2019年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷(文科)含详细解答
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1、已知集合 Ax|x24x0,BxZ|2x2,则 AB( ) A0,1,2 B1,2 C1,0,1 D1,0,1,2 2 (5 分)已知复数 z 满足,则 z( ) A1i B12i C1+i D1+2i 3 (5 分)已知命题 p:x(0,) ,tanxsinx;命题 q:x0,x22x,则下列命题为真 命题的是( ) Apq B(pq) Cp(q) D (p)q 4 (5 分)已知角 的终边经过点(2,3) ,将角 的终边顺时针旋转后得到角 , 则 tan( ) A B5 C D5 5 (5 分)已知向量 (,| |,且 ( ) ,则( + ) ( 3 ) ( ) A15 B19 C15 D
2、19 6 (5 分)已知,c0.3lg1,则( ) Acab Bbca Ccba Dacb 7 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几 何体的体积等于( ) A B C2012 D2824 第 2 页(共 25 页) 8 (5 分)函数 f(x)的大致图象为( ) A B C D 9 (5 分)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为( ) A B C D 10 (5 分)已知圆 C:与 y 轴相切,抛物线 E:y22px(p0)过 圆心 C,其焦点为 F,则直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于( ) A B C D 11 (5 分)已知函数
3、f(x)sin(x+) (0,)的最小正周期为 ,且图 第 3 页(共 25 页) 象过点,要得到函数的图象,只需将函数 f(x)的图 象( ) A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长度 12 (5 分)若函数 f(x)与 g(x)满足:存在实数 t,使得 f(t)g(t) ,则称函数 g(x) 为 f(x)的“友导”函数已知函数为函数 f(x)x2lnx+x 的“友导” 函数,则 k 的取值范围是( ) A (,1) B (,2 C (1,+) D2,+) 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20
4、 分)分) 13 (5 分)已知双曲线经过点 M(2,2) ,则其离心率 e 14 (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件,则 z2x+y 的最大值为 15 (5 分)刘徽是中国古代最杰出的数学家之一,他在中国算术史上最重要的贡献就是注 释九章算术 ,刘徽在割圆术中提出的“割之弥细,所失弥少,割之又割以至于不可割, 则与圆合体而无所失矣” ,体现了无限与有限之间转化的思想方法,这种思想方法应用广 泛如数式是一个确定值 x(数式中的省略号表示按此规律无限重复) ,该数 式的值可以用如下方法求得:令原式x,则,即 x22x10,解得, 取正数得用类似的方法可得 16 (5 分)在ABC 中,AC
5、2,ABC 的面积为,点 P 在ABC 内, 且,则PBC 的面积的最大值为 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 小题,共小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 (12 分)已知数列an的前 n 项和为 Sn,点 Pn(n,Sn) (nN*)是曲线 上的点数列bn是等比数列,且满足 b1a1+1,b2a31 ()求数列an,bn的通项公式; 第 4 页(共 25 页) ()记,求数列cn的前 n 项和 Tn 18 (12 分)如图,多面体 ABCDPQ 中,平面 APD平面 ABCD,且 PAPD,BCAD, CDA
6、D,E 为 AD 的中点,且,PQBE,且 PQBE,QB3 ()求证:EC平面 QBD; ()求该多面体 ABCDPQ 的体积 19 (12 分)2018 年的政府工作报告强调,要树立绿水青山就是金山银山理念,以前所未有 的决心和力度加强生态环境保护 某地科技园积极检查督导园区内企业的环保落实情况, 并计划采取激励措施引导企业主动落实环保措施,下图给出的是甲、乙两企业 2012 年至 2017 年在环保方面投入金额(单位:万元)的柱状图 ()分别求出甲、乙两企业这六年在环保方面投入金额的平均数; (结果保留整数) ()园区管委会为尽快落实环保措施,计划对企业进行一定的奖励,提出了如下方案:
7、若企业一年的环保投入金额不超过 200 万元,则该年不奖励;若企业一年的环保投入金 额超过 200 万元,不超过 300 万元,则该年奖励 20 万元;若企业一年的环保投入金额超 过 300 万元,则该年奖励 50 万元 ()分别求出甲、乙两企业这六年获得的奖励之和; ()现从甲企业这六年中任取两年对其环保情况作进一步调查,求这两年获得的奖励 之和不低于 70 万元的概率 第 5 页(共 25 页) 20 (12 分)在平面直角坐标系中,直线 n 过点且与直线 m:x+2y0 垂直, 直线 n 与 x 轴交于点 M,点 M 与点 N 关于 y 轴对称,动点 P 满足|PM|+|PN|4 ()求
