2020年山西省吕梁市高考数学一模试卷（理科）含详细解答

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1、已知集合 Ax|5x2，则 AB（） Ax|5x2 Bx|5x2 Cx|5x2 Dx|2x2 2 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（） A Bf（x）exe x Cf（x）xsinx Df（x）ln（1x）ln（1+x） 3 （5 分）x2y2的充分不必要条件是（） Axy Byx0 C|y|x| D|y|x 4 （5 分）已知 Sn为公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和， S918， am2，则 m （） A4 B5 C6 D7 5 （5 分）已知向量，满足，则（） A B C D1 6 （5 分）已知函数 yf（x）的部分图象如下，是判断函数解

2、析式为（） Af（x）xsinx Bf（x）x2+cosx Cf（x）xsinx+cosx Df（x）（exe x）sinx+1 7 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618 就是黄金分割比：的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin18，则（） A B C2 D4 第 2 页（共 20 页） 8 （5 分）已知，则（） Abca Bcab Cabc Dacb 9 （5 分）已知直线 l：mx+ny20 与圆 x2+y24 相交的弦长为，则 m+n 的取值范围为（） A2，2 B C

3、D4，4 10 （5 分）若直线 l：ykx2 与函数的图象恰好有 2 个不同的公共点，则 k 的取值范围为（） A （，0） B C （，0）（2，+） D 11 （5 分）如图四面体 ABCD 中，ADBC2，ADBC，截面四边形 EFGH 满足 EF BC；FGAD，则下列结论正确的个数为（）四边形 EFGH 的周长为定值四边形 EFGH 的面积为定值四边形 EFGH 为矩形四边形 EFGH 的面积有最大值 1 A0 B1 C2 D3 12 （5 分）已知数列an中，a11，a22，an+12an+3an1（n2），数列an的前 99 项和 S99（） A B C D

4、二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分）第 3 页（共 20 页） 13 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z3x+y+2 的最小值为 14 （5 分）函数 f （x） alnx+bx2在点（1， f （1））处的切向方程为 y4x3，则 a ， b 15（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上， PAPBPC， AB2， AC3，E，F 分别为 AC，PB 的中点，则球 O 的体积为 16 （5 分）函数，则如下结论正确的序号是当 2 时，若 f（x）图象的对称轴为，则；当

5、2 时，若 f（x）的图象向右平移单位长度后关于原点对称，则；当时，若 f（x）的图象在区间内有且仅有一条对称轴，则的取值范围为1，5）；当时，若集合含有 2020 个元素，则的取值范围为（2019，2020.5）三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若，（1）求 C 的值；（2）若，求ABC 的面积 18（12 分）如图三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC （1）证明：A

6、B平面 ACC1A1；（2）求 AB1与平面 BCC1所成的角的正弦值第 4 页（共 20 页） 19 （12 分）已知数列an满足 a11，（n+1）an+1nan+n+1 （1）求数列an的通项公式；（2）Sn为数列的前 n 项和，求证： 20 （12 分）如图正方形 ABCD 纸片的边长为，中心为 O，正方形 EFGH 的中心也是 O， AEH，BEF，CFG，DGH 分别是以 EH，EF，FG，GH 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 EH，EF，FG，GH 为折痕折起AEH，BEF，CFG，DGH，使得 A、B、C、D 重合于点 S，得到四棱锥 SEFGH，设

7、正方形 EFGH 的边长为 x （1）用 x 表示四棱锥 SEFGH 的体积 V（x）；（2）当 V（x）最大时，求四棱锥 SEFGH 的表面积 21 （12 分）已知两定点 M（1，0），N（4，0）点 P 满足|PN|2|PM| （1）求点 P 的轨迹 C 的方程；（2）若 D（0，2），直线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，DA，DB 的斜率之和为 2，直线 l 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由 22 （12 分）已知函数 f（x）axxlnx，（aR）的最大值为 1 （1）求 a 的值；（2）证明：f（x）e 2x+2x2 第 5 页（

