2020年山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷（文科）（一）（5月份）含详细解答

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1、已知集合 MxZ|x2x20，N0，1，则MN（ ） A0，1 B1，2 C1，0，2 D1，0，1，2 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，a，bR，若b+2i，则 ab（ ） A2 B1 C2 D3 3 （5 分）在新型冠状病毒疫情期间，商业活动受到很大影响某小型零售连锁店总部统计了 本地区 50 家加盟店 2 月份的零售情况，统计数据如图所示据估计，平均销售收入比去 年同期下降 40%，则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入约为（ ） A6.6 万元 B3.96 万元 C9.9 万元 D7.92 万元 4 （5 分）已知 a（），b（），clog，则（ ） Abac Babc

2、Cbca Dacb 5 （5 分） 中国象棋中棋子 “马” 的走法规则是走 “日” 字的对角线 （图中楚河汉界处的 “日” 字没有画出） ，如图，马从点 A 处走出一步，只能到达点 B，C，D 中的一处则马从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处，最少需要的步数是（ ） 第 2 页（共 24 页） A5 B6 C7 D8 6 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 acosBbcosAc，则 A（ ） A B C D 7 （5 分）cossin（ ） A0 B C D 8 （5 分）抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 l 上，

3、线段 PF 与抛物 线 C 交于点 A，若，点 A 到 y 轴的距离为 1，则抛物线 C 的方程为（ ） Ax24y Bx23y Cx22y Dx2y 9 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出 x 的值为（ ） 第 3 页（共 24 页） A2 B1 C D9 10 （5 分）函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 11 （5 分）体积为 36 的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面积为 8 的圆柱，当圆 柱的体积最大时，其侧面积为（ ） A8 B8 C6 D9 12 （5 分）双曲线 C：l（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，过 F1作斜

4、率为 k（k0）的直线 l 与双曲线右支交于点 M，与 y 轴交于点 N，点 M 在 第 4 页（共 24 页） x 轴上的射影是 F2若直线 AM、AN 的倾斜角互补，则 k（ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）函数 f（x）的图象在 x1 处的切线方程是 14 （5 分）如图所示，ABCD 是梯形，ADBC，AD2BC，设 ， ，用 ， 表 示 15 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （03，0）满足 f（x）f（x4） ， f（x）f（x+3） ，则 f（x） 16 （5 分）正

5、方体 ABCDA1B1C1D 中，E 是 BC 的中点，平面 经过直线 BD 且与直线 C1E 平行，若正方体的棱长为 2，则平面 截正方体所得的多边形的面积为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）腾飞中学学生积极参加科技创新大赛，在市级组织的大赛中屡创佳绩为了组 织学生参加下一届市级大

6、赛，了解学生报名参加社会科学类比赛（以下称为 A 类比赛） 和自然科学类比赛（以下称为 B 类比赛）的意向，校团委随机调查了 60 名男生和 40 名 女生调查结果如下：60 名男生中，15 名不准备参加比赛，5 名准备参加 A 类比赛和 B 类 比赛，剩余的男生有准备参加 A 类比赛，准备参加 B 类比赛，40 名女生中，10 名不 准备参加比赛，25 名准备参加 A 类比赛，5 名准备参加 B 类比赛 （1）根据统计数据，完成如 22 列联表（A 类比赛和 B 类比赛都参加的学生需重复统 计） ： 第 5 页（共 24 页） A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 女生 总计 （2）能否有 9

7、9%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关？ 附：K2 P（K2k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 18 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1050，a10+a1120 （1）求数列an的通项公式； （2）当 n2 时，证明：Snan2 19 （12 分）如图，四棱台 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，侧棱 AA1垂直于底面，AB 2A1B12AA12 （1）证明：BB1C1D； （2）求点 D1到平面 B1C1D 的距离 20 （12 分）动点 P 到点

8、F（1，0）的距离与到直线 l：x4 的距离的比值为 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F 的直线 l1与点 P 的轨迹 C 交于两点 A，B，设点 A，B 到直线 l 的距离分别 为 d1，d2，当|d1d2|时，求直线 l1的方程 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x2）ax2+ax（aR） （1）当 a1 时，求 f（x）的极值； （2）若 f（x）恰有两个零点，求实数 a 的取值范围 第 6 页（共 24 页） （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则

