2019-2020学年山东省青岛市即墨区重点高中高一（上）期中数学试卷（含详细解答）

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1、已知全集 U0，1，2，3且UA0，2，则集合 A 的真子集共有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 2 （5 分）命题“x1，x+ex2”的否定形式是（ ） Ax1，x+ex2 Bx1，x+ex2 Cx1，x+ex2 Dx1，x+ex2 3 （5 分）计算的值为（ ） A B C2 D1 4 （5 分）alog0.76，b60.7，c0.70.6，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Cbac Dbca 5 （5 分）函数 y（x2+x+6）的单调增区间为（ ） A B C （2，3） D 6 （5 分）已知函数 g（）x+46，则 g（x）的最小值是（ ） A6

2、 B8 C9 D10 7 （5 分）已知幂函数 f（x）xa的图象经过函数 g（x）ax 2 （a0 且 a1）的图 象所过的定点，则幂函数 f（x）不具有的特性是（ ） A在定义域内有单调递减区间 B图象过定点（1，1） C是奇函数 D其定义域是 R 8 （5 分）一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂 5 年来某种产品 的总产量 y 与时间 x（年）的函数图象（如图） ，以下给出了关于该产品生产状况的几点 判断： 第 2 页（共 19 页） 前三年的年产量逐步增加； 前三年的年产量逐步减少； 后两年的年产量与第三年的年产量相同； 后两年均没有生产 其中正确判断的序号是（

3、） A B C D 9 （5 分）若 x，y 是正数，且，则 xy 有（ ） A最大值 36 B最小值 C最小值 36 D最大值 10 （5 分）已知函数 f（x）是定义在4，0）（0，4上的奇函数，当 x（0，4时，f （x）的图象如图所示，那么满足不等式 f（x）3x1 的 x 的取值范围是（ ） A1，0）（0，1 B4，2（0，1 C4，2 2，4 D1，0）2，4 11 （5 分）已知函数 yf（x+1）2 是奇函数，且 f（x）与 g（x）的图象 的交点为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x6，y6） ，则 x1+x2+x6+y1+y2+y6（ ） A0 B6 C12 D1

4、8 12 （5 分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以 其名命名的函数 f称为狄利克雷函数，则关于 f（x） ，下列说法 正确的是（ ） AxR，f（f（x） ）1 第 3 页（共 19 页） B函数 f（x）是偶函数 C任意一个非零有理数 T，f（x+T）f（x）对任意 xR 恒成立 D存在三个点 A（x1，f（x1） ，B（x2，f（x2） ，C（x3，f（x3） ，使得ABC 为等边三角 形 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）若函数 f（x）的定义域为 R，则实数

5、 k 的取值范围是 14 （5 分）定义在3，3上的奇函数 f（x） ，已知当 x0，3时，f（x）3x+a4x（aR） ， 则 f（x）在3，0上的解析式为 15 （5 分）某企业去年的年产量为 a，计划从今年起，每年的年产量比上年增加 b%，则第 x（xN*）年的年产量为 y 16 （5 分）若函数 f（x）同时满足：对于定义域上的任意 x，恒有 f（x）+f（x）0； 对于定义域上的任意 x1，x2，当 x1x2时，恒有0，则称函数 f（x） 为“理想函数” 给出下列四个函数中：； f（x）x； f（x） ； f（x），能被称为“理想函数”的有 （请将所有 正确命题的序号都填上） 三、解

6、答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知集合 Ax|a1x2a+3，Bx|2x4，全集 UR （1）当 a2 时，求 AB， （UA）（UB） ； （2）若 xA 是 xB 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 18 （12 分）已知函数 f（x）loga（1x）+loga（x+3） （0a1） （）求函数 f（x）的零点； （）若函数 f（x）的最小值为4，求 a 的值 19 （12 分）已知函数 f（x） （1）在给定的直角坐标系内直接画出 f（x）的图

7、象； （2）写出 f（x）的单调区间，并指出单调性（不要求证明） ； 第 4 页（共 19 页） （3）若函数 ytf（x）有两个不同的零点，求实数 t 的取值范围 20 （12 分）已知函数 f（x）（a 为实数） （1）当 a0 时，判断函数 f（x）的单调性，并用定义证明； （2）根据 a 的不同取值，讨论 f（x）的奇偶性，并说明理由 21 （12 分）某地草场出现火灾，火势正以每分钟 60m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报 立即派消防队员前去，在火灾发生后 5 分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每 人每分钟灭火 30m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟 80 元，

