2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）含详细解答

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1、若集合 Ax|（x3） （x1）0，Bx|2x 24，则 AB（ ） A1，2，3 B2，3 C （1，3 D1，3 2 （5 分）下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ） A Bf（x）exe x Cf（x）xsinx Df（x）ln（1x）ln（1+x） 3 （5 分） “x2y2”是“xy”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 4 （5 分）已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a12，a2+3a34a4，则 S5（ ） A10 B12 C16 D32 5 （5 分） 设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外，

2、则（ ） A8 B4 C2 D1 6 （5 分）直线 l：mxy+14m0（mR）与圆 C：x2+（y1）225 交于两点 P、Q， 则弦长|PQ|的取值范围是（ ） A6，10 B6，10） C （6，10 D （6，10） 7（5 分） 已知奇函数 f （x） 的图象如图所示， 则函数的大致图象是 （ ） A B 第 2 页（共 19 页） C D 8 （5 分）alog25，b0.51.2，c20.9，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 9 （5 分）tan2tan，则（ ） A1 B2 C3 D4 10 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0

3、.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618 就是黄金分割比：的近似值， 黄金分割比还可以表示成 2sin18，则（ ） A B C2 D4 11 （5 分），若存在 x1、x2、x3、x4满足 x1x2x3x4，且 f（x1）f（x2）f（x3）f（x4） ，则 x1x2+x3+x4的值是（ ） A12 B13 C14 D15 12 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1（棱长为 1）中，点 P 在线段 AD 上（点 P 异于 A、D 两点） ，线段 DD1的中点为点 Q，若平面 BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段 AP 的取值范围为（ ） A B C

4、 D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分） 函数 f （x） alnx+bx2在点 （1， f （1） ） 处的切线方程为 y4x3， 则 a ， b 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx2y+3 的最小值是 第 3 页（共 19 页） 15（5分） 已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上， PAPBPC， AB2， AC3，E，F 分别为 AC，PB 的中点，则球 O 的体积为 16 （5 分），下列说法错误的是 f（x）的值域是1，1； 当且仅当（kZ）时，f（x）0； 当且仅当（kZ

5、）时，f（x）取得最小值； f（x）是以 为最小正周期的周期函数 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若， （1）求 C 的值； （2）若，求ABC 的面积 18 （12 分）已知数列an满足 a11， （n+1）an+1nan+n+1 （1）求数列an的通项公式； （2）Sn为数列的前 n 项和，求证： 19 （12 分）三棱柱 ABCA1B1C1中，棱 AC1、AB、A1C1的中点分别是 P、Q、

6、O （1）求证：PQ平面 AOB1； （2）若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为，求三棱柱 APOQ 的体积 20 （12 分）已知两定点 M（1，0） ，N（4，0）点 P 满足|PN|2|PM| （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）若 D（0，2） ，直线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，DA，DB 的斜率之和为 2，直线 l 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 第 4 页（共 19 页） 21 （12 分）如图，某农户计划用两张铁丝网在一块空地上围成一个梯形养鸡场 ABCD，AB CD，ADBC已知 AB、BC 两段是由长为 50m 的铁丝网折成

7、，AD、DC 两段是由长 为 90m 的铁丝网折成，设上底 AB 的长为 xm，所围成的梯形面积为 Sm2 （1）求 S 关于 x 的函数解析式，并求 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，养鸡场的面积 S 最大？最大面积为多少？ 22 （12 分）已知函数（aR） （1）若 a0，讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）在区间（0，2）内有两个极值点，求实数 a 的取值范围 第 5 页（共 19 页） 2020 年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科）年山西省吕梁市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小

8、题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分）在每小题给出的四个选项中，只分）在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑 1 （5 分）若集合 Ax|（x3） （x1）0，Bx|2x 24，则 AB（ ） A1，2，3 B2，3 C （1，3 D1，3 【分析】求出集合 A，B，再计算交集即可 【解答】解：Ax|1x3，Bxx4， AB1，3， 故选：D 【点评】考查集合的交集，基础题 2 （5 分）下列函数中，既有奇函数，又在其定义域上单调递增的是（ ） A Bf（x）exe x

9、 Cf（x）xsinx Df（x）ln（1x）ln（1+x） 【分析】观察选项，直接判断即可得出答案 【解答】解：f（x）exe x， f（x）e xexf（x） ， 函数 f（x）exe x 为 R 上的奇函数， 又 yex为增函数，ye x 为减函数， 函数 f（x）exe x 为增函数，即选项 B 满足题意 故选：B 【点评】本题考查函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题 3 （5 分） “x2y2”是“xy”的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充分必要 D既不充分也不必要 【分析】 “x2y2”与“xy”相互推不出即可判断出关系 【解答】解： “x2y2”与“xy”相互推不出 因