9、按所做的第一 题计分题计分.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 或 t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos+sin）1 （1）当 t 为参数，时，判断曲线 C 与直线 l 的位置关系； （2） 当 为参数， t2 时， 直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点， 设 P （1， 0） ， 求+ 的值 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|

10、x|2x4| （1）求不等式 f（x）x2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 t，a，b，c 为正数，且 a+b+ct，求证：a2+b2+c2 第 7 页（共 24 页） 2020 年山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷 （文科）（一）年山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷 （文科）（一） （5 月份）月份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 MxZ|x

11、2x20，N0，1，则MN（ ） A0，1 B1，2 C1，0，2 D1，0，1，2 【分析】可以求出集合 M，然后进行补集的运算即可 【解答】解：MxZ|1x21，0，1，2，N0，1， MN1，2 故选：B 【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，补集的运算，考 查了计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知 i 为虚数单位，a，bR，若b+2i，则 ab（ ） A2 B1 C2 D3 【分析】把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求得 a，b 的值，则答案可求 【解答】解：b+2i， 1+ai3（b+2i）3b+6i， 则，即 a6，b ab2 故选：C 【点评】本题

12、考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题 3 （5 分）在新型冠状病毒疫情期间，商业活动受到很大影响某小型零售连锁店总部统计了 本地区 50 家加盟店 2 月份的零售情况，统计数据如图所示据估计，平均销售收入比去 年同期下降 40%，则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入约为（ ） 第 8 页（共 24 页） A6.6 万元 B3.96 万元 C9.9 万元 D7.92 万元 【分析】由频率分布直方图求出今年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入，再由平均销 售收入比去年同期下降 40%，能求出去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入 【解答】解：由频率分布

13、直方图得： 今年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入为： 10.082+30.162+50.2+70.0623.96（万元） ， 据估计，平均销售收入比去年同期下降 40%， 则去年 2 月份这 50 家加盟店的平均销售收入为： 6.6（万元） 故选：A 【点评】本题考查频率分布直方图等基础知识，考查数据处理能力，运算求解能力，考 查统计概率思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 4 （5 分）已知 a（），b（），clog，则（ ） Abac Babc Cbca Dacb 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解 【解答】解：， ba0， ，c0， bac， 故选：A 【点评】本题

14、考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数 和指数函数的性质的合理运用 第 9 页（共 24 页） 5 （5 分） 中国象棋中棋子 “马” 的走法规则是走 “日” 字的对角线 （图中楚河汉界处的 “日” 字没有画出） ，如图，马从点 A 处走出一步，只能到达点 B，C，D 中的一处则马从点 A 出发到达对方“帅”所在的 P 处，最少需要的步数是（ ） A5 B6 C7 D8 【分析】利用棋子“马”的走法规则是走“日”字的对角线，即可算出结果 【解答】解：由题意可知，按如图所示的走法，需要 5 步即可点 A 出发到达对方“帅” 所在的 P 处， 故选：A 【点评】本题主要考

15、查了简单的合情推理，是基础题 6 （5 分）在ABC 中，内角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 acosBbcosAc，则 A（ ） A B C D 【分析】由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解 A 【解答】解：acosBbcosAc， 由正弦定理可得，sinAcosBsinBcosAsinC， 所以 sinAcosBsinBcosAsin（A+B）sinAcosB+sinBcosA， 第 10 页（共 24 页） 所以 sinBcosA0， 因为 sinB0， 所以 cosA0，即 A， 故选：B 【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在三角化简中的应用，属于基础试

16、题 7 （5 分）cossin（ ） A0 B C D 【分析】利用诱导公式化简，进而根据两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即 可计算求解 【解答】解：cossin cos（2）sin（） cos+cos 2cos 2cos（） 2coscos+2sinsin 2+2 故选：D 【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三 角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题 8 （5 分）抛物线 C：x22py（p0）的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 l 上，线段 PF 与抛物 线 C 交于点 A，若，点 A 到 y 轴的距离为 1，则抛物线