8、另附加 每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林损失 费为 30 元 （1）设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 t 与 x 的函数关系式； （2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？ （注：总损失费灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费） 22 （12 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx 满足 f（x1）f（x）+x1 （1）求 f（x）的解析式； （2）若 g（x）2f（x）+px 在2，4上单调，求 p 的取值范围； （3）设 F（x）4f（ax）+3a2x1（a0 且 a1） ，当 x1，1时，F（x）有最

9、大值 14，试求 a 的值 第 5 页（共 19 页） 2019-2020 学年山东省青岛市即墨区重点高中高一（上）期中数学年山东省青岛市即墨区重点高中高一（上）期中数 学试卷学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.其中其中 1-11 题为单选题，在每小题给题为单选题，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；第 12 题为多选题，在给出的四个选项中有题为多选题，在给出的四个选项中有 一项或多项正确，全部选对得一项或多项正确，全部

10、选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 3 分，选错得分，选错得 0 分分. 1 （5 分）已知全集 U0，1，2，3且UA0，2，则集合 A 的真子集共有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【分析】由补集概念求得 A，然后直接写出其真子集得答案 【解答】解：U0，1，2，3且UA0，2， 则集合 A1，3 集合 A 的真子集为，1，3共 3 个 故选：A 【点评】本题考查了补集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题 2 （5 分）命题“x1，x+ex2”的否定形式是（ ） Ax1，x+ex2 Bx1，x+ex2 Cx1，x+ex2 Dx1，x+ex2 【分析】直接利用特称命题的

11、否定是全称命题写出结果即可 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以： “x1，x+ex2”的否定是：x 1，x+ex2 故选：B 【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查，属 于基础题 3 （5 分）计算的值为（ ） A B C2 D1 【分析】结合指数与对数的运算性质即可求解 第 6 页（共 19 页） 【解答】解：， ， 1 故选：D 【点评】本题主要考查了指数与对数的运算性质的简单应用，属于基础试题 4 （5 分）alog0.76，b60.7，c0.70.6，则 a，b，c 的大小关系为（ ） Aabc Bcab Cbac Dbca 【分析】利用指数

12、式和对数式的性质，分别比较三个数与 0 或 1 的大小得答案 【解答】解：alog0.760，b60.71，0c0.70.60.701， bca 故选：D 【点评】本题考查对数值的大小比较，考查了指数函数与对数函数的单调性，是基础题 5 （5 分）函数 y（x2+x+6）的单调增区间为（ ） A B C （2，3） D 【分析】令 tx2+x+60，求得函数的定义域，且 y，本题即求函数 t 在（ 2，3）上的减区间再利用二次函数的性质可得结论 【解答】 解： 令 tx2+x+60， 则2x3， 故函数的定义域为 （2， 3） ， 且 y， 故本题即求函数 t 在（2，3）上的减区间 利用二次

13、函数的性质可得 tx2+x+60 在定义域（2，3）上的减区间为（，3） ， 故选：A 【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题 6 （5 分）已知函数 g（）x+46，则 g（x）的最小值是（ ） A6 B8 C9 D10 【分析】令 2+t（t2） ，求得 x，求出 g（t）t210，即为 g（x）的解析式，运 用二次函数的单调性，可得最小值 【解答】解：令 2+t（t2） ，则 x（t2）2， 第 7 页（共 19 页） g（t）（t2）2+4（t2）6t210， 即为 g（x）x210，x2，为递增函数， 即有 x2 时，取得最小值6 故选：A 【点评

14、】本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和二次函数的单调性，考查运算 能力，属于中档题 7 （5 分）已知幂函数 f（x）xa的图象经过函数 g（x）ax 2 （a0 且 a1）的图 象所过的定点，则幂函数 f（x）不具有的特性是（ ） A在定义域内有单调递减区间 B图象过定点（1，1） C是奇函数 D其定义域是 R 【分析】可令 x20，求得 g（x）的图象恒过的定点，可得 f（x）的解析式，即可得 到所求结论 【解答】解：由 x20，即 x2，可得 g（2）1， 函数 g（x）ax 2 （a0 且 a1）的图象所过的定点（2，） ， 则 2a，解得 a1， 则 f（x）， 定义域为x|x