10、此“x2y2”是“xy”的既不充分也不必要条件 第 6 页（共 19 页） 故选：D 【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力， 属于基础题 4 （5 分）已知正项等比数列an的前 n 项和为 Sn，a12，a2+3a34a4，则 S5（ ） A10 B12 C16 D32 【分析】利用等比数列的通项公式求和公式及其性质即可得出 【解答】解：设正项等比数列an的公比为 q0， 由 a2+3a34a4，1+3q4q2，解得 q1 S52510 故选：A 【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能 力，属于基础题 5 （5 分）

11、 设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外， 则（ ） A8 B4 C2 D1 【分析】先求出|4，又因为|24，可得答案 【解答】解：由16，得|4， |4， 而 2 故选：C 【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，属基础题 6 （5 分）直线 l：mxy+14m0（mR）与圆 C：x2+（y1）225 交于两点 P、Q， 则弦长|PQ|的取值范围是（ ） A6，10 B6，10） C （6，10 D （6，10） 【分析】求得圆 C 的圆心和半径，以及直线 l 恒过的定点 M（4，1） ，判断 M 在圆内， 可得|PQ|的最大值和最小值，即可得到所求范围 第 7 页（共

12、 19 页） 【解答】解：圆 C：x2+（y1）225 的圆心 C（0，1） ，半径 r5， 直线 l：mxy+14m0m（x4）y+10 过定点 M（4，1） ，并在圆 C 内， |PQ|最长为直径，最短 PQ 时，点 M（4，1）为弦 PQ 的中点，即 CMPQ 时， 算得|PQ|26但此时直线斜率不存在，取不到 6， 即|PQ|的范围是（6，10 故选：C 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查弦长的最值求法，以及直线恒过定点的求 法，考查运算能力和推理能力，属于中档题 7（5 分） 已知奇函数 f （x） 的图象如图所示， 则函数的大致图象是 （ ） A B C D 【分析】根据题意

13、，令和，求出 y 的值，据此分析可得答案 【解答】解：根据题意，函数， 令，得 yf（）sin0； 令，得 yf（）sin0；排除 BCD， 故选：A 【点评】本题考查函数图象的分析，涉及特殊值的英译汉，属于基础题 8 （5 分）alog25，b0.51.2，c20.9，则（ ） Aabc Bbca Cbac Dcab 第 8 页（共 19 页） 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出 【解答】解：a2，0b1，1c2 bca 故选：B 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 9 （5 分）tan2tan，则（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】根据两

14、角和差的三角公式进行转化求解即可 【解答】解： 故选：C 【点评】本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的三角公式进行转化是解决本 题的关键，比较基础 10 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618 就是黄金分割比：的近似值， 黄金分割比还可以表示成 2sin18，则（ ） A B C2 D4 【分析】把 t2sin18代入要求的式子，利用二倍角的三角公式化简可得结论 【解答】解：把t2sin18代入 ， 故选：A 【点评】本题主要考查新定义、二倍角的余弦、正弦公式的应用，属于基础题 11 （

15、5 分），若存在 x1、x2、x3、x4满足 x1x2x3x4，且 第 9 页（共 19 页） f（x1）f（x2）f（x3）f（x4） ，则 x1x2+x3+x4的值是（ ） A12 B13 C14 D15 【分析】做出 f（x）的函数图象，求出 x1，x2，x3，x4的范围，根据对数函数的性质得出 x1x21，利用三角函数的对称性得出 x3+x412 【解答】解：作出函数 f（x）的图象如图所示： 因为存在实数 x1，x2，x3，x4，满足 x1x2x3x4，且 f（x1）f（x2）f（x3）f（x4） ， x11，1x22，2x34，8x410， log2x1log2x2，log2log

16、2x2，x1x21， ysin关于直线 x6 对称， x3+x412， x1x2+x3+x413 故选：B 【点评】本题考查了分段函数图象的图象，对数函数，三角函数的性质，属于中档题 12 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D1（棱长为 1）中，点 P 在线段 AD 上（点 P 异于 A、D 两点） ，线段 DD1的中点为点 Q，若平面 BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段 AP 的取值范围为（ ） A B C D 【分析】由题意画出图形，可知当 AP时，截面为等腰梯形 BPQC1，进一步得到当 0 AP时，截面是四边形 BPQM，当 AP时，截面是五边形则答案可求 【解答】解：如