9、 2 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在其定义域上单调递增的是（） A Bf（x）exe x Cf（x）xsinx Df（x）ln（1x）ln（1+x）【分析】逐项判断即可【解答】解：A 中单增区间为（，0）和（0，+），定义域上不是单调递增； B 满足条件，C 为偶函数，D 为减函数故选：B 【点评】本题考查函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题 3 （5 分）x2y2的充分不必要条件是（） Axy Byx0 C|y|x| D|y|x 【分析】由 x2y2|x|y|，又 x|y|x2y2，即可判断出答案【解答】解：由 x2y2|x|y|，又 x|y|x2y2，A，B 既不是充分

10、条件也不是必要条件， C 是充要条件故选：D 【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 4 （5 分）已知 Sn为公差不为 0 的等差数列an的前 n 项和， S918， am2，则 m （）第 6 页（共 20 页） A4 B5 C6 D7 【分析】根据等差数列的性质和求和公式可得【解答】解：S99a518， a52， am2 m5，故选：B 【点评】本题考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础题 5 （5 分）已知向量，满足，则（） A B C D1 【分析】直接对所求问题平方再把已知条件代入即可求解【解答】解：因为，

11、所以；故选：C 【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及模长计算，考查计算能力 6 （5 分）已知函数 yf（x）的部分图象如下，是判断函数解析式为（） Af（x）xsinx Bf（x）x2+cosx Cf（x）xsinx+cosx Df（x）（exe x）sinx+1 【分析】由特殊点的函数值，运用排除法得解【解答】解：f（0）1，可排除 A；f（）0，可排除 B，D 故选：C 【点评】本题考查利用函数图象确定函数解析式，考查逻辑推理能力，属于基础题 7 （5 分）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618 优选法” 第 7 页（共 20 页）在

12、生产和科研实践中得到了非常广泛的引用.0.618 就是黄金分割比：的近似值，黄金分割比还可以表示成 2sin18，则（） A B C2 D4 【分析】把 t2sin18代入要求的式子，利用二倍角的三角公式化简可得结论【解答】解：把t2sin18代入，故选：A 【点评】本题主要考查新定义、二倍角的余弦、正弦公式的应用，属于基础题 8 （5 分）已知，则（） Abca Bcab Cabc Dacb 【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出【解答】解：，因 5225，所以 525，所以，所以 acb 故选：D 【点评】本题考查了指数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础

13、题 9 （5 分）已知直线 l：mx+ny20 与圆 x2+y24 相交的弦长为，则 m+n 的取值范围为（） A2，2 B C D4，4 【分析】由已知结合垂径定理可得 m2+n22，再由基本不等式得（m+n）22（m2+n2） 4，则 m+n 的取值范围可求【解答】解：圆心 O（0，0）到直线 l：mx+ny20 的距离，直线 l：mx+ny20 与圆 x2+y24 相交的弦长为，，得 m2+n22，第 8 页（共 20 页）又（m+n）22（m2+n2）4， 2m+n2 故选：A 【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，是中档题 10 （5 分）

14、若直线 l：ykx2 与函数的图象恰好有 2 个不同的公共点，则 k 的取值范围为（） A （，0） B C （，0）（2，+） D 【分析】直线 l 过点（0，2），若有两个交点，结合函数图象分三种情况讨论，当 k0 时，当 k0 时，当 k0 时，进而得出结论【解答】解：画出函数 f（x）的图象，由图可知，当 k0 时，直线 l 与函数 f（x）在区间（，1）内有两个交点，与区间1，+）的部分没有交点，因而满足条件，当 k0 时，直线 l 与函数 f（x）只有一个交点，不满足条件，当 k0 时，直线 l 与函数 f（x）在区间（，1）内只有一个交点，当直线 l 与 f（

15、x）在区间1，+）内的部分也有一个交点时满足条件，这时由 ykx2 与 yx24x+3 联立，得 x2（k+4）x+50，由（k+4）2200 得，，当 k2 时，直线 l 也与 f（x）在区间1，+）内的部分也有一个交点，所以满足条件的 k 的取值范围为故选：D 第 9 页（共 20 页）【点评】考查函数的零点与方程之间的关系，属于中档题 11 （5 分）如图四面体 ABCD 中，ADBC2，ADBC，截面四边形 EFGH 满足 EF BC；FGAD，则下列结论正确的个数为（）四边形 EFGH 的周长为定值四边形 EFGH 的面积为定值四边形 EFGH 为矩形四边形