15、0， 则减区间为（，0） ， （0，+） ， 图象经过定点（1，1） ，且为奇函数， D 不正确 故选：D 【点评】本题考查指数函数的图象的特点，考查幂函数的图象和性质，考查运算能力， 属于基础题 8 （5 分）一次社会实践活动中，数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂 5 年来某种产品 的总产量 y 与时间 x（年）的函数图象（如图） ，以下给出了关于该产品生产状况的几点 判断： 第 8 页（共 19 页） 前三年的年产量逐步增加； 前三年的年产量逐步减少； 后两年的年产量与第三年的年产量相同； 后两年均没有生产 其中正确判断的序号是（ ） A B C D 【分析】利用该厂 5 年来某种产品的

16、总产量 y 与时间 x（年）的函数图象直接求解 【解答】解：由该厂 5 年来某种产品的总产量 y 与时间 x（年）的函数图象，得： 前三年的年产量逐步减少，故错误，正确； 后两年均没有生产，故错误，正确 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查该厂 5 年来某种产品的总产量 y 与时间 x（年） 的函数图象的性质等基础知识，考查数形结合思想，是基础题 9 （5 分）若 x，y 是正数，且，则 xy 有（ ） A最大值 36 B最小值 C最小值 36 D最大值 【分析】法一、直接运用基本不等式可得所求最小值；法二、利用，将 xy 连乘 两次即可化为，再结合基本不等式求出最值即可 【解答】解

17、： （法一）122，所以 xy36，当且仅当 x9y18 时取等，所以有最小值 36， （法二）因为1，所以 xyxy（）9y+x， 进而 xy（9y+x） （）18+236， 当仅当 x9y18 时取等，故 xy 有最小值 36 故选：C 第 9 页（共 19 页） 【点评】本题考查基本不等式及其应用，属于中档题 10 （5 分）已知函数 f（x）是定义在4，0）（0，4上的奇函数，当 x（0，4时，f （x）的图象如图所示，那么满足不等式 f（x）3x1 的 x 的取值范围是（ ） A1，0）（0，1 B4，2（0，1 C4，2 2，4 D1，0）2，4 【分析】利用函数的奇偶性画出 f（

18、x）的图象，将不等关系转化为图象的上下位置关系， 得到解集 【解答】解：f（x）为4，0）（0，4上的奇函数， 如图，画出 f（x）在4，0）的图象，得点（2，） 、点（1，2）在 f（x）上 画出 y3x1 的图象， 得到其渐近线为 y1， 且在第一象限与 f （x） 的图象交点为 （1， 2） ， 要解不等式 f（x）3x1，则结合图象，需 f（x）的图象在 y3x1 图象的上方， 从而解得：x4，2（0，1 故选：B 【点评】本题属于基础题，考察函数的奇偶性和指数函数的图象，能够将 f（x）3x1 第 10 页（共 19 页） 转化为 f（x）的图象在 y3x1 图象的上方是解题的关键

19、11 （5 分）已知函数 yf（x+1）2 是奇函数，且 f（x）与 g（x）的图象 的交点为（x1，y1） ， （x2，y2） ， （x6，y6） ，则 x1+x2+x6+y1+y2+y6（ ） A0 B6 C12 D18 【分析】分别判断函数 f（x）与 g（x）的对称性，结合函数的对称性进行求解即可 【解答】解：因为函数 yf（x+1）2 为奇函数， 所以函数 f（x）的图象关于点（1，2）对称， 关于点（1，2）对称， 所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称， 则（x1+x2+x6）+（y1+y2+y6）23+4318， 故选：D 【点评】本题主要考查函数对称性的应用，结合函数奇

20、偶性以及分式函数的性质求出函 数的对称性是解决本题的关键 12 （5 分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以 其名命名的函数 f称为狄利克雷函数，则关于 f（x） ，下列说法 正确的是（ ） AxR，f（f（x） ）1 B函数 f（x）是偶函数 C任意一个非零有理数 T，f（x+T）f（x）对任意 xR 恒成立 D存在三个点 A（x1，f（x1） ，B（x2，f（x2） ，C（x3，f（x3） ，使得ABC 为等边三角 形 【分析】A，根据函数的对应法则，可得不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f（x） ） 1，即可判断； B，根据函数奇偶性的定义，可得

