2020年福建省南平市高考数学一模试卷（理科）含详细解答

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1、设集合 Ax|x23x0，Bx|log2x0，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|0x2 Cx|0x3 Dx|0x1 2 （5 分）在复平面内，复数对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 （5 分）已知命题 p：xR，sinx+cosx2则p 为（ ） Ax0R，sinx0+cosx02 BxR，sinx+cosx2 CxR，sinx+cosx2 Dx0R，sinx0+cosx02 4 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递减的函数是（ ） Ay2x2 x Byxtanx Cyxsinx D 5 （5 分）已知函数，则函数 yf（x）的图象大致为（

2、） A B C D 6 （5 分）从区间0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn构成 n 个数对（x1， y1） ， （x2，y2）（xn，yn） ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟 的方法得到的圆周率 的近似值为（ ） A B C D 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） 第 2 页（共 23 页） A5 B6 C7 D8 8 （5 分）已知非零向量 ， 满足，则向量 ， 的 夹角为（ ） A B C D 9 （5 分）设抛物线 C：x24y 焦点为 F，直线 ykx+2 与 C 交于 A，B 两点，且|AF|BF| 25，

3、则 k 的值为（ ） A2 B1 C1 D2 10 （5 分）已知函数给出下列三个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 函数 f（x）在区间上是增函数； 函数 f（x）的图象关于点对称 其中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 11 （5 分）设数列an满足 an+1an2（n+1） ，a12，则数列（1）nan的前 200 项和 是（ ） 第 3 页（共 23 页） A20100 B20200 C40200 D40400 12 （5 分）在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 AA1，BC 的中点，点 M 在棱 B1C1上，若平面 FEM 交 A1B

4、1于点 N，四棱锥 NBDD1B1的五 个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）函数 f（x）xlnx 的单调递减区间为 14 （5 分）将 5 名志愿者分派到 2 个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排 2 人 参加活动，则不同的分派方案共有 种； （用数字作答） 15 （5 分）设an是公差不为零的等差数列，a4是 a2与 a8的等比中项，a3+a720，则 an ； 16 （5 分）双曲线 C：的左、右焦点分别是 F1，F2，若双曲线 上存在点 P 满足，则

5、双曲线离心率的取值范围为 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分） 锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 设 （1）求 C； （2）若 3sinA4sinB，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，平面 SBD平面 ABCD，CB CD2，BCD120 （1）求证：ACSB； （2）若 M 为线段 BD 上的一点，SMBD，求平面 ABS 与平面 BCS 所成锐二面角的余弦值 第 4 页（共 23 页） 19 （12 分）已知椭圆 C：的长

6、轴长是离心率的两倍，直线 l：4x 4y+30交 C 于 A，B 两点，且 AB 的中点横坐标为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上的点，O 为坐标原点，且满足，求证：OM， ON 斜率的平方之积是定值 20 （12 分）已知函数，g（x）ex1 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）f（x）在（0，+）上恒成立，求 a 的取值范围 21 （12 分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时 间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付” 现 统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用 x 表示

7、活动推出的天数，y 表示每 天使用扫码支付的人次，统计数据如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 （1）根据散点图判断，在推广期内，扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程 适合用 ycdx来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次； （2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如表： 支付方式 现金 会员卡 扫码 比例 20% 50% 30% 商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 8 折优惠，扫码支 付的顾客随机优惠， 根据统计结果得知， 使用扫码支付的顾客， 享受 7

8、折优惠的概率为， 第 5 页（共 23 页） 享受 8 折优惠的概率为，享受 9 折优惠的概率为现有一名顾客购买了 a 元的商品， 根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费 用是多少？ 参考数据：设 vilgyi，100.523.31 参考公式：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所二题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 做第一个题目计分，作答时请用做第一个题目计

9、分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （10 分）在平面直角坐标系中 xOy，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐 标系，直线 l 的极坐标方程为cos（）1，曲线 C 的参数方程为： （ 为参数） ，A，B 为直线 l 上距离为 2 的两动点，点 P 为曲 线 C 上的动点且不在直线 l 上 （1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程 （2）求PAB 面积的最大值 23已知函数 f（x）|2x+t|，若 f（x）1 的解集为（1，0） （1）求 t 并解不等式 f（x）x+2； （2）已知：a，bR+

