2019-2020学年湖南省普通高中高三（上）学业水平模拟数学试卷（9月份）（二）含详细解答

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1、已知集合 Ax|2x2，Bx|0x3，则 AB 等于（ ） Ax|0x2 Bx|0x2） Cx|0x2 Dx|0x2 2 （4 分）已知函数 f（x），则 f（1）的值为（ ） A0 B2 C4 D4 3 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A B2 C3 D4 4 （4 分）某单位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们的身体状况， 从中抽取样本容量为 36 的样本，最适合的抽取样本的方法是（ ） A简单随机抽样 B系统抽样 C分层抽样 D抽签法 5 （4 分）已知函数 yAsinx（0）在一个周期内图象如图所示，则 的值为（ ） A

2、B1 C D2 6 （4 分）设向量（1，0） ，（1，1） ，则向量，的夹角为（ ） 第 2 页（共 15 页） A30 B45 C60 D90 7 （4 分）在区间（0，+）上不是增函数的是（ ） Ay2x Bylog2x Cy Dy2x2+x+1 8 （4 分）已知直线 l 过点 P（4，3） ，圆 C：x2+y225，则直线 l 与圆的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相交或相切 D相离 9 （4 分）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米） ，已测得隧道两 端点 A， B 到某一点 C 的距离分别为 5 和 8， ACB60， 则 A， B 之间的距离为 （ ） A

3、7 B10 C6 D8 10 （4 分）若不等式组，所表示的平面区域是 ，则 的面积是（ ） A B C D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分分. 11 （4 分）两根相距 6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大 于 2m 的概率是 12 （4 分）经过点 A（1，2） ，且与直线 y2x+1 平行的直线方程是 13 （4 分）已知 sin，且 是第一象限的角，那么 tan 的值为 14 （4 分）某程序框图如图所示，若输入的 x 值为 2，则输出的 y 值是 第 3 页（共 15 页） 15

4、（4 分）已知平面向量 与 的夹角为，| |，| |1，则| | 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，满分个小题，满分 40 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. 16 （6 分）已知函数 f（x）（sinx+cosx）2，xR （1）求 f（）的值； （2）求函数 f（x）的值域 17 （8 分）某校高二（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受 到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （1）求高二（1）班全体女生的人数； （2）由频率分布直方图估计该班女生此次数学测试成绩的众数

5、 18 （8 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，已知 AB平面 BCD，BCCD，CD2，直线 AC 与平面 BCD 所成角为 45 第 4 页（共 15 页） （1）求证：CD平面 ABC； （2）若三棱锥 ABCD 的体积为 3，求 AB 的长 19 （8 分）在正项等比数列an中，a14，a364 （1）求数列an的通项公式 an； （2）记 b1og4an，求数列的前 5 项和 S5 20 （10 分）已知函数 f（x）log2（x1） （1）求两数 yf（x）的定义域； （2）设 g（x）f（x）+m，若函数 g（x）在区间（3，9）内有且仅有一个零点求实数 m 的取值范围； （3）

6、若不等式 f（x）+t2+2t+ 在 x（2，+）及 t2，1上恒成立，求实数 的取值范围 第 5 页（共 15 页） 2019-2020 学年湖南省普通高中高三（上）学业水平模拟数学试学年湖南省普通高中高三（上）学业水平模拟数学试 卷（卷（9 月份） （二）月份） （二） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，满分分，满分 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1 （4 分）已知集合 Ax|2x2，Bx|0x3，则 AB 等于（ ）

7、Ax|0x2 Bx|0x2） Cx|0x2 Dx|0x2 【分析】进行交集的运算即可 【解答】解：Ax|2x2，Bx|0x3， ABx|0x2 故选：D 【点评】考查描述法的定义，以及交集的运算 2 （4 分）已知函数 f（x），则 f（1）的值为（ ） A0 B2 C4 D4 【分析】根据分段函数的解析式，直接把 x1 代入即可求解 【解答】解：f（x）， 则 f（1）2（1）24， 故选：C 【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题 3 （4 分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ） A B2 C3 D4 第 6 页（共 15 页） 【分析】三视图复原的几

8、何体是圆柱，依据三视图的数据，即可求出几何体的体积 【解答】解：三视图复原的几何体是圆柱，底面半径为 1、高为 3， 所以这个几何体的体积是 1233； 故选：C 【点评】此题考查了由三视图判断几何体，考查三视图的视图能力，计算能力，空间想 象能力，本题是基础题，常考题型 4 （4 分）某单位有老年人 27 人，中年人 54 人，青年人 81 人，为了调查他们的身体状况， 从中抽取样本容量为 36 的样本，最适合的抽取样本的方法是（ ） A简单随机抽样 B系统抽样 C分层抽样 D抽签法 【分析】由题意根据总体由差异比较明显的几部分构成可选择 【解答】解：总体由差异比较明显的几部分构成，故应用分