21、f（x）是偶函数，即可判断； C，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质和周期函数的定义，可判断； D，取 x1，x20，x3，可得 A（，0） ，B（0，1） ，C（，0） ，三 点恰好构成等边三角形，即可判断 【解答】解：对于 A，当 x 为有理数时，f（x）1；当 x 为无理数时，f（x）0， 第 11 页（共 19 页） 当 x 为有理数时，f（f（x） ）f（1）1；当 x 为无理数时，f（f（x） ）f（0）1， 即不管 x 是有理数还是无理数，均有 f（f（x） ）1，故 A 正确； 对于 B，有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， 可得对任意 xR，都有 f（

22、x）f（x） ，f（x）为偶函数，故 B 正确； 对于 C，由于非零有理数 T，若 x 是有理数，则 x+T 是有理数； 若 x 是无理数，则 x+T 也是无理数， 根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数 T，f（x+T）f（x）对 xR 恒成立，故 C 正确； 对于 D，取 x1，x20，x3，可得 f（x1）0，f（x2）1，f（x3）0， A（，0） ，B（0，1） ，C（，0） ，恰好ABC 为等边三角形，故 D 正确 故选：ABCD 【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性和周期性，同时考查 了有理数、无理数的性质和分类讨论思想，属于中档题 二、填空题（本大题共二

23、、填空题（本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.） 13 （5 分）若函数 f（x）的定义域为 R，则实数 k 的取值范围是 ， 1 【分析】根据函数的定义域为 R，转化为 x26kx+k+80 恒成立即可得到结论 【解答】解：函数 f（x）的定义域为 R， x26kx+k+80 恒成立， 即判别式36k24（k+8）0， 即 9k2k80， 解得k1， 故答案为：，1 【点评】本题主要考查函数定义域的应用，将条件进行转化是解决本题的关键 14 （5 分）定义在3，3上的奇函数 f（x） ，已知当 x0，3时，f（x）3x+a4x（aR） ， 则 f（x）在

24、3，0上的解析式为 f（x）4 x3x 【分析】直接利用奇函数的性质，f（0）0，解得 a 的值，进一步求出函数的关系式 【解答】解：义在3，3上的奇函数 f（x） ，已知当 x0，3时，f（x）3x+a4x（aR） ， 第 12 页（共 19 页） 当 x0 时，f（0）0，解得 1+a0，所以 a1 故当 x0，3时，f（x）3x4x 当3x0 时，0x3，所以 f（x）3 x4x， 由于函数为奇函数，故 f（x）f（x） ，所以 f（x）4 x3x， 故答案为：f（x）4 x3x 【点评】本题考查的知识要点：函数的关系式的求法，函数的性质的应用，主要考查学 生的运算能力和转换能力及思维能

25、力，属于基础题型 15 （5 分）某企业去年的年产量为 a，计划从今年起，每年的年产量比上年增加 b%，则第 x（xN*）年的年产量为 y a（1+b%）x（xN*） 【分析】年产量平均每年比上一年增加 b%，可以先算出第一年产量是 ya（1+b%） ， 根据计划年产量平均每年比上一年增加 b%， 可知年产量 y 是以 a （1+b%） 为首项，（1+b%） 为公比的等比数列，从而可以算出年产量随经过年数变化的函数关系 【解答】解：设年产量经过 x 年增加到 y 件， 第一年为 ya（1+b%） 第二年为 ya（1+b%） （1+b%）a（1+b%）2， 第三年为 ya（1+b%） （1+b%

26、） （1+b%）a（1+b%）3， 即年产量 y 是以 a（1+b%）为首项， （1+b%）为公比的等比数列 ya（1+b%）x（xN*） 故答案为：a（1+b%）x（xN*） 【点评】本题是年增长率问题，其模型是等比数列模型，解题时根据计划年产量平均每 年比上一年增加 b%，可知年产量 y 是以 a（1+b%）为首项， （1+b%）为公比的等比数列 是关键 16 （5 分）若函数 f（x）同时满足：对于定义域上的任意 x，恒有 f（x）+f（x）0； 对于定义域上的任意 x1，x2，当 x1x2时，恒有0，则称函数 f（x） 为“理想函数” 给出下列四个函数中：； f（x）x； f（x） 第