10、，若 f（x）2a+b|2x2|对一切实数都成立，求证：a2b1 第 6 页（共 23 页） 2020 年福建省南平市高考数学一模试卷（理科）年福建省南平市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 （5 分）设集合 Ax|x23x0，Bx|log2x0，则 AB（ ） Ax|1x3 Bx|0x2 Cx|0x3 Dx|0x1 【分析】求出集合 A，B，由此能求出 AB 【解答】解：集

11、合 Ax|x23x0x|0x3， Bx|log2x0x|x1， ABx|1x3 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础 题 2 （5 分）在复平面内，复数对应的点在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【分析】利用复数代数形式的乘除运算求出复数在复平面内对应的的坐标得答案 【解答】解：， 复数对应的点的坐标为（1，） ，在第三象限 故选：C 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是 基础题 3 （5 分）已知命题 p：xR，sinx+cosx2则p 为（ ） Ax0R，sinx0+cosx02

12、 BxR，sinx+cosx2 CxR，sinx+cosx2 Dx0R，sinx0+cosx02 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出p 即可 【解答】解：命题 p：xR，sinx+cosx2 则p 为：x0R，sinx0+cosx02 第 7 页（共 23 页） 故选：D 【点评】本题考查了全称命题的否定是特称命题问题，是基础题 4 （5 分）下列函数中，既是奇函数又在（0，+）单调递减的函数是（ ） Ay2x2 x Byxtanx Cyxsinx D 【分析】可看出选项 A 的函数在（0，+）上是增函数，选项 B 的函数是偶函数，根据 导数符号可判断选项 C 的函数在（0，+）上是增

13、函数，从而得出选项 A，B，C 都错误， 只能选 D 【解答】解：Ay2x2 x 在（0，+）上单调递增，该选项错误； Byxtanx 是偶函数，该选项错误； Cy1cosx0，yxsinx 在（0，+）上是增函数，该选项错误； D.是奇函数，且和 y2x 在（0，+）上都是减函数，在（0， +）上单调递减，该选项正确 故选：D 【点评】本题考查了奇函数、偶函数、增函数和减函数的定义及判断，根据导数符号判 断函数的单调性的方法，考查了计算和推理能力，属于基础题 5 （5 分）已知函数，则函数 yf（x）的图象大致为（ ） A B C D 【分析】根据题意，分析可得 f（x）为偶函数，排除 A、

14、D，进而可得当 0x 时，f （x）0，排除 B，即可得答案 【解答】解：根据题意：函数，其定义域为 R， 有 f（x）sin（x）sinxf（x） ，即函数为偶函数，排除 A、D； 又由当 0x 时，sinx0，x0，则 f（x）sinx0，排除 B， 故选：C 第 8 页（共 23 页） 【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与函数符号的分析，属于基础题 6 （5 分）从区间0，1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn构成 n 个数对（x1， y1） ， （x2，y2）（xn，yn） ，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟 的方法得到的圆周

15、率 的近似值为（ ） A B C D 【分析】以面积为测度，建立方程，即可求出圆周率 的近似值 【解答】解：由题意，两数的平方和小于 1，对应的区域的面积为12，从区间0，1】 随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n 个数对（x1，y1） ， （x2，y2） ， （xn，yn） ，对应的区域的面积为 12 故选：C 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事 件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、 面积和体积的比值得到 7 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） 第 9 页（共 2

16、3 页） A5 B6 C7 D8 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 S 的值，模拟程 序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案 【解答】解：由题意可得 s0+（1）12+（1）222+（1）323+ 当 i4 时，s11， 当 i5 时，s2110， 所以 i5， 故选：A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 8 （5 分）已知非零向量 ， 满足，则向量 ， 的 夹角为（ ） A B C D 【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，即可求出向量 ， 的夹 角大小 第 10

17、 页（共 23 页） 【解答】解：设向量 ， 的夹角为 ，0， 非零向量 ， 满足， 16 220，即 4| | |； ，则| | |cos， cos， ， 故选：B 【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档题 9 （5 分）设抛物线 C：x24y 焦点为 F，直线 ykx+2 与 C 交于 A，B 两点，且|AF|BF| 25，则 k 的值为（ ） A2 B1 C1 D2 【分析】直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，由抛物线的性质可得到焦点的距 离转化为到准线的距离，求出|AF|BF|的值，由题意可得方程，进而求出 k 的值 【解答】解：设 A（x，y）