16、 EFGH 的面积有最大值 1 A0 B1 C2 D3 【分析】说明四边形 EFGH 为平行四边形，又 ADBC，推出四边形 EFGH 为矩形求出周长，以及面积的最值判断命题的真假即可【解答】解：因为 EFBC，EF平面 BCD，所以 EF平面 BCD，又平面 EFGH平面 BDCGH，所以 EFGH，同理 FGEH，所以四边形 EFGH 为平行四边形，又 ADBC，所以四边形 EFGH 为矩形由相似三角形的性质得，所以，BCAD2，所以 EF+FG2，所以四边形 EFGH 的周长为定值 4，所以四边形 EFGH 的面积有最大值 1，因为正确第 10 页（共 20 页）故

17、选：D 【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，空间几何体的直线与平面的位置关系的综合应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题 12 （5 分）已知数列an中，a11，a22，an+12an+3an1（n2），数列an的前 99 项和 S99（） A B C D 【分析】本题根据递推式进行转化可得到数列an+1+an是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列，然后将 an+1+an看成一个整体在求和时代入计算，再利用等比数列求和公式可得 S99的值【解答】解：由题意，递推式 an+12an+3an1两边同时加上 an，可得 an+1+an2an+3an1+an3（an+an1）

18、a1+a23，数列an+1+an是以 3 为首项，公比为 3 的等比数列，由题意，设，则 S99a1+a2+a99 a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a98+a99） a1+c2+c4+c98 1+32+34+398 1+ 故选：B 【点评】本题主要考查由递推式得到通项公式，整体思想的运用，以及等比数列的求和公式，本题属中档题二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件，则目标函数 z3x+y+2 的最小值为第 11 页（共 20 页） 7 【分析】作出不等式组对应的平面区

19、域，z3x+y+2 得 y3x+z2，利用数形结合即可的得到结论【解答】解：可行域为ABC 如图所示：目标函数 z3x+y+2 化为 y3x+z2，平移直线 y3x，由图象可知当直线 y3x+z2，经过 B 点（3，0）时，直线 y3x+z2 在 y 轴上的截距最小，此时 z 最小，zmin33+0+27 故答案为：7 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键 14 （5 分）函数 f（x）alnx+bx2在点（1，f（1））处的切向方程为 y4x3，则 a 2 ， b 1 【分析】结合导数的几何意义及已知切线方程可求 a，b，【

20、解答】解：，由导数的几何意义可得 f（1）1，kf（1）4，即 b1，所以 a2，b1 故答案为：2，1 【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，属于基础试题第 12 页（共 20 页） 15（5分）已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上， PAPBPC， AB2， AC3，E，F 分别为 AC，PB 的中点，则球 O 的体积为【分析】由已知可得ABC90，因 PAPBPC，所以点 P 在ABC 内的投影为 ABC 的外心 E，所以 PE平面 ABC，PEBE，所以 PB2EF3，所以 PE ，再利用勾股定理求出，从而求出球 O 体积【解答】解：如图所示：由已知可得AB

21、C90，因 PAPBPC，所以点 P 在ABC 内的投影为ABC 的外心 E，所以 PE平面 ABC，PEBE，所以 PB2EF3，所以 PE，又球心 O 在 PE 上，设 POr，则，所以，所以球 O 体积，故答案为：4 【点评】本题主要考查了三棱锥的外接球，是中档题 16 （5 分）函数，则如下结论正确的序号是当 2 时，若 f（x）图象的对称轴为，则；当 2 时，若 f（x）的图象向右平移单位长度后关于原点对称，则；第 13 页（共 20 页）当时，若 f（x）的图象在区间内有且仅有一条对称轴，则的取值范围为1，5）；当时，若集合含有 2020 个元素，则

