2019年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)含详细解答
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1、把函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变) , 再将图象向右平移个单位长度得到函数 g(x) ,则下列说法正确的是( ) Ag(x)在上单调递增 Bg(x)的图象关于对称 Cg(x)的最小正周期为 4 Dg(x)的图象关于 y 轴对称 5 (5 分)已知 x,y 满足约束条件,若的最大值为 4,则实数 m 的值为( ) A2 B3 C4 D8 6 (5 分)赵爽是三国时代的数学家、天文学家,他为周髀算经一书作序时,介绍了“勾 股圆方图” , 亦称 “赵爽弦图” , 图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形 (阴影) 如 图,设 AB:BC1:3,若向弦图内随机抛掷 5000 颗米粒
2、(大小忽略不计) ,则落在小正 方形(阴影)内的米粒数大约为( ) 第 2 页(共 28 页) A134 B67 C200 D250 7 (5 分)给出下列四个命题: 命题 p:; 的值为 0; 若 f(x)x2ax+1 为偶函数,则曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y 2x 已知随机变量 N(1,1) ,若 P(13)0.9544, 则 P(3)0.9772其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 8 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的值为( ) A1 B C D0 9 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a3,c2,bsin
3、A ( ) A1 B C D 第 3 页(共 28 页) 10 (5 分)某几何体的三视图如图所示(俯视图中的虚线为半圆) ,则该几何体的体积为 ( ) A82 B C D 11(5 分) 函数 f (x) 上不单调的一个充分不必要条件是 ( ) A B C D 12 (5 分)F1,F2是双曲线的左、右焦点,直线 l 为双曲线 C 的一条渐近线,F1关于直线 l 的对称点为,且点在以 F2为圆心、以半虚轴 长 b 为半径的圆上,则双曲线 C 的离心率为( ) A B C2 D 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分
4、)已知 sin+cos 14 (5 分) (2x+y) (x2y)5展开式中 x3y3的系数为 15 (5 分)已知椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,过左焦点 F1作斜 率为2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,P 是 AB 的中点,O 为坐标原点,若直线 OP 的 斜率为,则 a 的值是 16 (5 分)已知ABC 的一内角,AB10,AC6,O 为ABC 所在平面上一点, 满足|OA|OB|OC|,设m+n,则 m+3n 的值为 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 第 4 页(
5、共 28 页) 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,考生要根据要求作答 (一)必考题为选考题,考生要根据要求作答 (一)必考 题:共题:共 60 分分 17 (12 分)设 Sn为数列an的前 n 项和,已知 a13,对任意 nN*,都有 2Snannan (1)求数列an的通项公式; (2)令,求数列bn的前 n 项和 Tn 18 (12 分)如图,平面 ABCD平面 ABE,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE1, F 为 CE 上的点,且 BF平面 ACE (1)求证:AE平面 BCE; (2) 线段 AD 上是否存在一点 M, 使
6、平面 ABE 与平面 MCE 所成二面角的余弦值为? 若存在,试确定点 M 的位置;若不存在,请说明理由 19 (12 分)已知抛物线 C:y22px(p0)的焦点为 F,P 为抛物线上一点,O 为坐标原 点,OFP 的外接圆与抛物线的准线相切,且外接圆的周长为 3 (1)求抛物线 C 的方程; (2)设直线 l 交 C 于 A,B 两点,M 是 AB 的中点,若|AB|12,求点 M 到 y 轴的距离 的最小值,并求此时 l 的方程 20 (12 分)随着快递行业的崛起,中国快递业务量惊人,2018 年中国快递量世界第一,已 连续五年突破五百亿件,完全超越美日欧的总和,稳居世界第一名某快递公
7、司收取费 的标准是:不超过 1kg 的包裹收费 8 元;超过 1kg 的包裹,在 8 元的基础上,每超过 1kg (不足 1kg,按 1kg 计算)需再收 4 元 该公司将最近承揽(接收并发送)的 100 件包裹的质量及件数统计如下(表 1) : 表 1: 第 5 页(共 28 页) 包裹重量(单位:kg) (0,1 (1,2 (2,3 (3,4 (4,5 包裹件数 43 30 15 8 4 公司对近 50 天每天承揽包裹的件数(在表 2 中的“件数范围”内取的一个近似数据) 、 件数范围及天数,列表如表(表 2) : 表 2: 件数范围 099 100199 200299 300399 40
