2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（文科）含详细解答

《2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（文科）含详细解答》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年山西省晋城市高考数学一模试卷（文科）含详细解答（22页珍藏版）》请在七七文库上搜索。

1、已知复数，则|z|（ ） A1 B2 C D 2 （5 分）已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则 AB（ ） A （0，e） B （1，2） C （1，e） D （0，2） 3 （5 分）经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为 2：3：5，用分 层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查， 其中中年人人数为 9， 则 n （ ） A30 B40 C60 D80 4 （5 分）已知an是正项等比数列，a2a816a3a7，则 a5（ ） A B2 C D4 5 （5 分）甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（ ） A甲得分的平均数比乙的大 B乙的成绩更

2、稳定 C甲得分的中位数比乙的大 D甲的成绩更稳定 6 （5 分）已知 l，m 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 l，m，则下 列命题中为真命题的是（ ） A若 ，则 l B若 ，则 lm C若 lm，则 l D若 ，则 m 第 2 页（共 22 页） 7 （5 分）函数在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 8 （5 分）斜率为的直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F，若 l 与圆 M： （x2） 2+y24 相切，则 p（ ） A12 B8 C10 D6 9 （5 分）将函数的图象向右平移 m（m0）个单位长度，再将图象 上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵

3、坐标不变） ，得到函数 g（x）的图象，若 g（x） 为奇函数，则 m 的最小值为（ ） A B C D 10 （5 分）已知双曲线的两个顶点分别为 A1（a，0） ，A2 （a，0） ，P，Q 的坐标分别为（0，b） ， （0，b） ，且四边形 A1PA2Q 的面积为，四 边形 A1PA2Q 内切圆的周长为，则 C 的方程为（ ） A B或 C D或 11 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1 第 3 页（共 22 页） 所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ） A98 B196 C784 D 12 （5 分）设函数，则不

4、等式的 解集是（ ） A B C D 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx3y 的最小值为 14 （5 分）已知向量，若，则 m 15 （5 分）函数 f（x）3x35x+9 的图象在点（x0，f（x0） ）处的切线垂直于直线 x+4y 120，则 x0 16 （5 分）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在 梦溪笔谈中首创的“隙积术” ，就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆， 从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3

5、个，第三层比第二层多 4 个，以 此类推，记第 n 层货物的个数为 an，则数列an的通项公式 an ，数列 的前 n 项和 Sn 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ac2bcosC （1）求 B； 第 4 页（共 22 页） （2）若，ABC 的面积为，求ABC 的

6、周长 18 （12 分） “绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能 源汽车产业的迅速发展下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统 计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台） 8 10 13 25 24 某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况， 得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 6 24 女性车主 2 总计 30 （1）求新能源乘用车的销量 y 关于年份 x 的线性相关系数 r，并判断 y 与 x 是否线性相 关； （2）请将上述 22 列联表补充完整，并判断是否有

7、90%的把握认为购车车主是否购置 新能源乘用车与性别有关； （3）若以这 30 名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源 乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取 50 人，记选到女 性车主的人数为 X，求 X 的数学期望与方差 参考公式：，其中 na+b+c+d.，若 r0.9，则可判断 y 与 x 线性相关 附表： P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19 （12 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为梯形，ABC

8、D，BAD 60，CD1，AD2，AB4，点 G 在线段 AB 上，AG3GB，AA11 （1）证明：D1G平面 BB1C1C； 第 5 页（共 22 页） （2）求点 C 到平面 DC1G 的距离 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的半焦距为 c，圆 O：x2+y2c2与椭圆 C 有且仅有两个公共点，直线 y2 与椭圆 C 只有一个公共点 （1）求椭圆 C 的标准方程 （2）已知动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，且与椭圆 C 分别交于 P，Q 两点，点 R 的坐标 为（，0） ，证明：为定值 21 （12 分）已知函数 f（x）2alnx2x+1（其中 aR） （1）讨论函数

9、 f（x）的极值； （2）对任意 x0，f（x）a22 恒成立，求 a 的取值范围 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程； （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若 ，求直线 m 的倾斜角 23已知函数 f（x）|3x1|+|3x+3| （1）求不等式 f（x）10 的解集； （2）正数 a，b 满足 a+b2，证明： 第 6 页（共 22 页） 2020