17、 C 的方程为（ ） Ax24y Bx23y Cx22y Dx2y 【分析】根据抛物线的性质可知，点 F（0，） ，P（xp，） ，由于点 A 到 y 轴的距离 为 1，且 A 在抛物线上，所以点 A（1，） ，因为，结合平面向量的线性坐标 第 11 页（共 24 页） 运算即可列出关于 p 的方程，解之可得 p 的值，从而得抛物线的方程 【解答】解：由题可知，点 F（0，） ，P（xp，） ， 点 A 到 y 轴的距离为 1，且 A 在抛物线上，点 A（1，） ， ， ，解得或（舍负） 抛物线的方程为 故选：C 【点评】本题考查抛物线方程的求法、平面向量的坐标运算，熟练掌握抛物线的几何性 质

18、是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题 9 （5 分）阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，则输出 x 的值为（ ） A2 B1 C D9 【分析】直接利用程序框图和循环结构求出结果由已知中的程序语句可知：该程序的 功能是利用循环结构计算并输出变量 x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量 第 12 页（共 24 页） 值的变化情况，可得答案 【解答】解：模拟程序的运行，可得 x0，s0，t10 不满足条件 x20，x3，s1，t8 不满足条件 t2，不满足条件 x20，x81，s2，t6 不满足条件 t2，满足条件 x20，x2，s3，t4 不满足条件 t2，不满足条件

19、 x20，x，s4，t2 此时，满足条件 t2，退出循环，输出 x 的值为 故选：C 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 10 （5 分）函数 f（x）的图象大致是（ ） A B C D 【分析】利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解 【解答】 解： 函数的定义域为 （， 0） （0， +） ， 函数 f（x）为偶函数，故排除 B 选项； 又，故排除 D 选项；，故排 除选项 A 故选：C 【点评】本题考查利用函数的性质确定函数图象，考查数形结合思想，属于基础题 11 （5 分）体积为 36 的金属球在机床上通过切割，

20、加工成一个底面积为 8 的圆柱，当圆 第 13 页（共 24 页） 柱的体积最大时，其侧面积为（ ） A8 B8 C6 D9 【分析】由球的体积可得球的半径当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面与求相切， 由圆柱的底面积求出圆柱的底面半径，进而求出圆柱的高，进而求出圆柱的侧面积 【解答】解：由球的体积可设球的半径 R，由题意R336，可得 R3， 当圆柱的体积最大时，则圆柱的上下底面与球相切， 因为底面积为 8，设底面半径为 r，则 r28，所以 r2， 所以圆柱的高为：h222， 所以圆柱的侧面积为 2rh28， 故选：A 【点评】本题考查球的体积公式及圆柱的侧面积公式，属于中档题 12 （5

21、 分）双曲线 C：l（a0，b0）的左，右焦点分别为 F1，F2，右顶点为 A，过 F1作斜率为 k（k0）的直线 l 与双曲线右支交于点 M，与 y 轴交于点 N，点 M 在 x 轴上的射影是 F2若直线 AM、AN 的倾斜角互补，则 k（ ） A B C D 【分析】由双曲线的性质可知，点 A（a，0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ，所以直线 l 的 方程为 yk（x+c） ，点 N（0，kc） ，点 M（c，2kc） ，利用两点的坐标可分别表示出直线 AM、AN 的斜率，再根据直线 AM、AN 的倾斜角互补，其斜率之和为 0，即 ，所以，然后利用双曲线的定义|MF1|MF2|2a

22、，可得 ，化简得，解得 【解答】解：由题意可知，点 A（a，0） ，F1（c，0） ，F2（c，0） ， 直线 l 的方程为 yk（x+c） ，点 N（0，kc） ， 点 M 在 x 轴上的射影是 F2，点 M（c，2kc） ， 第 14 页（共 24 页） 直线 AM、AN 的斜率分别为， 直线 AM、AN 的倾斜角互补，化简得 由双曲线的定义可得，|MF1|MF2|2a， ，化简整理得，解得 故选：D 【点评】本题考查双曲线的定义、基本几何性质和直线的斜率，考查学生的分析能力和 运算能力，属于中档题 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20

