2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)含详细解答
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1、已知全集 U0,1,2,3,4,集合 A1,2,3,B2,4,则(UA) B 为( ) A1,2,4 B2,3,4 C0,2,3,4 D0,2,4 2 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实 数 m 的取值范围是( ) A (,1) B (1,2) C (2,+) D (,1)(2,+) 3 (5 分)已知等差数列an中,前 5 项和 S525,a23,则 a9( ) A16 B17 C18 D19 4 (5 分)已知平面向量,若与 垂直,则 ( ) A2 B2 C1 D1 5 (5 分) 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,
2、它由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又 有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具, 足以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中 任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A B C D 6 (5 分)某程序框图如图所示,若 a4,则该程序运行后输出的结果是( ) 第 2 页(共 26 页) A B C D 7 (5 分)函数的图象大致为( ) A B C 第 3 页(共 26 页) D 8 (5 分) 已知变量 x, y 满足约束条件, 若目标函数 zx+2y 的
3、最大值为 ( ) A3 B5 C8 D11 9 (5 分)设 aR,b0,2) ,若对任意实数 x 都有 sin(3x)sin(ax+b) ,则满足 条件的有序实数对(a,b)的对数为( ) A1 B2 C3 D4 10 (5 分)刘徽注九章算术商功中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 马如图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为( ) A B3 C D4 11 (5 分)过抛物线 y24x 上点 P(1,2)作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3, 与抛物线分别交于不同与 P 的点 A,B,C若 k1+k20,k2k31,则下列结论正确 的是( ) A直线 A
4、B 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 12 (5 分)函数 f(x)的定义域为(,2) ,f(x)为其导函数若(x2)f(x)+f 第 4 页(共 26 页) (x)且 f(0)0,则 f(x)0 的解集为( ) A (,0) B (0,1) C (1,2) D (0,2) 二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分 13 (5 分)双曲线 2x2y28 的实轴长是 14 (5 分)已知函数 f(x)log4(4x+1)+kx(kR)是偶函数,则 k 的值为 15 (5 分)在如图所示装置中
5、,正方形框架的边长都是 1,且平面 ABCD 与平面 ABEF 互 相垂直,活动弹子 M,N 分别在正方形对角线 AC,BF 上移动,则 MN 长度的最小值 是 16 (5 分)我们知道,裴波那契数列是数学史上一个著名数列,在裴波那契数列an中, a11,a21,an+2an+1+an(nN*) 用 Sn表示它的前 n 项和,若已知 S2020m,那么 a2022 三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题,每个试题考生都必须作答第题,每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题,
6、考生根据要求作答 (一)必考题;题为选考题,考生根据要求作答 (一)必考题; 共共 60 分分 17 (12 分)手机运动计步已成为一种时尚,某中学统计了该校教职工一天走步数(单位: 百步) ,绘制出如下频率分布直方图: ()求直方图中 a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数; ()若该校有教职工 175 人,试估计一天行走步数不大于 130 百步的人数; ()在()的条件下,该校从行走步数大于 150 百步的 3 组教职工中用分层抽样的 方法选取 6 人参加远足活动, 再从 6 人中选取 2 人担任领队, 求着两人均来自区间 (150, 170的概率 第 5 页(共 2
7、6 页) 18 ( 12 分 ) 已 知 ABC 中 , a , b , c 分 别 是 内 角 A , B , C 的 对 边 , 2cos ()求 C; ()若 c3,ABC 的面积为,求的值 19 (12 分)如图(1)在等腰直角三角形 ABC 中,ACB90,AB4,点 D 为 AB 中 点,将ADC 沿 DC 折叠得到三棱锥 A1BCD,如图(2) ,其中A1DB60,点 M, N,G 分别为 A1C,BC,A1B 的中点 ()求证:MN平面 DCG; ()求三棱锥 GA1DC 的体积 20 (12 分)已知函数 f(x)excosx (1)求 f(x)在点(0,f(0) )处的切线