10、年山西省晋城市高考数学一模试卷（文科）年山西省晋城市高考数学一模试卷（文科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知复数，则|z|（ ） A1 B2 C D 【分析】利用复数模的运算性质即可得出 【解答】解：复数，则|z|1 故选：A 【点评】本题考查了复数模的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2 （5 分）已知集合 Ax|lnx1，Bx|1x2，则

11、AB（ ） A （0，e） B （1，2） C （1，e） D （0，2） 【分析】可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|0xe，Bx|1x2， AB（0，2） 故选：D 【点评】本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的单调性和定义域，交集的运算， 考查了计算能力，属于基础题 3 （5 分）经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为 2：3：5，用分 层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查， 其中中年人人数为 9， 则 n （ ） A30 B40 C60 D80 【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求出 n 的值 【解答】解：在某商场扫码支付的

12、老年人、中年人、青年人的比例为 2：3：5， 用分层抽样的方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查， 其中中年人人数为 9，则由 9n，求得 n30， 故选：A 【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题 第 7 页（共 22 页） 4 （5 分）已知an是正项等比数列，a2a816a3a7，则 a5（ ） A B2 C D4 【分析】由题意利用等比数列的性质，求得 a2a88a3a7的值，可得 a5的值 【解答】 解： an是正项等比数列， a2a8a3a716a3a7， a2a88， a52， 故选：C 【点评】本题主要考查等比数列的性质，属于基础题 5 （5 分）甲、乙两人近五

13、次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（ ） A甲得分的平均数比乙的大 B乙的成绩更稳定 C甲得分的中位数比乙的大 D甲的成绩更稳定 【分析】利用甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，可求出甲、乙的平均 数、中位数，分析数据的离散程度，确定方差，即可求解 【解答】解：由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，得： 在 A 中，甲的平均分（10+13+12+14+16）13， （13+14+12+12+14）13， 甲得分的平均数与乙的平均数相等，故 A 错误； 在 B 中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图， 分析离散程度，得到乙的成绩更稳定，故 B 正确； 在 C 中

14、，甲得分的中位数和乙得分的中位数都是 13，故 C 错误； 第 8 页（共 22 页） 在 D 中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图， 分析离散程度，得到甲的成绩更稳定，故 D 错误 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查折线图的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 6 （5 分）已知 l，m 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，且 l，m，则下 列命题中为真命题的是（ ） A若 ，则 l B若 ，则 lm C若 lm，则 l D若 ，则 m 【分析】利用平面与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直与平行的判断定理以及性质 定理判断选项的正误即可 【解答】解：由 ，

15、 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 l，m，知： 在 A 中，则 lm，所以 A 错误； 在 B 中，若 ，则 l 与 m 相交或平行或异面，故 B 错误； 在 C 中，若 lm，则 l 或 l，故 C 错误； 在 D 中，若 ，则由面面平行的性质定理得 m，故 D 正确 故选：D 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础 知识，考查推理能力，是中档题 7 （5 分）函数在，0）（0，的图象大致为（ ） A B C D 【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解 【解答】解：， 第 9 页（共 22 页） 函数 f（x）为奇函数， 又，

16、选项 D 符合题意 故选：D 【点评】本题考查由函数解析式找函数图象，一般从奇偶性，特殊点，单调性等角度运 用排除法求解，属于基础题 8 （5 分）斜率为的直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F，若 l 与圆 M： （x2） 2+y24 相切，则 p（ ） A12 B8 C10 D6 【分析】求出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，求解即可 【解答】解：斜率为的直线 l 过抛物线 C：y22px（p0）的焦点 F（，0） ， 直线 l 的方程：yx， 若 l 与圆 M： （x2）2+y24 相切， 可得：2，解得 p12， 故选：A 【点评】本题考查抛物线的简单性质以及直线与

17、圆的位置关系的综合应用，考查计算能 力，是中档题 9 （5 分）将函数的图象向右平移 m（m0）个单位长度，再将图象 上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）的图象，若 g（x） 为奇函数，则 m 的最小值为（ ） A B C D 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得 m 的值 【解答】解：将函数的图象向右平移 m（m0）个单位长度，可得 ysin（3x3m+）的图象； 第 10 页（共 22 页） 再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 6 倍（纵坐标不变） ，得到函数 g（x）sin（x 3m+）的图象， 若 g（x）为