27、 13 页（共 19 页） ； f（x），能被称为“理想函数”的有 （请将所有 正确命题的序号都填上） 【分析】条件表示“理想”函数为奇函数；表示“理想”函数为减函数，接下来对 四个函数逐个判断是否为奇函数，是否为减函数 【解答】解：条件说明“理想”函数为奇函数；说明“理想”函数为减函数 函数为对勾函数，此函数是奇函数，但在整个定义域内不是减函数，故不 选； 函数是奇函数，但在整个定义域内是增函数，故不选； 函数， 函数为奇函数， 在定义域内为增函数，故不选； 函数，画出图象 可知 f（x）为奇函数，且为减函数， 故答案为： 【点评】本题考察常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题 三、解答题：本

28、大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）已知集合 Ax|a1x2a+3，Bx|2x4，全集 UR （1）当 a2 时，求 AB， （UA）（UB） ； （2）若 xA 是 xB 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围 第 14 页（共 19 页） 【分析】 （1）把 a2 代入 A 确定出 A，求出 AB 和（RA）（RB）即可； （2）由 xA 是 xB 成立的充分不必要条件，得到 A 为 B 的真子集，分 A 为空集与 A 不 为空集两种情况求出 a 的范围即可 【解

29、答】解： （1）当 a2 时，Ax|1x7， 则 ABx|1x4； RAx|x1 或 x7，UBx|x2 或 x4， （RA）（RB）x|x2 或 x7； （2）xA 是 xB 成立的充分不必要条件，AB， 若 A，则 a12a+3，解得 a4； 若 A，由 AB，得到，且 a12 与 2a+34 不同时取等号； 解得：1a， 综上：a 的取值范围是（，4）1， 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，属 于基础题 18 （12 分）已知函数 f（x）loga（1x）+loga（x+3） （0a1） （）求函数 f（x）的零点； （）若函数 f（x）的最小值为

30、4，求 a 的值 【分析】 （）求出函数的定义域，化简方程，然后求函数 f（x）的零点； （）利用复合函数通过 x 的范围，结合二次函数的性质，通过函数 f（x）的最小值为 4，求 a 的值 【解答】解： （）要使函数有意义：则有，解之得：3x1（2 分） 函数可化为 由 f（x）0，得x22x+31 即 x2+2x20，f（x）的零点是（5 分） （） 函数化为：， 第 15 页（共 19 页） 3x1， 0（x+1）2+44（7 分） 0a1， 即 f（x）minloga4 由 loga44，得 a 44， （10 分） 【点评】本题考查函数的最值的求法，二次函数的性质的应用，考查分析问题

31、解决问题 的能力 19 （12 分）已知函数 f（x） （1）在给定的直角坐标系内直接画出 f（x）的图象； （2）写出 f（x）的单调区间，并指出单调性（不要求证明） ； （3）若函数 ytf（x）有两个不同的零点，求实数 t 的取值范围 【分析】本题第（1）题根据二次函数及对数函数图象的平移即可画出图象；第（2）题 根据第（1）题中函数 f（x）大致图象即可判断单调区间及单调性；第（3）题根据第（1） 题中函数 f（x）大致图象考虑直线 yt 与 yf（x）交点情况即可得到实数 t 的取值范围 【解答】解： （1）由题意，函数 f（x）大致图象如下： 第 16 页（共 19 页） （2）根

32、据（1）中函数 f（x）大致图象，可知 函数 f（x）在1，0上单调递增，在0，2上单调递减，在2，5上单调递增 （3）根据（1）中函数 f（x）大致图象，可知 当 t1 时，直线 yt 与 yf（x）没有交点； 当 t1 时，直线 yt 与 yf（x）有 1 个交点； 当1t1 时，直线 yt 与 yf（x）有 2 个交点； 当 1t2 时，直线 yt 与 yf（x）有 1 个交点； 当 2t3 时，直线 yt 与 yf（x）有 2 个交点； 当 t3 时，直线 yt 与 yf（x）有 1 个交点； 当 t3 时，直线 yt 与 yf（x）没有交点 若函数 ytf（x）有两个不同的零点，实数