17、图， 第 10 页（共 19 页） 当 AP时，截面为等腰梯形 BPQC1， 当 0AP时，截面是四边形 BPQM， 当 AP时，截面是五边形 若平面 BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段 AP 的取值范围为（0， 故选：D 【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，是中档题 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）函数 f（x）alnx+bx2在点（1，f（1） ）处的切线方程为 y4x3，则 a 2 ， b 1 【分析】根据函数导数表示出 f（1）1，f（1）4，进而可求出 a，b

18、【解答】解：根据条件可得， 则 f（1）1，f（1）4，即 b1，所以 a2，b1 故答案为：2，1 【点评】本题考查利用导数表示出曲线上某点的切线方程，考查一一对应思想，属于中 档题 14 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx2y+3 的最小值是 9 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 第 11 页（共 19 页） 作图知在点（0，6）处取到最小值9 故答案为：9 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 15（5分） 已知三棱锥PABC

19、的四个顶点都在球O的球面上， PAPBPC， AB2， AC3，E，F 分别为 AC，PB 的中点，则球 O 的体积为 【分析】由已知可得ABC90，因 PAPBPC，所以点 P 在ABC 内的投影为 ABC 的外心 E，所以 PE平面 ABC，PEBE，所以 PB2EF3，所以 PE ，再利用勾股定理求出，从而求出球 O 体积 【解答】解：如图所示： 由已知可得ABC90，因 PAPBPC， 所以点 P 在ABC 内的投影为ABC 的外心 E， 所以 PE平面 ABC，PEBE， 所以 PB2EF3， 所以 PE， 又球心 O 在 PE 上，设 POr，则，所以， 所以球 O 体积， 故答案

20、为：4 第 12 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球，是中档题 16 （5 分），下列说法错误的是 f（x）的值域是1，1； 当且仅当（kZ）时，f（x）0； 当且仅当（kZ）时，f（x）取得最小值； f（x）是以 为最小正周期的周期函数 【分析】将函数解析式写成分段函数的形式，画出函数图象，数形结合即可判断 【解答】解： 画出函数图象如下： 从图中实线可知，函数的值域是，即错误； 当且仅当（kZ）时，f（x）0，即正确； 当或 x2k+（kZ）时，f（x）取得最小值，即错误； 第 13 页（共 19 页） 函数 f（x）是以 2 为最小正周期的周期函数，即错误 故答案为

21、： 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查学生的作图能力和分析能力，属于 中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若， （1）求 C 的值； （2）若，求ABC 的面积 【分析】 （1）由二倍角公式化简已知等式可得，解方程可求 ，结合范围 0C，可求 C 的值 （2）解法一：由正弦定理可求 sinB 的值，利用大边对大角可求 B 为锐角，可求， 利用三角形内角和定理可求 A，进而利用三角形

22、的面积公式即可得解 解法二：作 ADBC 垂足为 D，则可求 CD，AD 的值，利用勾股定理可求 BD 的值，进 而可求 a，利用三角形的面积公式即可计算得解 【解答】解： （1）由得， 所以， 由于 0C， 所以 （2）解法一：由正弦定理得， 即， 又 cb， 所以 CB， 所以， 所以， 可得， 第 14 页（共 19 页） 所以 解法二：作 ADBC 垂足为 D，则， 所以， 所以， 所以 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，勾股定理，三角 形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题 18 （12 分）已知数列an满足 a11， （n+1）an+1nan+n+1

23、 （1）求数列an的通项公式； （2）Sn为数列的前 n 项和，求证： 【分析】 （1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式 （2）利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果 【解答】解： （1）由（n+1）an+1nan+n+1 得， （n+1）an+1nann+1， 取 n1，2，3，n1 得，2a2a123a32a234a43a34， nan（n1）an1n， 相加得， 所以 证明： （2）由（1）得， 所以 Sn， 因 Sn随 n 的增大而增大，所以， 又 Sn2， 所以 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查

24、学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 19 （12 分）三棱柱 ABCA1B1C1中，棱 AC1、AB、A1C1的中点分别是 P、Q、O （1）求证：PQ平面 AOB1； 第 15 页（共 19 页） （2）若三棱柱 ABCA1B1C1的体积为，求三棱柱 APOQ 的体积 【分析】（1） 设 M 为 AB1的中点， 连接 QM， 则， 利用中位线定理得到 POMQ 为平行四边形，PQOM，再利用线面平行的判定定理即可证得 PQ平面 AOB1； （2）因为，又 BB1平面 C1A1A，所以，所以 【解答】解： （1）证明：设 M 为 AB1的中点，连接 QM，如图所示： ， 则， 又