8、0500 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹 的件数 50 150 250 350 450 (1)将频率视为概率,计算该公司未来 3 天内恰有 1 天揽件数在 100299 之间的概率; (2) 根据表 1 中最近 100 件包裹的质量统计, 估计该公司对承揽的每件包裹收取快递 费的平均值: 根据以上统计数据,公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润, 其余用作其他费用目前,前台有工作人员 5 人,每人每天揽件数不超过 100 件,日工 资 80 元公司正在考虑是否将前台人员裁减 1 人,试计算裁员前、后公司每天揽件数的 数学期望;若你是公司决策者,根据公司每天所获利润的
9、期望值,决定是否裁减前台工 作人员 1 人? 21 (12 分)已知函数 f(x)(ax22x+a)e x(aR) (1)当 a0 时,求 f(x)的单调区间; (2)若存在 a(,0,使得 f(x)bln(x+1)在 x0,+)上恒成立,求实数 b 的取值范围 选考题:共选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22,23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题 计分计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程选讲:坐标系与参数方程选讲 22 (10 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数) ,以坐 标原点为极点,x 轴的正半
10、轴为极轴建立极坐标系(0,02) ,点 A 为曲线 C1 上的动点,点 B 在线段 OA 的延长线上,且满足|OA|OB|6,点 B 的轨迹为 C2 (1)求 C1,C2的极坐标方程; (2)设点 C 的极坐标为(2,0) ,求ABC 面积的最小值 选修选修 4-5:不等式选讲:不等式选讲 第 6 页(共 28 页) 23已知函数 f(x)|x5|+|x1| (1)求 f(x)的最小值 m; (2)若正实数 a,b 满足m 第 7 页(共 28 页) 2019 年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共
11、一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有分在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1 (5 分)设 zi3+,则 z 的虚部是( ) A1 B C2i D2 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解:, 则 z 的虚部是2 故选:D 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题 2 (5 分)已知集合 M( ) A (1,1)(1,2) B (1,2) C (1,1)(1,2 D (1,2 【分析】解分式不等式化简集合 M,再由交集的运算求出 M
12、(RN) 【解答】解:,(x2) (x+1)0,且 x+10, 1x2,Mx|1x2, RNx|x1 且 x3 且 x5, M(RN)x|1x2 且 x1 故选:C 【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,以及分式不等式的运算,属于基础题 3 (5 分)已知向量 (2,1) , (1,k) , (2 ) ,则 k( ) A8 B6 C6 D8 【分析】可求出,根据即可得出,进行数 量积的坐标运算即可求出 k 的值 【解答】解:; 第 8 页(共 28 页) ; ; k8 故选:D 【点评】考查向量垂直的充要条件,向量坐标的减法、数乘和数量积的运算 4 (5 分)把函数的图象上各点的横坐标缩短为
13、原来的(纵坐标不变) , 再将图象向右平移个单位长度得到函数 g(x) ,则下列说法正确的是( ) Ag(x)在上单调递增 Bg(x)的图象关于对称 Cg(x)的最小正周期为 4 Dg(x)的图象关于 y 轴对称 【分析】根据三角函数的图象变换,求出 g(x)的解析式,结合三角函数的单调性,对 称性以及周期性分别进行判断即可 【解答】 解: 函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的 (纵坐标不变) , 得到 ysin(2x+) , 再将图象向右平移个单位长度得到函数 g(x) ,即 g(x)sin2(x)+sin (2x+)sin(2x) , A当 x时,2x(,) ,此时 g(x)为增函数,故
14、A 正确, B g () sin (2) sin () 10, 即g (x) 的图象关于 不对称,故 B 错误, Cg(x)的最小正周期为,故 C 错误, Dg(x)不是偶函数,关于 y 轴不对称,故 D 错误, 故选:A 【点评】 本题主要考查三角函数的 图象和性质, 根据三角函数的图象变换规律求出 g (x) 的解析式以及利用三角函数的性质是解决本题的关键 第 9 页(共 28 页) 5 (5 分)已知 x,y 满足约束条件,若的最大值为 4,则实数 m 的值为( ) A2 B3 C4 D8 【分析】画出不等式组表示的平面区域,根据 z3x2y 的最大值为 4, 得出直线 x+ym0,过直