18、，B（x，y） ，联立直线与抛物线的方程：，整理得： x24kx80，x+x4k，xx8， 由题意知；抛物线的准线方程为：y1， 由抛物线的性质可得|AF|y+1，|BF|y+1， 所以|AF|BF|（y+1） （y+1）（kx+3） （kx+3）k2xx+3k（x+x）+98k2+12k2+9 4k2+9， 而|AF|BF|25，所以 4k2+925，解得 k2， 故选：A 【点评】考查直线与抛物线的综合，属于中档题 10 （5 分）已知函数给出下列三个结论： 函数 f（x）的最小正周期是 ； 第 11 页（共 23 页） 函数 f（x）在区间上是增函数； 函数 f（x）的图象关于点对称 其

19、中正确结论的个数是（ ） A0 B1 C2 D3 【分析】先对已知函数进行化简，然后结合余弦函对称性，周期及单调性分别对选项进 行判断 【解答】解：因为2sinxcosx， cos2xsin2x， 根据周期公式可知 T，正确； 由余弦函数的性质可知，f（x）在区间上是减函数，错误； 当 x时，f（x）取得函数值，为最大值，故 x为函数的对称轴，不符 合对称中心的条件，错误 故选：B 【点评】本题以命题的真假判断为载体，主要考查了余弦函数的周期，对称性及单调性 等性质的应用 11 （5 分）设数列an满足 an+1an2（n+1） ，a12，则数列（1）nan的前 200 项和 是（ ） A20

20、100 B20200 C40200 D40400 【分析】由数列的恒等式：ana1+（a2a1）+（anan1） ，结合等差数列的求和公 式，计算可得所求和 【解答】解：an+1an2（n+1） ，a12， 可得 ana1+（a2a1）+（anan1）2+4+6+2nn（2+2n）n（n+1） ， （1）nan（1）nn（n+1） ， 数列（1）nan的前 200 项和为12+2334+4556+199200+200 201 2（2+4+200）210020220200， 第 12 页（共 23 页） 故选：B 【点评】本题考查数列的恒等式和等差数列的求和公式的运用，考查化简运算能力，属 于中

21、档题 12 （5 分）在棱长为 4 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F 分别为 AA1，BC 的中点，点 M 在棱 B1C1上，若平面 FEM 交 A1B1于点 N，四棱锥 NBDD1B1的五 个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为（ ） A B C D 【分析】由题意把平面 MFE 扩展，找出其与侧棱交点的数据，再根据三棱柱外接球心的 找法，求出外接球的半径 【解答】解：作 MPBC，tanMFP4，取 AQ0.5，则 tanEGQ4，则 EQMF， 延长 QE 交补出的正方体于点 S，则 AQA1S0.5， 连接 MS 交 A1B1于点 T，则 T 点即为点 N， 则，则，

22、则， 因为平面 D1TM平面 B1D1DB，则可将四棱锥 NBDD1B1可补成三棱柱， 取其外接球球心 O，作 OH底面，设MTD1外接圆的半径为 r， 则，解得，且 OH2， 则 故选：A 第 13 页（共 23 页） 【点评】本题考查补形法，考查直三棱柱外接球的半径求解问题，属压轴题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 （5 分）函数 f（x）xlnx 的单调递减区间为 （0， 【分析】求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于 0 求出 x 的范围， 写出区间形式即得到函数 yxlnx 的单调递减区间 【解答】解：函数的定义域

23、为 x0 ylnx+1 令 lnx+10 得 0x， 函数 yxlnx 的单调递减区间是（ 0， 故答案为（0， 【点评】本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于 0 求出 x 的 范围为单调递增区间；令导函数小于 0 求出 x 的范围为单调递减区间；注意单调区间是 函数定义域的子集 14 （5 分）将 5 名志愿者分派到 2 个不同社区参加公益活动，要求每个社区至少安排 2 人 参加活动，则不同的分派方案共有 20 种； （用数字作答） 【分析】根据题意，分 2 步进行分析：，将 5 名志愿者分成 2 组，一组 2 人，另一组 3 人，将分好的 2 组全排列，安排到 2 个

24、不同社区，由分步计数原理计算可得答案 【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析： ，将 5 名志愿者分成 2 组，一组 2 人，另一组 3 人，有 C5210 种分法； ，将分好的 2 组全排列，安排到 2 个不同社区，有 A222 种情况， 则有 10220 种不同的分法； 故答案为：20 【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 第 14 页（共 23 页） 15 （5 分）设an是公差不为零的等差数列，a4是 a2与 a8的等比中项，a3+a720，则 an 2n，nN* ； 【分析】an是公差 d 不为零的等差数列，运用等差数列的通项公式和等比数列的中项 性