22、的取值范围为（2019，2020.5）【分析】通过正弦函数的对称轴判断；利用三角函数的图象的平移转化求解判断；利用函数的对称轴列出不等式求解判断；利用函数的值结合函数的周期怕啥函数的零点个数判断【解答】解：对于，由得，因，取 k0 得；对于，由得，所以；对于，由的对称轴为，由得 1，5）；对于，由得，或所以或因集合含有 2020 个元素，所以且，所以 20192020.5，所以不正确；故正确序号为故答案为：【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题三、解答题（本大题共三、解答

23、题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若，（1）求 C 的值；（2）若，求ABC 的面积第 14 页（共 20 页）【分析】（1）由二倍角公式化简已知等式可得，解方程可求，结合范围 0C，可求 C 的值（2）解法一：由正弦定理可求 sinB 的值，利用大边对大角可求 B 为锐角，可求，利用三角形内角和定理可求 A，进而利用三角形的面积公式即可得解解法二：作 ADBC 垂足为 D，则可求 CD，AD 的值，利用勾

24、股定理可求 BD 的值，进而可求 a，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：（1）由得，所以，由于 0C，所以（2）解法一：由正弦定理得，即，又 cb，所以 CB，所以，所以，可得，所以解法二：作 ADBC 垂足为 D，则，所以，所以，所以【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦定理，勾股定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，属于基础题第 15 页（共 20 页） 18（12 分）如图三棱柱 ABCA1B1C1中，平面 ABC （1）证明：AB平面 ACC1A1；（2）求 AB1与平面 BCC1所成的角的正弦值【分析】

25、（1）判断出 ABAC，又 C1AAB，利用线面垂直定理证明即可；（2）以 AB，AC，AC分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间坐标系，求出 AB1对应的向量和平面 BCC1的法向量，利用夹角公式求出即可【解答】解：（1）因为，所以ABC 是直角三角形，ABAC，又 C1AAB， ACC1AA，所以 AB平面 ACC1A1 （2）以 AB，AC，AC分别为 x，y，z 轴，建立如图所示的空间坐标系，则 A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，1，1），C1（0，0，1）所以，设平面 BCC1的法向量为，则，即，取，设 AB1与平面

26、BCC1所成的角为，则，故 AB1与平面 BCC1所成角的正弦值第 16 页（共 20 页）【点评】考查线面垂直的判断，利用向量法求直线和平面所成的角，中档题 19 （12 分）已知数列an满足 a11，（n+1）an+1nan+n+1 （1）求数列an的通项公式；（2）Sn为数列的前 n 项和，求证：【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用求出结果【解答】解：（1）由（n+1）an+1nan+n+1 得，（n+1）an+1nann+1，取 n1，2，3，n1 得，2a2a123a32a234a43a

27、34， nan（n1）an1n，相加得，所以证明：（2）由（1）得，所以 Sn，因 Sn随 n 的增大而增大，所以，又 Sn2，所以【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 20 （12 分）如图正方形 ABCD 纸片的边长为，中心为 O，正方形 EFGH 的中心也是 O， AEH，BEF，CFG，DGH 分别是以 EH，EF，FG，GH 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以 EH，EF，FG，GH 为折痕折起AEH，BEF，CFG，DGH，使得 A、B、C、

28、D 重合于点 S，得到四棱锥 SEFGH，设正方形 EFGH 的边长为 x 第 17 页（共 20 页）（1）用 x 表示四棱锥 SEFGH 的体积 V（x）；（2）当 V（x）最大时，求四棱锥 SEFGH 的表面积【分析】（1）连接 OA 交 EH 为 M，则，求出四棱锥 SEFGH 的高为，由此能用 x 表示四棱锥 SEFGH 的体积 V（x）（2）法一：设 f（x）25x45x5（0x5），则 f（x）100x325x4，利用导数性质能求出四棱锥 SEFGH 的表面积法二：，由此能求出四棱锥 SEFGH 的表面积【解答】解：（1）连接 OA 交 EH 为 M，则，