18、奇函数，则当 m 的最小时，3m+0，m， 故选：C 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称 性，属于基础题 10 （5 分）已知双曲线的两个顶点分别为 A1（a，0） ，A2 （a，0） ，P，Q 的坐标分别为（0，b） ， （0，b） ，且四边形 A1PA2Q 的面积为，四 边形 A1PA2Q 内切圆的周长为，则 C 的方程为（ ） A B或 C D或 【分析】利用已知条件求出四边形的面积以及原点到直线的距离求出内切圆的半径，利 用周长求解即可 【解答】解：双曲线的两个顶点分别为 A1（a，0） ，A2 （a，0） ，P，Q 的坐标分别为（0，b）

19、 ， （0，b） ，且四边形 A1PA2Q 的面积为， 可得：，ab A2P 的方程为：bx+ayab， 四边形 A1PA2Q 内切圆的周长为， 所以内切圆的半径为：， 第 11 页（共 22 页） 所以，解得 c，a2+b23， 解得 a，b1 或 a1，b， 所以双曲线方程为：或 故选：B 【点评】本题考查双曲线的简单性质应用，双曲线的方程的求法，是基本知识的考查 11 （5 分）如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB8，AD6，异面直线 BD 与 AC1 所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ） A98 B196 C784 D 【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面

20、直线的余弦值求出长方体的高，由题意长 方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积 【解答】解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴 DD1为 z 轴，D 为坐标原点， 由题意知 A（6，0，0） ，B（6，8，0） ，D（0，0，0） ， 设 D（0，0，a） ，则 C1（0，8，a） ， （6，8，0） ，（6，8，a） ， cos， 由题意可得：，解得：a296， 由题意长方体的对角线等于外接球的直径， 设外接球的半径为 R，则（2R）282+62+a2196， 所以该长方体的外接球的表面积 S4R2196， 故选：B 第 12

21、 页（共 22 页） 【点评】考查异面直线的夹角即外接球的表面积公式，属于中档题 12 （5 分）设函数，则不等式的 解集是（ ） A B C D 【分析】 函数 f （x） 可由向左平移两个单位而得到， 分析 g （x） 的奇偶性、单调性，可得 f（x）的单调性，利用函数的单调性将函数不等式转化为自变 量的不等式，解出即可 【解答】解：由题意知，函数 f（x）可由向左平移两个单位而 得到， 而函数 g（x）是定义域为（1，1）的偶函数， 函数 m（x）x 和函数在（0，1）上递增，且 m（x）0， n（x）0， 在（0，1）上递减， g（x）在（0，1）上递减， f（x）的定义域为（3，1）

22、 ，关于 x2 对称，并且在（2，1）上递减， 不 等 式等 价 于， 解 得或 第 13 页（共 22 页） 故选：D 【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性，以及函数的平移，属于中档题 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设 x，y 满足约束条件，则 zx3y 的最小值为 6 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 化目标函数 zx3y 为 y， 由图可知，当直线 y过 A（0，2）时，

23、z 有最小值为6 故答案为：6 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题 14 （5 分）已知向量，若，则 m 1 【分析】根据题意，由数量积与向量垂直的关系可得 m0，解可得 m 的 值，即可得答案 【解答】解：根据题意，向量， 若，则 m0，解可得 m1； 故答案为：1 【点评】本题考查向量数量积的性质，涉及向量数量积的坐标计算，属于基础题 第 14 页（共 22 页） 15 （5 分）函数 f（x）3x35x+9 的图象在点（x0，f（x0） ）处的切线垂直于直线 x+4y 120，则 x0 1 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在切点处的导数，再由两直线垂

24、直与斜率的关 系列式求解 x0 【解答】解：f（x）3x35x+9， f（x）9x25， 由函数 f（x）3x35x+9 的图象在点（x0，f（x0） ）处的切线垂直于直线 x+4y120， 得，解得 x01 故答案为：1 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线垂直与斜率的 关系，是基础题 16 （5 分）对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在 梦溪笔谈中首创的“隙积术” ，就是关于高阶等差级数求和的问题现有一货物堆， 从上向下查，第一层有 2 个货物，第二层比第一层多 3 个，第三层比第二层多 4 个，以 此类推，记第 n 层货物的个数