25、，POMQ 为平行四边形， PQOM，又 OM平面 AOB1， PQ平面 AOB1； （2）， 又 BB1平面 C1A1A， ， 第 16 页（共 19 页） 【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及求三棱锥的体积，是中档题 20 （12 分）已知两定点 M（1，0） ，N（4，0）点 P 满足|PN|2|PM| （1）求点 P 的轨迹 C 的方程； （2）若 D（0，2） ，直线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，DA，DB 的斜率之和为 2，直线 l 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 【分析】 （1）设 P 的坐标为（x，y） ，列出方程转化求解即可 （

26、2）当直线 l 的斜率不存在时，验证直线 l 与圆相切，不合题意 当直线 l 的斜率存在时，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，直线 l 的方程为 ykx+m，与轨迹 C 联立得（1+k2）x2+2kmx+m240，结合韦达定理，斜率关系，求出直线系方程，然 后求解即可 【解答】解： （1）设 P 的坐标为（x，y） ， 由题意得， 化简得：x2+y24 （2）当直线 l 的斜率不存在时， 设 A（x0，y0） ，B（x0，y0） 则有，得 x02， 此时直线 l 与圆相切，不合题意 当直线 l 的斜率存在时， 设 A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 直线 l 的方程为

27、 ykx+m， 与轨迹 C 联立得 （1+k2） x2+2kmx+m2 40， ， 第 17 页（共 19 页） 所以， 所以 m2k+2， 所以直线 l 的方程为 yk（x2）+2， 所以直线 l 过定点（2，2） 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以 及计算能力，是中档题 21 （12 分）如图，某农户计划用两张铁丝网在一块空地上围成一个梯形养鸡场 ABCD，AB CD，ADBC已知 AB、BC 两段是由长为 50m 的铁丝网折成，AD、DC 两段是由长 为 90m 的铁丝网折成，设上底 AB 的长为 xm，所围成的梯形面积为 Sm2 （1）求 S

28、关于 x 的函数解析式，并求 x 的取值范围； （2）当 x 为何值时，养鸡场的面积 S 最大？最大面积为多少？ 【分析】 （1）由已知条件的该梯形为等腰梯形，作出高，用含 x 的代数式表示出上、下 底和高，从而表示出面积 S； （2）利用导数最值求出最大值 【解答】解： （1）作 AECD，因为四边形为等腰梯形，所以根据已知可得：BCAD 50x，CD40+x，DE20，AE 所以S（x） ，x（0，30； （2）0 得 x10，且 S（x）在（0，10） 上单调递增，在（10，30）上单调递减， 故当 x10 时，S（x）取极大值也是最大值，最大值为 S（10）600 【点评】本题主要考察

29、用函数模型解决实际问题，难度不大，属于基本题 22 （12 分）已知函数（aR） 第 18 页（共 19 页） （1）若 a0，讨论 f（x）的单调性； （2）若 f（x）在区间（0，2）内有两个极值点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对 a 进行分类讨论，判断导 数的符号即可求解函数的单调性， （2）结合函数单调性的讨论，结合极值存在条件及函数的性质即可求解 【 解 答 】 解 ：（ 1 ） 由 题 意 可 得f （ x ） 的 定 义 域 为 （ 0 ， + ）， 当 a0 时，易知 xaex0 由 f（x）0 得 0x2，由 f（x）0 得

30、 x2， f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+）上单调递增 （2）由（1）可得， 当 0x2 时， 记 g（x）xaex，则 g（x）1aex， f（x）在（0，2）内有两个极值点， g（x）在（0，2）内有两个零点， a0 令 g（x）0，则 xlna， 当lna0，即 a1 时，g（x）0，所以在（0，2）上单调递减，g（x）的图象至多 与 x 轴有一个交点，不满足题意 当lna2，即时，在（0，2）上 g（x）0，g（x）单调递增，g（x）的图 象至多与 x 轴有一个交点，不满足题意 当 0lna2，即时，g（x）在（0，lna）上单调递增，在（lna，2） 上单调递减 由 g （0） a0 知， 要使 g （x） 在 （0， 2） 内有两个零点， 必须满足， 解得 第 19 页（共 19 页） 综上，实数 a 的取值范围是 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及函数极值存在条件的应用，属于 中档试题