29、所以四棱锥 SEFGH 的高为所以（2）解法一：设 f（x）25x45x5（0x5），则 f（x）100x325x4，由 f（x）0 得，x4 所以当 x4 时，f（x）由最大值，也即 V（x）有最大值此时四棱锥 SEFGH 的表面积为解法二：当且仅当 x4 时，体积取最大值，第 18 页（共 20 页）此时四棱锥 SEFGH 的表面积为【点评】本题考查四棱锥体积、四棱锥 SEFGH 的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （12 分）已知两定点 M（1，0），N（4，0）点 P 满足|PN|2|PM| （

30、1）求点 P 的轨迹 C 的方程；（2）若 D（0，2），直线 l 与轨迹 C 交于 A，B 两点，DA，DB 的斜率之和为 2，直线 l 是否恒过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由【分析】（1）设 P 的坐标为（x，y），列出方程转化求解即可（2）当直线 l 的斜率不存在时，验证直线 l 与圆相切，不合题意当直线 l 的斜率存在时，设 A（x1，y1），B（x2，y2），直线 l 的方程为 ykx+m，与轨迹 C 联立得（1+k2）x2+2kmx+m240，结合韦达定理，斜率关系，求出直线系方程，然后求解即可【解答】解：（1）设 P 的坐标为（x

31、，y），由题意得，化简得：x2+y24 （2）当直线 l 的斜率不存在时，设 A（x0，y0），B（x0，y0）则有，得 x02，此时直线 l 与圆相切，不合题意当直线 l 的斜率存在时，设 A （x1， y1）， B （x2， y2），直线 l 的方程为 ykx+m，与轨迹 C 联立得（1+k2） x2+2kmx+m2 40，第 19 页（共 20 页），所以，所以 m2k+2，所以直线 l 的方程为 yk（x2）+2，所以直线 l 过定点（2，2）【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题 2

32、2 （12 分）已知函数 f（x）axxlnx，（aR）的最大值为 1 （1）求 a 的值；（2）证明：f（x）e 2x+2x2 【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数可判断函数的单调性，进而可求函数的最大值，即可求解；（2）法一：欲证 f （x） e 2x+2x2，即证明 e2x+2x2xxlnx，构造函数 h （x） e2x+2x2 x+xlnx，转化为求解 h（x）的最值，结合导数可求；法二：欲证 f（x）e 2x+2x2，即证明 e2x+2x2xxlnx，分别构造函数 g（x）e2x+x2， h（x）x2+xxlnx，转化为求解函数 g（x），h（x）的最值，结

33、合导数可求【解答】解：（1）由题意 x0，f（x）a1lnxf（x）a1lnx0xea 10，故当 x（0，ea 1）时，f（x）0，当 x（ea1，+）时，f（x）0，所以函数 f（x）在 x（0，ea 1）上单调递增，函数 f（x）在 x（ea1，+）上单调递减；所以 f（x）在 xea 1 处取到最大值，即 f（ea 1）1，所以 a1，（2）解法一：欲证 f（x）e 2x+2x2，即证明 e2x+2x2xxlnx，令 h（x）e 2x+2x2x+xlnx，则 h（x）2e 2x+4x+lnx，，所以 h（x）为增函数，又 h（1）2e 2+40，，所以存在，所

34、以 h（x）h（x0），第 20 页（共 20 页）由 h（x0）0 得，设 g（x）2ex+x，则 g（x）2ex+10，所以 g（x）为增函数，所以，所以，即 h（x）0，即 f（x）e 2x+2x2 解法二：欲证 f（x）e 2x+2x2，即证明 e2x+2x2xxlnx，设 g（x）e 2x+x2，h（x）x2+xxlnx，则 g（x）2e 2x+2x，因 g（x）为增函数，g（1）2e 2+20，，得 g（x）在区间上存在唯一零点 x0，此时， g（x）在 xx0时，有最小值， h（x）2xlnx，因 h（x）为减函数，h（1）20h（1）20，，得 h（x）在区间上存在唯一零点 x1，此时 lnx1 2x1，所以，即 h （ x ）在 x1 x0时，有最大值所以 g（x）g（x0）h（x0）h（x），即 f（x）e 2x+2x2 【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的最值，证明不等式，其中不等式的证明关键是构造函数，转化为求解函数的最值