8、动点 P 的轨迹 C 的方程; ()过点 D(1,0)的直线 l 与轨迹 C 相交于 A,B 两点,设点 E(4,1) ,直线 AE, BE 的斜率分别为 k1,k2,问 k1+k2是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理 由 21 (12 分)已知函数 ()当 a0 时,判断函数 f(x)的单调性; ()当 a2 时,证明: (e 为自然对数的底数) 考生在第考生在第 22、23 两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目两题中任选一题作答注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的如果多做,则按所做的 第一个题目计分第一个题目计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程
9、 22 (10 分)在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为(t 为参数) 以坐标原 点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知圆 C 的极坐标方程为 22sin () (1)求直线 l 的普通方程以及圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 在直线 l 上,过点 P 作圆 C 的切线 PQ,求|PQ|的最小值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 23已知函数 f(x)2|x|+|x3| ()解关于 x 的不等式 f(x)4; ()若对于任意的 xR,不等式 f(x)t22t 恒成立,求实数 t 的取值范围 第 6 页(共 25 页) 2019 年山东省青岛市莱西一中高
10、考数学一模试卷(文科)年山东省青岛市莱西一中高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题(本题共一、选择题(本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的)一项是符合题目要求的) 1 (5 分)已知集合 Ax|x24x0,BxZ|2x2,则 AB( ) A0,1,2 B1,2 C1,0,1 D1,0,1,2 【分析】先分别求出集合 A,B,由此能求出 AB 【解答】解:集合 Ax|x24x0x|0x4, BxZ|2x21,0,1,2, AB1,2 故选:B 【点
11、评】本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题 2 (5 分)已知复数 z 满足,则 z( ) A1i B12i C1+i D1+2i 【分析】设 za+bi(a,bR) ,代入,利用复数代数形式的乘除运算化 简,再由复数相等的条件求解 【解答】解:设 za+bi(a,bR) , 由,得(a+bi) (2+i)abi+4i, 即(2ab)+(a+2b)ia+(4b)i, ,即 ab1 z1+i 故选:C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题 3 (5 分)已知命题 p:x(0,) ,tanxsinx;命题 q:x0,x2
12、2x,则下列命题为真 命题的是( ) Apq B(pq) Cp(q) D (p)q 【分析】直接利用命题的应用,真值表的应用求出结果 第 7 页(共 25 页) 【解答】解:命题 p:x(0,) ,tanxsinx; 当 x时,命题不成立 故命题 p 为假命题 命题 q:x0,x22x, 当 x3 时,命题为真命题 故pq 为真命题 故选:D 【点评】本题考查的知识要点:命题的应用,真值表的应用,主要考查学生的运算能力 和转化能力,属于基础题型 4 (5 分)已知角 的终边经过点(2,3) ,将角 的终边顺时针旋转后得到角 , 则 tan( ) A B5 C D5 【分析】利用任意角的三角函数
13、的定义求得 tan,再由 tantan() ,展开两角 差的正切求解 【解答】解:根据角 的终边经过点(2,3) ,可得 tan 的终边按顺时针方向旋转后,与角 的终边重合, tantan() 故选:A 【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义及两角差的正切,属于基础题 5 (5 分)已知向量 (,| |,且 ( ) ,则( + ) ( 3 ) ( ) A15 B19 C15 D19 【分析】利用向量的垂直以及向量的模,数量积化简求解即可 【解答】解:向量 (,| |,且 ( ) , 可得, 第 8 页(共 25 页) ( + ) ( 3 )41519 故选:D 【点评】本题考查向量的数量积
14、的求法,向量的模,考查转化思想以及计算能力 6 (5 分)已知,c0.3lg1,则( ) Acab Bbca Ccba Dacb 【 分 析 】 可 以 看 出log23 1 , 0 log32 1 , lg1 0 , 从 而 得 出 ,从而得出 a,b,c 的大小关系 【解答】解:log231,0log321,lg10; ,0.3lg10.301; bca 故选:B 【点评】考查对数函数和指数函数的单调性,增函数和减函数的定义 7 (5 分)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几 何体的体积等于( ) A B C2012 D2824 【分析】由三视图知该几何