23、 分分 13 （5 分）函数 f（x）的图象在 x1 处的切线方程是 3x4y+10 【分析】先对函数求导数，然后求出切点处的导数值、函数值，最后利用点斜式写出切 线方程 【解答】解：由已知得， 所以 故切线为， 即 3x4y+10 故答案为：3x4y+10 【点评】本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法，同时考查学生的运算能力属 于基础题 14 （5 分）如图所示，ABCD 是梯形，ADBC，AD2BC，设 ， ，用 ， 表 示 【分析】由题意，放在ABC 和ACD 中，运用向量的三角形法则，即可用来表 示出 【解答】解：由题，ADBC，AD2BC， 第 15 页（共 24 页） ， ，

24、故答案为： 【点评】本题考查了向量的三角形法则和基本定理，考查了学生转化的思想，属于基础 题 15 （5 分）已知函数 f（x）sin（x+） （03，0）满足 f（x）f（x4） ， f（x）f（x+3） ，则 f（x） sin（x+） 【分析】由 f（x）f（x4）说明函数周期为 4，可求 ，由 f（x）f（x+3）说明函 数对称轴 x，可求 ， 【解答】解：因为函数 f（x）sin（x+） （03，0）满足 f（x）f（x 4） ， 所以周期 T4，则 又 f（x）f（x+3） ， 所以函数 f（x）关于 x对称，则 f（）sin（+）1， 所以 +k+，由于 0，则 ， 故答案为：si

25、n（x+） 【点评】本题考查待定系数法，由周期求 ，对称轴时函数取最值求 ，属于基础题 16 （5 分）正方体 ABCDA1B1C1D 中，E 是 BC 的中点，平面 经过直线 BD 且与直线 C1E 平行，若正方体的棱长为 2，则平面 截正方体所得的多边形的面积为 【分析】根据线面平行的性质作出平面 与正方体的截面，计算截面梯形的各边长即可 第 16 页（共 24 页） 求出截面面积 【解答】解：过 B 作 BMC1E 交 B1C1于 M，过 M 作 BD 的平行线，交 C1D1于 N，连 接 DN， 则平面 BDMN 即为符合条件的平面 ， 由作图可知 M，N 分别为 B1C1，C1D1的

26、中点， 故 BD2，MN，且 BMDN， 等腰梯形 MNDB 的高为 h， 梯形 MNDB 的面积为（） 故答案为： 【点评】本题考查了线面平行的性质，面面平行的性质，属于中档题 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17 （12 分）腾飞中学学生积极参加科技创新大赛，在市级组织的大赛中屡创佳绩为了组 织学

27、生参加下一届市级大赛，了解学生报名参加社会科学类比赛（以下称为 A 类比赛） 和自然科学类比赛（以下称为 B 类比赛）的意向，校团委随机调查了 60 名男生和 40 名 女生调查结果如下：60 名男生中，15 名不准备参加比赛，5 名准备参加 A 类比赛和 B 类 比赛，剩余的男生有准备参加 A 类比赛，准备参加 B 类比赛，40 名女生中，10 名不 准备参加比赛，25 名准备参加 A 类比赛，5 名准备参加 B 类比赛 （1）根据统计数据，完成如 22 列联表（A 类比赛和 B 类比赛都参加的学生需重复统 计） ： A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 第 17 页（共 24 页） 女生 总

28、计 （2）能否有 99%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关？ 附：K2 P（K2k） 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】 （1）根据题目所给的数据填写 22 列联表即可； （2）计算 K 的观测值 K2，对照题目中的表格，得出统计结论 【解答】解： （1）根据题目所给数据得到如下 22 的列联表： A 类比赛 B 类比赛 总计 男生 15 35 50 女生 25 5 30 总计 40 40 80 （2）K 的观测值：K221.333； 由于 21.3336.635， 有 99

29、%的把握认为学生参加 A 类比赛或 B 类比赛与性别有关 【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题 目 18 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S1050，a10+a1120 （1）求数列an的通项公式； （2）当 n2 时，证明：Snan2 【分析】 （1）设等差数列an的公差为 d，由 S1050，a10+a1120可得：10a1+45d 50，2a1+19d20，联立解得：a1，d，可得 an （2）当 n2 时，利用求和公式可得 Snn2通过作差即可证明结论 【解答】解： （1）设等差数列an的公差为 d，S1050，a10+a11