25、为 an，则数列an的通项公式 an ， 数列的前 n 项和 Sn 【分析】 （1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式 （2）利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和 【解答】解：a12， a2a13， a3a24， ， anan1n+1， 所以：ana13+4+n+n+1， 解得 an（1+2+3+n+n+1）1， 解得（首项符合通项） 故： 第 15 页（共 22 页） 由于数列， 所以 所以2 故答案为：， 【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用和数列的通项公式的求法及应 用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基

26、础题型 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. 17 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2ac2bcosC （1）求 B； （2）若，ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】 （1） 由已知利用余弦定理可得 a2+c2b2ac， 可求 cosB 的值， 结合范围 B （0， ） ，可得 B 的值 （2）由已知利

27、用三角形的面积公式可求 ac2，进而利用余弦定理可求 a+c 的值，即可 求解ABC 的周长 【解答】解： （1）2ac2bcosC2b， 整理可得 a2+c2b2ac， cosB， 由 B（0，） ，可得 B （2）B，ABC 的面积为acsinBac， ac2， ， 由余弦定理 b2a2+c22accosB，可得 3a2+c2ac（a+c）23ac（a+c）26， 解得 a+c3， ABC 的周长 a+b+c3+ 第 16 页（共 22 页） 【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计 算能力和转化思想，属于基础题 18 （12 分） “绿水青山就是金山银

28、山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能 源汽车产业的迅速发展下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统 计表： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台） 8 10 13 25 24 某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况， 得到的部分数据如下表所示： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 6 24 女性车主 2 总计 30 （1）求新能源乘用车的销量 y 关于年份 x 的线性相关系数 r，并判断 y 与 x 是否线性相 关； （2）请将上述 22 列联表补充完整，并判断是否有 90%的把握认为购车车主是否购置 新能源乘用车

29、与性别有关； （3）若以这 30 名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源 乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取 50 人，记选到女 性车主的人数为 X，求 X 的数学期望与方差 参考公式：，其中 na+b+c+d.，若 r0.9，则可判断 y 与 x 线性相关 附表： P（K2k0） 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】 （1） 求出 2016， 16， 从而求出47， 第 17 页（共 22 页） 10，254，进而求出 r0.940.9， 由此得

30、到 y 与 x 线性相关 （2）依题意，完善列联表，求出 K2，从而有 90%的把握认为购车 车主是否购置新能源乘用车与性别有关 （3）该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，从而 XB（50，由 此能求出 X 的数学期望与方差 【解答】 解： （1） （2014+2015+2016+2017+2018） 2016， （8+10+13+25+24） 16， （2）（8）+（1）（6）+19+2847， 4+1+1+410，64+36+9+81+64254， r0.940.9， y 与 x 线性相关 （2）依题意，完善表格如下： 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 18 6 24

31、女性车主 2 4 6 总计 20 10 30 K2， 有 90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关 （3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为， 第 18 页（共 22 页） 则 XB（50，） ，E（X）5020， D（X）12 【点评】本题考查两个变量否线性相关的判断，考查独立性检验的应用，考查离散型随 机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是中档题 19 （12 分）如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面 ABCD 为梯形，ABCD，BAD 60，CD1，AD2，AB4，点 G 在线段 AB 上，A

32、G3GB，AA11 （1）证明：D1G平面 BB1C1C； （2）求点 C 到平面 DC1G 的距离 【分析】 （1）连接 BC1，由题意，D1C1BG，D1C1BG，可得四边形 BGD1C1 为平行 四边形，得到 D1GBC1，再由线面平行的判定证明 D1G平面 BB1C1C； （2）求解三角形得到 G 到 DC 的距离为，再分别求出三角形 DCC1与三角形 DGC1 的面积，设点 C 到平面 DC1G 的距离为 h，由，即可求得点 C 到平面 DC1G 的距离 【解答】 第 19 页（共 22 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用 等积法求多面