9、层抽样 故选：C 【点评】本题考查基本的抽样方法，属基本题 5 （4 分）已知函数 yAsinx（0）在一个周期内图象如图所示，则 的值为（ ） A B1 C D2 【分析】由函数 yAsinx 的图象求出 T 的值，再计算 的值 【解答】解：由函数 yAsinx（0）在一个周期内的图象知， T4， 2， 即 的值为 2 故选：D 【点评】本题考查了三角函数 yAsinx（0）的图象与性质的应用问题，是基础题 第 7 页（共 15 页） 6 （4 分）设向量（1，0） ，（1，1） ，则向量，的夹角为（ ） A30 B45 C60 D90 【分析】首先，结合公式 cos，通过计算，得到 cos

10、，然后，结合 角的取值范围进行求解 【解答】解：（1，0） ，（1，1） ， 设向量，的夹角为 ， cos ， cos， 0， ， 向量，的夹角为，即 45， 故选：B 【点评】本题重点考查了平面向量的数量积的坐标运算、向量的夹角运算及其求解方法 等，在求解向量的夹角时，务必注意角的取值范围，不要产生增根或者漏解的情形，本 题属于中档题 7 （4 分）在区间（0，+）上不是增函数的是（ ） Ay2x Bylog2x Cy Dy2x2+x+1 【分析】容易看出选项 A，B，D 的函数在（0，+）上都是增函数，从而只能选 C 【解答】解：y2x，y2x2+x+1 和 ylog2x 在（0，+）上都

11、是增函数，在（0， +）上是减函数 故选：C 【点评】考查指数函数、对数函数、反比例函数和二次函数的单调性 第 8 页（共 15 页） 8 （4 分）已知直线 l 过点 P（4，3） ，圆 C：x2+y225，则直线 l 与圆的位置关系是（ ） A相交 B相切 C相交或相切 D相离 【分析】根据题意判断 P 在圆 C 上，确定出直线 l 与圆的位置关系即可 【解答】解：P（4，3） ，圆 C（0，0） ，r5， 5，即|PC|r， 点 P 在圆 C 上， 直线 l 过点 P， 直线 l 与圆的位置关系是相交或相切 故选：C 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，直线与圆的位置关系由 d 与 r

12、 的大小来判断， 当 dr 时，直线与圆相切；当 dr 时，直线与圆相交；当 dr 时，直线与圆相离 9 （4 分）如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米） ，已测得隧道两 端点 A， B 到某一点 C 的距离分别为 5 和 8， ACB60， 则 A， B 之间的距离为 （ ） A7 B10 C6 D8 【分析】由余弦定理和已知边和角求得 AB 的长度 【解答】解：由余弦定理知 AB 7， 所以 A，B 之间的距离为 7 百米 故选：A 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用已知两边和一个角，求边常用余弦定理来解 决 10 （4 分）若不等式组，所表示的平面区域是 ，则 的面积

13、是（ ） 第 9 页（共 15 页） A B C D 【分析】画出约束条件的可行域，然后求解可行域的面积即可 【解答】解：不等式组，所表示的平面区域如图：A（0，） ，B（3，0） 所以平面区域 的面积： 故选：D 【点评】本题考查线性规划的简单应用，是基本知识的考查 二、填空题：本大二、填空题：本大题共题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，满分分，满分 20 分分. 11 （4 分）两根相距 6m 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大 于 2m 的概率是 【分析】根据题意，事件“灯与两端距离都大于 2m”对应的长度为 6m 长的线段位于中 间的、长度为 2 米

14、的部分，由此结合几何概型的计算公式，即可算出灯与两端距离都大 于 2m 的概率 【解答】解：设事件 A“灯与两端距离都大于 2m” 根据题意，事件 A 对应的长度为 6m 长的线段位于中间的、长度为 2 米的部分 因此，事件 A 发生的概率为 P（A） 第 10 页（共 15 页） 故答案为： 【点评】本题给出几何概型，求灯与两端距离都大于 2m 的概率着重考查了几何概型计 算公式及其应用的知识，属于基础题 12 （4 分）经过点 A（1，2） ，且与直线 y2x+1 平行的直线方程是 2xy+40 【分析】设与直线 y2x+1 平行的直线方程为：y2x+m，把点 A（1，2）代入解得 m 即

15、可得出 【解答】解：设与直线 y2x+1 平行的直线方程为：y2x+m， 把点 A（1，2）代入可得：22+m，解得 m4 与直线 y2x+1 平行的直线方程是 y2x+4即 2xy+40 故答案为：2xy+40 【点评】本题考查了相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题 13 （4 分）已知 sin，且 是第一象限的角，那么 tan 的值为 【分析】利用同角三角函数基本关系式转化求解即可 【解答】解：sin，且 是第一象限的角， cos， 所以 tan 故答案为： 【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，是基本知识的考查 14 （4 分）某程序框图如图所示，