8、方程; (2)求证:f(x)在(,+)上仅有两个零点 21 (12 分)椭圆 E 的焦点为 F1(1,0)和 F2(1,0) ,过 F2的直线 l1交 E 于 A,B 两 点, 过 A 作与 y 轴垂直的直线 l2, 又知点 H (2, 0) , 直线 BH 记为 l3, l2与 l3交于点 C 设 ,已知当 2 时,|AB|BF1| 第 6 页(共 26 页) ()求椭圆 E 的方程; ()求证:无论 如何变化,点 C 的横坐标是定值,并求出这个定值 (二)选考题:共二)选考题:共 10 分,请考生在第分,请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的题中任选一题作答如果多做,
9、则按所做的 第一题计分 作答时请用第一题计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑(本小题满分 10 分)分) 选修选修 4-4:坐标系与参数方程:坐标系与参数方程 22 (10 分)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为( 为参数) , 已知点 Q(6,0) ,点 P 是曲线 C1上任意一点,点 M 满足,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ()求点 M 的轨迹 C2的极坐标方程; ()已知直线 l:ykx 与曲线 C2交于 A,B 两点,若4,求 k 的值 选修选修 4-5:不:不等式选讲等式选
10、讲(本小题满分(本小题满分 0 分)分) 23已知函数 f(x)|2x+a|,g(x)|x1| ()若 f(x)+2g(x)的最小值为 1,求实数 a 的值; ()若关于 x 的不等式 f(x)+g(x)1 的解集包含,1,求实数 a 的取值范围 第 7 页(共 26 页) 2020 年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)年山西省太原市高考数学一模试卷(文科) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的太原市一项是符
11、合题目要求的太原市 2020 年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科) (考试 时间:时间:120 分值)分值) 1 (5 分)已知全集 U0,1,2,3,4,集合 A1,2,3,B2,4,则(UA) B 为( ) A1,2,4 B2,3,4 C0,2,3,4 D0,2,4 【分析】由题意,集合UA0,4,从而求得(UA)B0,2,4 【解答】解:UA0,4, (UA)B0,2,4; 故选:D 【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题 2 (5 分)已知 i 是虚数单位,复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限,则实 数 m 的取值
12、范围是( ) A (,1) B (1,2) C (2,+) D (,1)(2,+) 【分析】由实部小于 0 且虚部大于 0 联立不等式组求解 【解答】解:复数 m+1+(2m)i 在复平面内对应的点在第二象限, ,解得 m1 实数 m 的取值范围是(,1) 故选:A 【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查不等式组的解法,是基础题 3 (5 分)已知等差数列an中,前 5 项和 S525,a23,则 a9( ) A16 B17 C18 D19 【分析】根据等差中项求出 a3,然后求出 a1和 d,求出 a9 【解答】解:S525,a23, 第 8 页(共 26 页) S5255a3,
13、 则 a35, 则公差 da3a22,a11, 则 a91+8217 故选:B 【点评】本题考查等差数列性质,属于基础题 4 (5 分)已知平面向量,若与 垂直,则 ( ) A2 B2 C1 D1 【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,求得 的值 【解答】解:平面向量,若与 垂直, ( + ) +4+6+100,求得 1, 故选:C 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质,属于基础题 5 (5 分) 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具, 它由五块等腰直角三角形、 一块正方形和一块平行四边形共七块板组成 (清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又
14、有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具, 足以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中 任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( ) A B C D 【分析】 先设大正方形的边长为 4, 则阴影部分可看做一个等腰直角三角形, 边长为 2, 另外一部分为梯形,上底为,下底为 2,高,然后分别求出面积,根据与面积 有关的几何概率公式可求 【解答】解:设大正方形的边长为 4,则面积 4416, 阴影部分可看做一个等腰直角三角形,边长为 2,面积4, 第 9 页(共 26 页) 另外一部分为梯形,上底为,下底为 2,高,面积3, 故概率