15、体是圆柱挖去一个正四棱柱,上部是半球,结合图中数据求 出该几何体的体积 【解答】解:由三视图还原出几何体知, 该几何体是圆柱挖去一个正四棱柱,上部是半球, 且长方体的底面棱长为 2,高为 3,圆柱底面半径 2,高为 3,半球的半径为 2, 则此几何体的体积为 V 第 9 页(共 25 页) 故选:A 【点评】本题考查了根据几何体三视图求体积的应用问题,是基础题 8 (5 分)函数 f(x)的大致图象为( ) A B C D 【分析】利用特殊值对应点的坐标排除选项,判断即可 【解答】解:函数 f(x),当 x0 时,y3,排除选项 A,B,D 即可判断选项 C 正确, 故选:C 【点评】本题考查
16、函数的图象的判断,函数的奇偶性以及函数值的应用,考查分析问题 解决问题的能力 9 (5 分)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的结果为( ) 第 10 页(共 25 页) A B C D 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的 值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案 【解答】解:模拟程序的运行, 可得程序框图的功能是计算并输出 S1的值, 可得程序运行后输出的结果为:S1 故选:A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得 出正确的结论,是基础题 10 (5 分)已知圆 C:与 y 轴相切
17、,抛物线 E:y22px(p0)过 圆心 C,其焦点为 F,则直线 CF 被抛物线所截得的弦长等于( ) A B C D 【分析】求得圆的圆心和半径,由条件可得 m4,抛物线的方程和焦点坐标、准线方程, 直线 CF 的方程,联立抛物线的方程,运用韦达定理和弦长公式,计算可得所求值 第 11 页(共 25 页) 【解答】解:圆 C:与 y 轴相切, 可得圆心 C(,2) ,半径 r2,且 m4, 抛物线 E:y22px(p0)过圆心 C,其焦点为 F, 44p,解得 p1,即 C(2,2) ,F(,0) ,准线方程为 x, 直线 CF:y(x) , 代入抛物线 y22x 可得 8x217x+20
18、, 可得 x1+x2, 由抛物线的定义可得 弦长为 x1+x2+p+1, 故选:C 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查直线和圆相切的条件,以及联立直 线方程和抛物线的方程,运用韦达定理、弦长公式,考查运算能力,属于中档题 11 (5 分)已知函数 f(x)sin(x+) (0,)的最小正周期为 ,且图 象过点,要得到函数的图象,只需将函数 f(x)的图 象( ) A向左平移个单位长度 B向左平移个单位长度 C向右平移个单位长度 D向右平移个单位长度 【分析】利用正弦函数的周期性求得 , 根据图象过点,求得 ,可得 f(x) 的解析式,再利用函数 yAsin(x+)的图象变换规律,得
19、出结论 【解答】解:函数 f(x)sin(x+) (0,)的最小正周期为 , 2,f(x)sin(2x+) 图象过点,sin(+)1,f(x)sin(2x) 要得到函数sin(2x+)的图象, 第 12 页(共 25 页) 只需将函数 f(x)的图象向左平移个单位长度即可, 故选:B 【点评】本题主要考查正弦函数的周期性,函数 yAsin(x+)的图象变换规律,属 于基础题 12 (5 分)若函数 f(x)与 g(x)满足:存在实数 t,使得 f(t)g(t) ,则称函数 g(x) 为 f(x)的“友导”函数已知函数为函数 f(x)x2lnx+x 的“友导” 函数,则 k 的取值范围是( )
20、A (,1) B (,2 C (1,+) D2,+) 【分析】求出函数的导数,问题转化为方程 kxlnx+1 有解,记 p(x)xlnx+1, 根据函数的单调性求出 k 的范围即可 【解答】解:g(x)kx1, 由题意 g(x)为函数 f(x)的“友导”函数, 即方程 x2lnx+xkx1 有解, 故 kxlnx+1, 记 p(x)xlnx+1, 则 p(x)1+lnx+lnx, 当 x1 时,0,lnx0, 故 p(x)0,故 p(x)递增, 当 0x1 时,0,lnx0, 故 p(x)0,故 p(x)递减, 故 p(x)p(1)2, 故由方程 kxlnx+1 有解, 得:k2, 故选:D
21、【点评】本题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,是一道 第 13 页(共 25 页) 常规题 二、填空题(本题共二、填空题(本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分)分) 13 (5 分)已知双曲线经过点 M(2,2) ,则其离心率 e 【分析】双曲线经过点 M(2,2) ,代入可得1,解得 m利用离 心率计算公式即可得出 【解答】解:双曲线经过点 M(2,2) , 1,解得 m4 e 故答案为: 【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其离心率计算公式,考查了推理能力与计算能 力,属于中档题 14 (5 分)已知实数 x,y 满足约束条件,则 z2x
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