25、质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式 【解答】解：an是公差 d 不为零的等差数列，a4是 a2与 a8的等比中项， 可得 a42a2a8，即（a1+3d）2（a1+d） （a1+7d） ，化为 da1， a3+a720 即 2a1+8d20，即有 a1+4d10， 解得 a1d2， 则 an2+2（n1）2n， 故答案为：2n，nN* 【点评】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能 力，属于基础题 16 （5 分）双曲线 C：的左、右焦点分别是 F1，F2，若双曲线 上存在点 P 满足，则双曲线离心率的取值范围为 ，+） 【 分 析 】 设 |PF1|

26、 r1， |PF2| r2， 由 已 知 向 量 等 式 结 合 余 弦 定 理 可 得 ， 由双曲线的定义可得， 结合 r1+r22c， 得，联立解可求得双曲线离心率的取值范围 【解答】解：设|PF1|r1，|PF2|r2， 则由，得， 再由余弦定理可得：， 即， 又由双曲线的定义可得|r1r2|2a，即， 又 r1+r22c，即， +得：，将代入可得，4c24a22a2+2c2， 即 c23a2，则 e 第 15 页（共 23 页） 双曲线离心率的取值范围为，+） 故答案为：，+） 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

27、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（12 分） 锐角ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 设 （1）求 C； （2）若 3sinA4sinB，且ABC 的面积为，求ABC 的周长 【分析】 （1）结合余弦定理对已知进行化简可求 sinC，进而可求 C， （2）由已知结合正弦定理及三角形的面积公式可求 a，b，然后利用余弦定理可求 c，即 可求解周长 【解答】解： （1）， 2abcosCtanCab，即 sinC， 由已知可知，C 为锐角，故 C， （2）因为 3sinA4sinB，由正弦定理可得 3a4b， 由三角形的面积公式可得，3， 解可得

28、，a4，b3， 由余弦定理可得，c2a2+b22abcosC16+9213， 所以 c，三角形的周长 7+ 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应 用，属于基础试题 18 （12 分）如图，在四棱锥 SABCD 中，平面 SBD平面 ABCD，CB CD2，BCD120 （1）求证：ACSB； （2）若 M 为线段 BD 上的一点，SMBD，求平面 ABS 与平面 BCS 所成锐二面角的余弦值 第 16 页（共 23 页） 【分析】 （1）设 ACBD 于 P，推导出ACDBCD，从而ACBACD60， 推导出 ACBD，从而 AC平面 SBD，由此能证明

29、 ACSB （2）推导出 SM平面 ABCD，以 P 为原点，以射线 PA，PB，PQ 为 x，y，z 轴，建立 空间直角坐标系，利用向量法能求出平面 ABS 与平面 BCS 所成锐二面角的余弦值 【解答】解： （1）证明：设 ACBD 于 P，ADAB，CBCD，ACDBCD， ACBACD60， 在BCD 中，CBCD，且ACBACD60，CPBD，ACBD， 平面 SBD平面 ABCD，平面 SBD平面 ABCDBD，AC平面 ABCD， AC平面 SBD， SB平面 SBD，ACSB （2）平面 SBD平面 ABCD，平面 SBD平面 ABCD，平面 SBD平面 ABCDBD， SM平

30、面 SAB，SMBD，SM平面 ABCD， 以 P 为原点，以射线 PA，PB，PQ 为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 A（3，0，0） ，B（0，0） ，S（0，） ，C（1，0，0） ， （0，） ，（3，0） ，（1，0） ， 设平面 ASB 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 x1，得 （1，） ， 设平面 SBC 的法向量 （x，y，z） ， 则，取 y1，得 （，1，1） ， 第 17 页（共 23 页） 设平面 ABS 与平面 BCS 所成锐二面角的平面角为 ， 则平面 ABS 与平面 BCS 所成锐二面角的余弦值为：cos 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面