16、若输入的 x 值为 2，则输出的 y 值是 0.2 第 11 页（共 15 页） 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断条件，计算并输出变量 y 的值，可得答案 【解答】解：由于 x2，满足判断条件，执行“是”后，y0.2， ； 故输出 y 值为 0.2， 故答案为：0.2 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题 15 （4 分）已知平面向量 与 的夹角为，| |，| |1，则| | 1 【分析】求出， （）2，开方即可 【解答】解： （）233+11 故答案为 1 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题

17、 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，满分个小题，满分 40 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤步骤. 16 （6 分）已知函数 f（x）（sinx+cosx）2，xR （1）求 f（）的值； （2）求函数 f（x）的值域 第 12 页（共 15 页） 【分析】 （1）化简函数 f（x） ，再求 f（）的值； （2）根据正弦函数的有界性，即可求出函数 f（x）的值域 【解答】解： （1）函数 f（x）（sinx+cosx）2 sin2x+2sinxcosx+cos2x 1+sin2x， f（）1+sin（2）1+sin

18、1+12； （2）xR 时，1sin2x1， 01+sin2x2， 函数 f（x）的值域为0，2 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角恒等变换应用问 题，是基础题 17 （8 分）某校高二（1）班全体女生的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受 到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： （1）求高二（1）班全体女生的人数； （2）由频率分布直方图估计该班女生此次数学测试成绩的众数 【分析】 （1）由50，60）的直方图和茎叶图求出高二（1）班全体女生的人数； （2）计算各段的频率，得到频率最大的组中值即为众数 【解答】解： （1）根据茎叶图知，分数在

19、50，60）之间的女生人数为 2， 根据频率分布直方图可得它所占的比率为 0.008100.08， 所以高二（1）班全体女生的人数为25（人） ； （2）求分数在80，90）之间的女生人数为 25271024； 第 13 页（共 15 页） 所以分数在50，60）之间的频率为0.08； 分数在60，70）之间的频率为0.28； 分数在70，80）之间的频率为0.40； 分数在80，90）之间的频率为0.16； 分数在90，100之间的频率为0.08； 所以频率分布直方图中最高的小矩形为70，80）间的矩形， 估计该班女生此次数学测试成绩的众数为（70+80）75 【点评】本题考查了频率分布直方

20、图与茎叶图的应用问题，是基础题 18 （8 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，已知 AB平面 BCD，BCCD，CD2，直线 AC 与平面 BCD 所成角为 45 （1）求证：CD平面 ABC； （2）若三棱锥 ABCD 的体积为 3，求 AB 的长 【分析】 （1）推导出 ABCD，BCCD，由此能证明 CD平面 ABC （2）设 ABBCa，则 VABCD3， 由此能求出 AB 【解答】解： （1）证明：在三棱锥 ABCD 中，AB平面 BCD，CD平面 BCD， ABCD， BCCD，ABBCB， CD平面 ABC （2）解：直线 AC 与平面 BCD 所成角为 45 可设 ABBCa，

21、 第 14 页（共 15 页） 三棱锥 ABCD 的体积为 3， VABCD3， 解得 ABa3 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面 间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 19 （8 分）在正项等比数列an中，a14，a364 （1）求数列an的通项公式 an； （2）记 b1og4an，求数列的前 5 项和 S5 【分析】 （1）利用等比数列的定义的应用求出数列的通项公式 （2）利用（1）的通项公式，进一步利用裂项相消法的应用求出数列的和 【解答】解： （1）设公比为 q 的正项等比数列an中，a14，a364，所以， 解得 q4（负值

22、舍去） ， 所以 （2）由于，所以， 所以， 所以 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和 中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型 20 （10 分）已知函数 f（x）log2（x1） （1）求两数 yf（x）的定义域； （2）设 g（x）f（x）+m，若函数 g（x）在区间（3，9）内有且仅有一个零点求实数 m 的取值范围； （3）若不等式 f（x）+t2+2t+ 在 x（2，+）及 t2，1上恒成立，求实数 的取值范围 【分析】 （1）根据对数的真数大于 0，即可求解定义域； （2）求解 f（x）在区间（3，9）的范围，那么

23、函数 ym 与其只有一个交点，可得实 数 m 的取值范围； 第 15 页（共 15 页） （3）令 f（x），可得，即 t2+2t+2 在 t2，1上恒成立，即可求解 实数 的取值范围 【解答】解： （1）函数 f（x）log2（x1） 可知 x10， x1， 故得函数 yf（x）的定义域为（1，+） ； （2）函数 f（x）log2（x1）在区间（3，9）递增， 1f（x）3， 函数 g（x）在区间（3，9）内有且仅有一个零点 即 f（x）m； 那么 1m3 故得实数 m 的取值范围为（3，1） （3）令 f（x），可得，当且仅当 1，即 x3 时取等号 即 t2+2t+2 在 t2，1上恒成立， t2+2t2， t2，1， （t2+2t2）max1， 1，即 1； 故得实数 的取值范围是（，1 【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，以及转化思想的应用，二次函数闭区 间上的最值以及单调性的应用