30、20 10a1+45d50，2a1+19d20， 第 18 页（共 24 页） 联立解得：a1，d1， an+n1 （2）证明：当 n2 时，Snn2 Snn20，Sn Snn20，Sn 综上可得：Snan2 【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、作差法、方程的解法，考查了推 理能力与计算能力，属于基础题 19 （12 分）如图，四棱台 ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，侧棱 AA1垂直于底面，AB 2A1B12AA12 （1）证明：BB1C1D； （2）求点 D1到平面 B1C1D 的距离 【分析】 （1）由侧棱 AA1垂直于底面，得 AA1B1C1，再由底面 A1B1C1D

31、1是正方形，得 B1C1A1B1，证明 B1C1平面 AA1B1B，得 B1C1BB1 在平面 AA1B1B 中， 过 B1作 B1O AB，由已知求解三角形证明 BB1B1D可得 BB1平面 B1C1D，从而得到 BB1C1D； （2） 设点 D1到平面 B1C1D 的距离为 h 利用求解点 D1到平面 B1C1D 的距离 【解答】 （1）证明：侧棱 AA1垂直于底面，AA1B1C1， 又底面 A1B1C1D1是正方形，B1C1A1B1， A1B1AA1A1，B1C1平面 AA1B1B，则 B1C1BB1 在平面 AA1B1B 中，过 B1作 B1OAB， 第 19 页（共 24 页） 由侧

32、棱 AA1垂直于底面，得平面 AA1B1B底面 ABCD， 又平面 AA1B1B底面 ABCDAB，得 B1O底面 ABCD 再由 AB2A1B12AA12，解得，DO，BD2，则 ，即 BB1B1D 又 B1DB1C1B1，BB1平面 B1C1D， 得 BB1C1D； （2）解：设点 D1到平面 B1C1D 的距离为 h 在 RtC1D1D 中， B1C11，由（1）得 cosB1C1D，则 sinB1C1D ，解得 h 即点 D1到平面 B1C1D 的距离为 【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间 想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，

33、考查运算求解能力，是中 档题 20 （12 分）动点 P 到点 F（1，0）的距离与到直线 l：x4 的距离的比值为 （1）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （2）过点 F 的直线 l1与点 P 的轨迹 C 交于两点 A，B，设点 A，B 到直线 l 的距离分别 为 d1，d2，当|d1d2|时，求直线 l1的方程 【分析】 （1）设 P 的坐标，由题意可得等式，整理可得 P 的轨迹方程； 第 20 页（共 24 页） （2）由题意设 l1的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出 A，B 到直线 x 4 的距离之差，由题意可得参数的值，进而求出直线 AB 的方程 【解答】解： （1）设

34、 P 的坐标（x，y） ，由题意可得， 整理可得：+1； 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为：+1； （2）当直线 AB 的斜率为 0 时，则直线 AB 为 y0，可得 A（2，0） ，B（2，0） ， 则由题意 d16，d22，则|d1d2|4， 所以直线 AB 的方程为：xmy+1，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ， 联立直线 AB 与椭圆的方程：整理可得（4+3m2）y2+6my90，y1+y2 ，y1y2， 所以 A，B 到 x4 的距离之差|d1d2|（x14）（x24）|x1x2|m（y1y2）| |m|m| 由题意可得，整理可得：31m4+m2320，解得 m21，即

35、m 1 所以直线 l1的方程为：x+y10 或 xy10 【点评】本题考查求轨迹方程及直线与椭圆的综合，属于中档题 21 （12 分）已知函数 f（x）ex（x2）ax2+ax（aR） （1）当 a1 时，求 f（x）的极值； （2）若 f（x）恰有两个零点，求实数 a 的取值范围 【分析】 （1）代入 a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值 即可； 第 21 页（共 24 页） （2）显然 x2 是函数 f（x）的一个零点，若 f（x）恰有两个零点，则只需 yexax 恰有 1 个零点，问题转化为只需 g（x）ex和 h（x）ax 只有 1 个交点即可，通过讨 论 a