31、角的余弦值的求法，考查空间中线线、线 面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （12 分）已知椭圆 C：的长轴长是离心率的两倍，直线 l：4x 4y+30交 C 于 A，B 两点，且 AB 的中点横坐标为 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若 M，N 是椭圆 C 上的点，O 为坐标原点，且满足，求证：OM， ON 斜率的平方之积是定值 【分析】 （1）由椭圆的离心率公式可得 ca2，联立直线 l 和椭圆方程，运用韦达定理和 中点坐标公式可得 b2a2a2c2，解方程可得 a，b，c，进而得到所求椭圆方程； （2）设 M（m，n） ，N（s，t） ，代入椭圆方程，结合条

32、件，运用两点的距离公式以及直 线的斜率公式，化简整理，变形即可得到定值 【解答】解： （1）椭圆 C：的长轴长是离心率的两倍，可得 2a 2e，即 ca2， 直线 l：4x4y+30 与椭圆方程联立，可得（b2+a2）x2+a2x+a2a2b20， 可得 x1+x21，即 b2a2a2c2， 第 18 页（共 23 页） 解得 c，a，b， 则椭圆方程为 2x2+4y21； （2）证明：设 M（m，n） ，N（s，t） ，可得 2m2+4n21，2s2+4t21， 相加可得 m2+s2+2（n2+t2）1， ，即 m2+n2+s2+t2， 可得 n2+t2， 即有 2m2+4n214n2+4t

33、2，即为 m22t2， 2s2+4t214n2+4t2，即为 s22n2， 可得 OM，ON 斜率的平方之积为即为定值 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及 点满足椭圆方程和直线的斜率公式，考查化简整理的转化思想、运算能力，属于中档题 20 （12 分）已知函数，g（x）ex1 （1）求 f（x）的单调区间； （2）若 g（x）f（x）在（0，+）上恒成立，求 a 的取值范围 【分析】 （1）对 f（x）求导，判断函数的单调性即可； （2）根据题意，参数分离得 axexxlnx，令 h（x）xexxlnx，求出函数 h（x） 的最小值，得到 a 的取值范

34、围即可 【解答】解： （1）f（x），x0， 当 x（0，e1 a）时，f（x）0， 当 x（e1 a，+）时，f（x）0， 故 f（x）的单调递增区间为（0，e1 a） ，单调递减区间为（e1a，+） ； （2）由 g（x）f（x）在（0，+）上恒成立，得， 参数分离得 axexxlnx，令 h（x）xexxlnx， 则 h（x）ex+xex1（x+1） （） ，x0， 设 y，y 在（0，+）递增，又 y（）20，y（1）e10， 第 19 页（共 23 页） 所以存在 m（，1）使得 y（m）0，即， 当 x（0，m）时，h（x）0，h（x）在（0，m）单调递减； 当 x（m，+）时，h

35、（x）0，h（x）在（m，+）单调递增； 所以 h（x）minh（m）memmlnm1m+m1， 所以 a 的取值范围时（，1 【点评】考查函数的单调性的判断，导数法在不等式恒成立问题中的应用，中档题 21 （12 分）某购物商场分别推出支付宝和微信“扫码支付”购物活动，活动设置了一段时 间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用“扫码支付” 现 统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用 x 表示活动推出的天数，y 表示每 天使用扫码支付的人次，统计数据如表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 （1）根据散点图判断，

36、在推广期内，扫码支付的人次 y 关于活动推出天数 x 的回归方程 适合用 ycdx来表示，求出该回归方程，并预测活动推出第 8 天使用扫码支付的人次； （2）推广期结束后，商场对顾客的支付方式进行统计，结果如表： 支付方式 现金 会员卡 扫码 比例 20% 50% 30% 商场规定：使用现金支付的顾客无优惠，使用会员卡支付的顾客享受 8 折优惠，扫码支 付的顾客随机优惠， 根据统计结果得知， 使用扫码支付的顾客， 享受 7 折优惠的概率为， 享受 8 折优惠的概率为，享受 9 折优惠的概率为现有一名顾客购买了 a 元的商品， 根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付

37、的平均费 用是多少？ 参考数据：设 vilgyi，100.523.31 参考公式：对于一组数据（u1，v1） ， （u2，v2） ， （un，vn） ，其回归直线 第 20 页（共 23 页） 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【分析】 （1）根据散点图判断 ycdx适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型， 利用两边同时取常用对数，求出线性回归方程，再化为 y 关于 x 的回归方程，计算 x8 时 y 的值； （2）记购物支付费用为 Z，知 Z 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数 学期望值 【解答】解： （1）根据题意画出散点图如下， 根据散点图判断，ycdx适宜作为扫码