33、体的体积，是中档题 20 （12 分）已知椭圆 C：+1（ab0）的半焦距为 c，圆 O：x2+y2c2与椭圆 C 有且仅有两个公共点，直线 y2 与椭圆 C 只有一个公共点 （1）求椭圆 C 的标准方程 （2）已知动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，且与椭圆 C 分别交于 P，Q 两点，点 R 的坐标 为（，0） ，证明：为定值 【分析】 （1）由条件可知 bc2 即可求出椭圆 C 的方程； （2）分别考虑斜率存在与不存在时的情况，结合根与系数关系表示出向量乘积即可 【解答】解： （1）根据条件可知 bc2，则 a2b2+c28， 所以椭圆 C 的标准方程为； （2）由（1）知 F（2，0

34、） ，设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ， 当直线斜率不存在时，即直线为 x2，此时 P（2，2）Q（2，2） ，则 （2+，2） （2+，2）； 当直线斜率存在且不为 0 时，设直线 yk（x+2） ， 代入椭圆 C 得（1+2k2）x2+8k2x+8k280， 则 x1+x2，x1x2， y1y2k2x1x2+2（x1+x2）+4 所以（x1+，y1） （x2+，y2）x1x2+（x1+x2）+y1y2+（ ）+8+， 综上为定值 【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交形成的向量数量积，属于中档 第 20 页（共 22 页） 题 21 （12 分）已知函数 f（x）2a

35、lnx2x+1（其中 aR） （1）讨论函数 f（x）的极值； （2）对任意 x0，f（x）a22 恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）求出函数的定义域、导函数，对 a0 和 a0 分两种情况讨论可得； （2）由（1）知当 a0 时，不符合题意；当 a0 时，f（x）最大值为 f（a）2alna 2a+1 要使对任意 x0，f（x）a22 恒成立，即是使 2alna2aa2+30 成立，令 g（a）2alna2aa2+3，利用导数分析其单调性，即可求得 a 的取值范围 【解答】解： （1）f（x）的定义域为（0，+） ， 当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递减，f（x）无极

36、值； 当 a0 时，令 f（x）0，解得 xa， 在（0，a）上，f（x）0，f（x）递增，在（a，+）上，f（x）0，f（x）递减， f（x）有极大值 f（a）2alna2a+1，无极小值； （2）由（1）知，当 a0 时，f（x）是减函数，令，则 x0（0，1， ，不合题意； 当 a0 时，f（x）的最大值为 f（a）2alna2a+1， 要使得对任意 x0，f（x）a22 恒成立，只需 2alna2a+1a22 成立，则 2alna 2aa2+30 成立， 令 g（a）2alna2aa2+3，则 g（a）2lna2a，令 h（a）g（a）2lna2a， 由得 a1， 在（0，1）上 h（

37、a）0，则 h（a）g（a）在（0，1）上是增函数， 在（1，+）上，h（a）0，则 h（a）g（a）在（1，+）上是减函数， h（a）maxh（1）20，即 g（a）0， g（a）在（0，+）上是减函数，又 g（1）0， 要使 g（a）0 成立，则 a1，即 a 的取值范围为1，+） 【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，单调性，属于中档题 第 21 页（共 22 页） 22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，以坐 标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 （1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程；

38、（2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若 ，求直线 m 的倾斜角 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求 出结果 （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果 【解答】解： （1）曲线 C 的参数方程为（ 为参数） ，转换为直角坐标方 程为 x2+y26 直线 l 的极坐标方程为整理得，转 换为直角坐标方程为 （2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，所以 P（4，0） ， 所以（t 为参数） ， 把直线的参数方程代入圆的方程得到： （4+tcos）2+（tsin）

39、26， 整理得 t2+8cost+100， 所以 t1+t28cos， 所以， 解得或， 所以或 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元 二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型 23已知函数 f（x）|3x1|+|3x+3| （1）求不等式 f（x）10 的解集； 第 22 页（共 22 页） （2）正数 a，b 满足 a+b2，证明： 【分析】 （1）将 f（x）写为分段函数的形式，然后根据 f（x）10 分别解不等式即可； （2）先利用绝对值三角不等式求出 f（x）的范围，再根据 a+b2，利用均值不等式即 可证明 【解答】解： （1）f（x）|3x1|+|3x+3| f（x）10，或， 或 x2， 不等式的解集为x|或 x2 （2）f（x）|3x1|+|3x+3|（3x1）（3x+3）|4 正数 a，b 满足 a+b2，f（x）2（a+b） ， ， 当且仅当 ab1 时等号成立， 【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和均值不等式的应用，考 查了转化思想和分类讨论思想，属中档题