36、 的范围，结合函数的图象判断即可 【解答】解： （1）a1 时，f（x）ex（x2）x2+x， f（x）ex（x1）x+1（x1） （ex1） ， 令 f（x）0，解得：x1 或 x0， 令 f（x）0，解得：0x1， 故 f（x）在（，0）递增，在（0，1）递减，在（1，+）递增， 故 f（x）极大值f（0）2，f（x）极小值f（1）e； （2）f（x）ex（x2）ax2+ax（x2） （exax） ， 显然 x2 是函数 f（x）的一个零点，若 f（x）恰有两个零点， 则只需 yexax 恰有 1 个零点， 即只需 g（x）ex和 h（x）ax 只有 1 个交点即可， a0 时，如图示：

37、结合图象，a0 时 g（x）ex和 h（x）ax 只有 1 个交点，符合题意； a0 时，g（x）ex和 y0 无交点，不合题意； a0 时，g（x）ex和 h（x）ax 相切时 1 个交点， 设切点是 P（m，em） ，则aem（i） ， emam（ii） ，由（i） （ii）解得：P（1，e） ，a2e，符合题意， 第 22 页（共 24 页） 综上，若 f（x）恰有两个零点，则 a（，0）2e 【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，转化思想，分类讨论 思想，数形结合思想，是一道综合题 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中

38、任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一如果多做，则按所做的第一 题计分题计分.（本小题满分（本小题满分 10 分）分）选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22 （10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 或 t 为参数） 以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （cos+sin）1 （1）当 t 为参数，时，判断曲线 C 与直线 l 的位置关系； （2） 当 为参数， t2 时， 直线 l 与曲线 C 交于 A， B 两点， 设 P （1， 0） ， 求+ 的值 【分析】 （1）先得到曲线 C 的普通

39、方程，直线 l 的直角坐标方程，它们的斜率相等，所 以它们位置关系是平行 （2）先得到曲线 C 的普通方程，直线 l 的极坐标方程，联立得 t1+t2，t1t21， ，进而得出结论 【解答】解： （1）当 t 为参数，曲线 C 的参数方程为 化 简得 消掉参数得 yx， 因为直线 l 的极坐标方程为：（cos+sin）1， 化为直角坐标方程为：yx+， 曲线 C 与直线 l 斜率相等，所以它们平行 （2）当 为参数，t2 时，曲线 C 的参数方程为：， 化为普通方程得（x1）2+（y+）4， 第 23 页（共 24 页） 由（1）知直线 l 的斜率为，直线 l 过点 P（1，0） ， 所以直线

40、 l 的倾斜角为 150， 所以直线 l 的参数方程为：，即， 联立直线 l 的参数方程与曲线 C 的普通方程得： t2+t10， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2 所以 t1+t2，t1t21， 所以 【点评】本题考查极坐标方程和参数方程，考查了转化思想，属于中档题 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲（本小题满分（本小题满分 0 分）分） 23已知函数 f（x）|x|2x4| （1）求不等式 f（x）x2 的解集； （2）若 f（x）的最大值为 t，a，b，c 为正数，且 a+b+ct，求证：a2+b2+c2 【分析】 （1）由 f（x）|x|2x4|，f（x）x2，利用零

41、点分段法解不等式即可； （2）先求出 f（x）的最大值，然后利用基本不等式得到 2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ca） ， 进一步证明 a2+b2+c2成立 【解答】解： （1）f（x）|x|2x4|，f（x）x2， 当 x2 时，x（2x4）x2，解得 x3； 当 0x2 时，x（2x+4）x2，解得 x1，0x1； 当 x0 时，x（2x+4）x2，不等式恒成立，x0 综上，不等式 f（x）x2 的解集为 x|x1 或 x3； （2）由（1）可知，当 x2 时，函数 f（x） 单调递减， 当 x2 时，函数 f（x） 单调递增， f（x） 的最大值为 tf（2）2，则 a+b+c2 第 24 页（共 24 页） a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca， 2（a2+b2+c2）2（ab+bc+ca） ， 3（a2+b2+c2）a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）（a+b+c）2， ，当且仅当 时等号成立 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查 了分类讨论思想和转化思想，属中档题