15、 P 故选:C 【点评】本题考查了观察能力及几何概型中的面积型,属中档题 6 (5 分)某程序框图如图所示,若 a4,则该程序运行后输出的结果是( ) A B C D 【分析】 分析循环体的算法功能可知, 该程序计算的是数列前四项的和再加上 1利用裂项法求和可求解 【解答】解:由题意知,该程序计算的是数列前四项的和再加上 1 , S1+(1)+ 故选:B 【点评】本题考查了直到型循环结构求数列前 n 项和的问题,要注意判断准确求和的项 数,区分好当型循环结构与直到型循环结构 7 (5 分)函数的图象大致为( ) 第 10 页(共 26 页) A B C D 【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对
16、称性,判断当 x0 时的单调性,利用排除法进 行求解即可 第 11 页(共 26 页) 【解答】解:f(x)f(x) ,则 f(x)为偶函数,图象关于 y 轴 对称,排除 B,C, 当 x0 时,f(x)x为增函数,排除 A, 故选:D 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用条件判断函数的奇偶性和单调性是 解决本题的关键 8 (5 分) 已知变量 x, y 满足约束条件, 若目标函数 zx+2y 的最大值为 ( ) A3 B5 C8 D11 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,只需求出直线 zx+2y 过点 P(2,1)时,z 最大值即可 【解答】解:作出可行域如图
17、, 由 zx+2y 知,yx+z, 所以动直线 yx+z 的纵截距z 取得最大值时, 目标函数取得最大值 由得 A(1,5) 结合可行域可知当动直线经过点 A(1,5)时, 目标函数取得最大值 z1+2511 故选:D 【点评】本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题 第 12 页(共 26 页) 9 (5 分)设 aR,b0,2) ,若对任意实数 x 都有 sin(3x)sin(ax+b) ,则满足 条件的有序实数对(a,b)的对数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】根据三角函数恒成立,则对应的图象完全相同 【解答】解:对于任意实数 x 都有 sin(3x)si
18、n(ax+b) , 则函数的周期相同,若 a3, 此时 sin(3x)sin(3x+b) , 此时 b+2, 若 a3,则方程等价为 sin(3x)sin(3x+b)sin(3xb)sin(3x b+) , 则b+,则 b, 综上满足条件的有序实数组(a,b)为(3,) , (3,) , 共有 2 组, 故选:B 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数恒成立,利用三角函数的 性质,结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键 10 (5 分)刘徽注九章算术商功中,将底面为矩形,一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳 马如图,是一个阳马的三视图,则其外接球的半径为( ) A B3 C D
19、4 【分析】首先把三视图转换为几何体,进一步求出几何体的外接球的半径 第 13 页(共 26 页) 【解答】解:根据几何体的三视图转换为几何体为:挂几何体为四棱锥体 如图所示: 首先求出底面对角线的长为,所以外接球的半径设为 r,利用勾股定理的应用, 所以 故选:C 【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的外接球的半径的 求法的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型 11 (5 分)过抛物线 y24x 上点 P(1,2)作三条斜率分别为 k1、k2、k3的直线 l1、l2、l3, 与抛物线分别交于不同与 P 的点 A,B,C若 k1+k20,k2k
20、31,则下列结论正确 的是( ) A直线 AB 过定点 B直线 AB 斜率一定 C直线 BC 斜率一定 D直线 AC 斜率一定 【分析】由 k1+k20,k2k31,可设直线 l1的方程,可得 l2,l3的方程,分别于抛物 线联立可得 A,B,C 的坐标,进而可得直线 AB 的斜率为定值1 【解答】解:k1+k20,k2k31 可得设 l1d 的斜率为 k,则 l2,l3的斜率分别为:k, , 设直线 l1的方程为:yk(x1)+2, 则 l2的方程为 yk(x1)+2, l3的方程为 y(x1)2, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) , 联立直线 l1与抛物线的方
21、程:,整理可得 k2x2+2k(2k)4x+(2k) 20, 第 14 页(共 26 页) 所以xA1, 所以xA, 代入直线l1中可得yAk (x1) +2k 1+2,即 A(,) ; 联立直线 l2与抛物线的方程可得,整理可得 k2x22k(2+k)+4x+(2+k) 20, 所以xB1, 可得xB, 代入l2中可得yBk (x1) +2k 1+2,即 B(,) ; 联立直线 l3与抛物线的方程:,整理可得 y24ky+8k40,yC28k 4, 所以 yC4k2,代入抛物线的方程可得 xC(2k1)2,可得 C( (2k1)2,4k2) ; 所以 kAB1 为定值; 故选:B 【点评】本
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