38、支付的人数 y 关于活动推出天数 x 的回归方程类 型； 因为 ycdx，两边同时取常用对数得：lgylg（cdx）lgc+lgdx； 设 lgyu，vlgc+lgdx； 又 （1+2+3+4+5+6+7）4， vi1.52，140； ，所以0.25， 使用 lg 0.25； 把样本中心点（4，1.52）代入 vlgc+lgdx，得：c1.520.2540.52， 所以 0.52+0.25x，即 lg 0.52+0.25x， 所以 y 关于 x 的回归方程式为： 100.52+0.25x100.52100.25x3.31100.25x； 把 x8 代入上式得， 3.31102331； 预测活动

39、推出第 8 天使用扫码支付的人次为 331（人） ； （2）记一名顾客支付的费用为 Z，则 Z 的取值可能为：a，0.8a，0.9a，0.7a； 则 P（Za）0.2， P（Z0.8a）0.3+0.50.60， 第 21 页（共 23 页） P（Z0.9a）0.30.15， P（Z0.7a）0.30.05； Z 的分布列为： Z a 0.8a 0.9 a 0.7a P 0.2 0.6 0.15 0.05 所以一名顾客支付的平均费用为：E（Z）a0.2+0.8a0.6+0.9a0.15+0.7a0.05 0.85a（元） 【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了离散型随机变量的分

40、布 列与数学期望计算问题，是中档题 请考生在第请考生在第 22、23 二题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所二题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所 做第一个题目计分，作答时请用做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 22 （10 分）在平面直角坐标系中 xOy，以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐 标系，直线 l 的极坐标方程为cos（）1，曲线 C 的参数方程为： （ 为参数） ，A，B 为直线 l 上距离为 2 的两动点，点 P 为曲 线 C 上的动点且不在直线 l

41、 上 （1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程 （2）求PAB 面积的最大值 【分析】 （1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进 行转换 （2） 利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质 的应用及三角形的面积公式的应用求出结果 第 22 页（共 23 页） 【解答】解： （1）直线 l 的极坐标方程为cos（）1，转换为直角坐标方程为 ，即 x+y10 曲 线C的 参 数 方 程 为 ：（ 为 参 数 ）， 整 理 得 ，转换为直角坐标方程为， 化简得： （ 2 ） 设 曲 线 C 上 点 P （） ， 到 直 线 l

42、 的 距 离 d ， 当 sin（+）1 时， 所以 【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到 直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力 及思维能力，属于基础题型 23已知函数 f（x）|2x+t|，若 f（x）1 的解集为（1，0） （1）求 t 并解不等式 f（x）x+2； （2）已知：a，bR+，若 f（x）2a+b|2x2|对一切实数都成立，求证：a2b1 【分析】 （1）不等式 f（x）1 为|2x+t|1，求出解集得 t 的值，再求不等式 f（x）x+2 的解集； （2）不等式 f（x）2a+b|2x2|对一切

43、实数都成立，得出|2x+1|+|2x2|2a+b 对一切 实数都成立； 设 g（x）|2x+1|+|2x2|，求出 g（x）的最小值，得出 2a+b3，利用基本不等式得出 2a+b3， 从而证明 a2b1 【解答】解： （1）函数 f（x）|2x+t|， 则 f（x）1 为|2x+t|1， 第 23 页（共 23 页） 解得x； 又 f（x）1 的解集为（1，0） ， 即，解得 t1； 所以不等式 f（x）x+2 为|2x+1|x+2； 当 x+20，x2 时，不等式恒成立； 当 x+20，x2 时，不等式化为（2x+1）2（x+2）2， 化简得 x21，解得 x1 或 x1；即2x1 或 x1； 综上知，不等式 f（x）x+2 的解集为x|x1 或 x1； （2）证明：不等式 f（x）2a+b|2x2|对一切实数都成立， 即|2x+1|2a+b|2x2|对一切实数都成立； 即|2x+1|+|2x2|2a+b 对一切实数都成立； 设 g（x）|2x+1|+|2x2|，xR， 则 g（x）|（2x+1）（2x2）|3，当且仅当x1 时取等号； 所以 2a+b3； 又 a、bR+，且 2a+ba+a+b33， 当且仅当 ab 时取等号， 即 33， 所以 a2b1 【点评】本题考查了含有绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题， 是中档题