15、线 3x2y4 和直线 x20 的交点 A,从而求得 m 的值 【解答】解:画出不等式组表示的平面区域, 如图所示, 根据 z3x2y 的最大值为 4, 得出直线 x+ym0,过直线 3x2y4 和直线 x20 的交点 A(2,1) , 计算 m2+13 故选:B 【点评】本题考查了线性规划的应用问题,解题时用“角点法” ,即由约束条件画出可行 域,求出可行域各个角点的坐标,将坐标逐一代入目标函数,验证求出最优解 6 (5 分)赵爽是三国时代的数学家、天文学家,他为周髀算经一书作序时,介绍了“勾 第 10 页(共 28 页) 股圆方图” , 亦称 “赵爽弦图” , 图中包含四个全等的直角三角形
16、及一个小正方形 (阴影) 如 图,设 AB:BC1:3,若向弦图内随机抛掷 5000 颗米粒(大小忽略不计) ,则落在小正 方形(阴影)内的米粒数大约为( ) A134 B67 C200 D250 【分析】由几何概型中的面积型可得:,又设小正方形的边长为 a, 易得大正方形的边长为 5a,由正方形面积公式运算可得解 【解答】解:设小正方形的边长为 a, 则四个全等的直角三角形的两直角边长分别为:3a,4a, 则大正方形的边长为 5a, 则 S小正方形a2,S大正方形25a2, 设落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为 n, 由几何概型中的面积型可得: , 解得 n200, 故选:C 【点评】本题
17、考查了几何概型中的面积型的知识点,属简单题 7 (5 分)给出下列四个命题: 命题 p:; 的值为 0; 第 11 页(共 28 页) 若 f(x)x2ax+1 为偶函数,则曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y 2x 已知随机变量 N(1,1) ,若 P(13)0.9544, 则 P(3)0.9772其中真命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断 根据积分的定义和公式进行计算 根据偶函数的定义先求出 a0,然后结合导数的几何意义进行求解判断 根据概率的对称性结合概率公式进行求解判断即可 【解答】解:命题 p 的p:x2,x21
18、0;故错误, (2xcosx)|2cos(2cos() )2+1 (2+1)4;故错误; 若 f(x)x2ax+1 为偶函数,则 f(x)f(x) , 即 x2+ax+1x2ax+1,即 axax,则 aa,即 a0, 则 f(x)x2+1,则 f(1)2,f(x)2x,则 f(1)2, 则曲线 yf(x)在点(1,f(1) )处的切线方程是 y22(x1) ,即 y2x,故正 确 已知随机变量 N(1,1) ,若 P(13)0.9544, 则 P(3)P(1)(1P(13) )(10.9544)0.0228, 则 P(3)1P(3)10.2280.9772,故正确, 故正确的命题是,共两个,
19、 故选:B 【点评】本题主要考查命题的真假判断,涉及的知识点较多,综合性较强,但难度不大 8 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的值为( ) 第 12 页(共 28 页) A1 B C D0 【分析】根据程序框图,利用模拟验算法进行求解即可 【解答】解:第一次循环,k1,Scos01,k1+12,k6 不成立, 第二次循环,k2,S1+cos1+,k2+13,k6 不成立; 第三次循环,k3,S1+cos1+,k3+14,k6 不成立; 第四次循环,k4,S+cos+,k4+15,k6 不成立 第五次循环,k5,S+cos+1+,k5+16,k6 不成 立; 第六次循环,k6,S1+cos
20、1+1,k6+17,k6 成立 输出 S1, 故选:A 【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键 9 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,a3,c2,bsinA ( ) A1 B C D 【分析】由正弦定理得 bsinAasinB,与 bsinAacos(B+) ,由此能求出 B由余弦 定理即可解得 b 的值 第 13 页(共 28 页) 【解答】解:在ABC 中,由正弦定理得:,得 bsinAasinB, 又 bsinAacos(B+) asinBacos(B+) ,即 sinBcos(B+)cosBcossinBsincosB
21、 sinB, tanB, 又 B(0,) , B 在ABC 中,a3,c2, 由余弦定理得 b 故选:C 【点评】本题考查角的求法,考查两角差的余弦值的求法,考查运算求解能力,考查函 数与方程思想,是中档题 10 (5 分)某几何体的三视图如图所示(俯视图中的虚线为半圆) ,则该几何体的体积为 ( ) A82 B C D 【分析】根据三视图知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,中间挖去一个半圆锥, 结合图中数据计算该几何体的体积即可 【解答】解:根据三视图知,该几何体是以俯视图为底面的四棱锥,中间挖去一个半圆 锥,如图所示; 结合图中数据,计算该几何体的体积为: 第 14 页(共 28 页) V
22、V四棱锥V半圆锥222122 故选:C 【点评】本题考查了利用三视图求简单组合体体积的应用问题,是基础题 11(5 分) 函数 f (x) 上不单调的一个充分不必要条件是 ( ) A B C D 【分析】先求导函数,再根据函数 f(x)在(1,3)上不单调,得 g(1)g(3)0 且 0,从而可求 a 的取值范围 【解答】解:由题意,f(x)ax2a+, 函数 f(x)在(1,3)上不单调, 分子应满足在(1,3)有实根, 设 g(x)ax22ax+1, a0 时,显然不成立, a0 时,只需,解得:a1 或 a, 故 a(,)(1,+) , 其子集是 A, 故选:A 【点评】本题以函数为载体
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