33、 t 的取值范围为： （1，12，3） 【点评】本题主要考查二次函数及对数函数图象的平移的画法，根据图象判断单调区间 及单调性的能力，直线与曲线交点的分类讨论本题属中档题 20 （12 分）已知函数 f（x）（a 为实数） （1）当 a0 时，判断函数 f（x）的单调性，并用定义证明； （2）根据 a 的不同取值，讨论 f（x）的奇偶性，并说明理由 【分析】 （1）a0 时，f（x），设 x1x2，进而判断 f（x1）与 f（x2）的关系求 解； （2）f（x），分类讨论 f（x）与 f（x）的关系，进而求解 第 17 页（共 19 页） 【解答】解： （1）a0 时，f（x），设 x1x2，

34、 f（x1）f（x2），x1x2，220， f（x1）f（x2）0， f（x）在定义域单调递增； （2）f（x）， 若 f（x）f（x） ，即 f（x）为偶函数，则 a1； 若 f（x）f（x） ，即为奇函数，则 a1； 若 f（x）f（x）且 f（x）f（x） ，即非奇非偶函数，则 a1 且 a1 【点评】考查定义法求函数的单调性，奇偶函数的定义及应用 21 （12 分）某地草场出现火灾，火势正以每分钟 60m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报 立即派消防队员前去，在火灾发生后 5 分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每 人每分钟灭火 30m2，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用为每人每分钟

35、 80 元，另附加 每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人 100 元，而烧毁一平方米森林损失 费为 30 元 （1）设派 x 名消防队员前去救火，用 t 分钟将火扑灭，试建立 t 与 x 的函数关系式； （2）问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？ （注：总损失费灭火劳务津贴+车辆、器械装备费+森林损失费） 【分析】 （1）根据救火面积列方程得出 t 关于 x 的函数； （2）求出总损失关于 x 的函数，判断函数单调性求出函数极小值点即可 【解答】解： （1）由题意可知：60（t+5）30xt， 即 t 由 30x60 可得 x2 故 t 关于 x 的函数为 t（x2 且

36、xN ） （2）设总损失费为 f（x） ，则 f（x）80xt+100x+3030xt， f（x）， 第 18 页（共 19 页） 令 f（x）0 可得 x16 或 x12（舍） ， 故当 2x16 时，f（x）0，当 x16 时，f（x）0， 当 x16 时，f（x）取得最小值 故派 16 名消防员前去救火，总损失费用最少 【点评】本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题 22 （12 分）已知二次函数 f（x）ax2+bx 满足 f（x1）f（x）+x1 （1）求 f（x）的解析式； （2）若 g（x）2f（x）+px 在2，4上单调，求 p 的取值范围； （3）设 F（x）

37、4f（ax）+3a2x1（a0 且 a1） ，当 x1，1时，F（x）有最大值 14，试求 a 的值 【分析】 （1）f（x）ax2+bx 满足 f（x1）f（x）+x1，a（x1）2+b（x1） ax2+bx+x1，即 ax2（2ab）x+abax2+（b+1）x1，利用系数相等求出； （2）g（x）2f（x）+px2（）+pxx2+（p1）x，x2，4上单调， 对称轴 x2，或者，求出； （3）F（x）4f（ax）+3a2x1a2x+2ax1， （a0 且 a1） ，当 x1，1时，令 t ax，F（x）t2+2t1（t+1）22，分类讨论求出 【解答】解： （1）f（x）ax2+bx 满

38、足 f（x1）f（x）+x1， a（x1）2+b（x1）ax2+bx+x1，即 ax2（2ab）x+abax2+（b+1）x1， 所以（2ab）b+1，ab1， 得 a， 所以 f（x） （2）因为 g（x）2f（x）+px2（）+pxx2+（p1）x，x2，4上 单调， 所以其对称轴 x2，或者， 所以 p7，或者 p3 （3）F（x）4f（ax）+3a2x1a2x+2ax1， （a0 且 a1） ， 当 x1，1时，令 tax，F（x）t2+2t1（t+1）22， 第 19 页（共 19 页） 当 a1 时，t，F（x）maxF（a）（a+1）2214，得 a3； 当 0a1 时，t，得 a 故 a3 或 【点评】考查了二次函数求解析式，含参的单调性问题，含参的二次函数最值问题，中 档题