式求解，取并集得答案； （2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa） （x+b）0 时等号成立可得 f（x） 的 最 小 值 为 |b+a| 2 结 合ab 0 ， 得 |b+a| |a|+|b| 2 ， 则 ，展开后利用基本不等式求最值 【解答】解： （1）原不等式等价于|x1|+|x+1|3， 当 x1 时，可得 x1+x+13，解得 1x； 当1x1 时，可得x+1+x+13，得 23 成立； 当 x1 时，可得x+1x13，解得x1 综上所述，原不等式的解集为x|x； （2）f（x）|xa|+|x+b|b+a|，当且仅当（xa） （x+b）0 时等号成立 f（x）的最小值为|b+a|，即|b+a|2 又ab0，|b+a|a|+|b|2， 当且仅当时，等号成立， 的最小值为 【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用基本不等式求最值，考查数学转化 思想方法，是中档题