2020年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷（含详细解答）

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1、设集合 A1，3，5，B2，3，则 AB（ ） A3 B1，5 C （1，2，5）1，2，5 D1，2，3，5 2 （3 分）函数的最小正周期为（ ） A B C2 D4 3 （3 分）函数的定义域是（ ） A1，4） B （1，4 C （1，+） D （4，+） 4 （3 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上是减函数的是（ ） Ayx3 By Cy|x| Dy 5 （3 分）已知直线 l 过点 P（2，1） ，且与直线 2x+yl0 互相垂直，则直线 l 的方程为 （ ） Ax2y0 Bx2y40 C2x+y30 D2xy50 6 （3 分）已知函数 f（x），则 f（1）+f（1）（

2、 ） A0 B1 C D2 7 （3 分）已知向量 与 的夹角为，且| |3，| |4，则 （ ） A B C D6 8 （3 分）某工厂抽取 100 件产品测其重量（单位：kg） 其中每件产品的重量范围是40， 42数据的分组依据依次为40，40，5） ，40，5，41） ，41，41，5） ，41，5，42） ，据 此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在40，41）内的产品件数为（ ） 第 2 页（共 17 页） A30 B40 C60 D80 9 （3 分）sin 110 cos40cos70sin40（ ） A B C D 10 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，+（ ） A

3、B C D 11 （3 分）某产品的销售额 y（单位：万元）与月份 x 的统计数据如表用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程为 7x+ ，则实数 （ ） x 3 4 5 6 y 25 30 40 45 A3 B3.5 C4 D10.5 12 （3 分）下列结论正确的是（ ） A若 ab，则 a3b3 B若 ab，则 2a2b C若 ab，则 a2b2 D若 ab，则 lnalnb 13 （3 分）圆心为 M（1，3） ，且与直线 3x4y60 相切的圆的方程是（ ） A （x1）2+（y3）29 B （x1）2+（y3）23 C （x+1）2+（y+3）29 D （x+1）2+（y+3

4、）23 14 （3 分）已知袋中有大小、形状完全相同的 5 张红色、2 张蓝色卡片，从中任取 3 张卡片， 则下列判断不正确的是（ ） A事件“都是红色卡片”是随机事件 B事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C事件“至少有一张蓝色卡片”是必然事件 D事件“有 1 张红色卡片和 2 张蓝色卡片”是随机事件 15 （3 分）若直线（a1）x2y+10 与直线 xay+10 垂直，则实数 a（ ） 第 3 页（共 17 页） A1 或 2 B1 C D3 16 （3 分）将函数 ysinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ， 再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析

5、式为（ ） Aysin（3x） Bysin（3x） Cysin（x） Dysin（x） 17 （3 分）3 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为（ ） A B C D 18 （3 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列判断正确的是（ ） AA1DC1C BBD1AD CA1DAC DBD1 AC 19 （3 分）已知向量 ， 不共线，若 +2 ，3 +7 ，4 5 ，则（ ） AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 20 （3 分）在三棱锥 PABC 中，PA，PB，P

6、C 两两垂直，且 PA1，PBPC2，则该三 棱锥的外接球体的体积为（ ） A B C9 D36 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小小题，每小题题，每小题 3 分，共分，共 15 分分 21 （3 分）某校田径队共有男运动员 45 人，女运动员 36 人若采用分层抽样的方法在全 体运动员中抽取 18 人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 22 （3 分）已知 为第二象限角，若 sin，则 tan 的值为 23 （3 分）已知圆锥底面半径为 1，高为，则该圆锥的侧面积为 24（3 分） 已知函数 f （x） x2+x+a 在区间 （0， 1） 内有零点， 则实数 a 的取值范围为

7、 25 （3 分）若 P 是圆 C1： （x4）2+（y5）29 上一动点，Q 是圆 C2： （x+2）2+（y+3） 第 4 页（共 17 页） 24 上一动点，则|PQ|的最小值是 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 3 小题，共小题，共 25 分分 26 （9 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 分别是 AB、 PC 中点，求证：EF面 PAD 27 （8 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 a6，cosB （1）若 sinA，求 b 的值； （2）若 c2，求 b 的值及ABC 的面积 S 28 （8 分）已知函数

8、f（x）ax+log3（9x+1） （aR）为偶函数 （1）求 a 的值； （2）当 x0，+）时，不等式 f（x）b0 恒成立，求实数 b 的取值范围 第 5 页（共 17 页） 2020 年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷年山东省普通高中学业水平合格考试数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、本大题共一、本大题共 20 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1 （3 分）设集合 A1，3，5，B2，3，则 AB（ ） A3 B1，5 C （1，2，

9、5）1，2，5 D1，2，3，5 【分析】进行并集的运算即可 【解答】解：A1，3，5，B2，3， AB1，2，3，5 故选：D 【点评】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题 2 （3 分）函数的最小正周期为（ ） A B C2 D4 【分析】根据三角函数的周期公式直接进行计算即可 【解答】解：由三角函数的周期公式得 T4， 故选：D 【点评】本题主要考查三角函数周期的计算，结合周期公式是解决本题的关键，比较基 础 3 （3 分）函数的定义域是（ ） A1，4） B （1，4 C （1，+） D （4，+） 【分析】根据函数 f（x）的解析式，列出使解析式有意义

10、的不等式组，求出解集即可 【解答】解：函数， ， 解得 1x4； 函数 f（x）的定义域是1，4） 第 6 页（共 17 页） 故选：A 【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目 4 （3 分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上是减函数的是（ ） Ayx3 By Cy|x| Dy 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性对选项分别进行判断即可 【解答】解：由幂函数的性质可知，yx3，y为奇函数，不符合题意， y|x|为偶函数且在（0，+）上单调递增，不符号题意， y为偶函数且在（0，+）上单调递减，符合题意 故选：D 【点评】本题主要考查了基本初等函数的奇偶性及单调性

11、的判断，属于基础试题 5 （3 分）已知直线 l 过点 P（2，1） ，且与直线 2x+yl0 互相垂直，则直线 l 的方程为 （ ） Ax2y0 Bx2y40 C2x+y30 D2xy50 【分析】根据题意设出直线 l 的方程，把点 P（2，1）代入方程求出直线 l 的方程 【解答】解：根据直线 l 与直线 2x+yl0 互相垂直，设直线 l 为 x2y+m0， 又 l 过点 P（2，1） ， 22（1）+m0， 解得 m4， 直线 l 的方程为 x2y40 故选：B 【点评】本题考查了直线方程的应用问题，是基础题 6 （3 分）已知函数 f（x），则 f（1）+f（1）（ ） A0 B1

12、C D2 【分析】推导出 f（1）2 1 ，f（1）1，由此能求出 f（1）+f（1）的值 第 7 页（共 17 页） 【解答】解：函数 f（x）， f（1）2 1 ， f（1）1， f（1）+f（1） 故选：C 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基 础题 7 （3 分）已知向量 与 的夹角为，且| |3，| |4，则 （ ） A B C D6 【分析】进行数量积的运算即可 【解答】解：向量 与 的夹角为，且| |3，| |4， 故选：D 【点评】本题考查了向量数量积的计算公式，考查了计算能力，属于基础题 8 （3 分）某工厂抽取 100 件产品测其重量

13、（单位：kg） 其中每件产品的重量范围是40， 42数据的分组依据依次为40，40，5） ，40，5，41） ，41，41，5） ，41，5，42） ，据 此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在40，41）内的产品件数为（ ） A30 B40 C60 D80 【分析】由频率分布直方图得重量在40，41）内的频率为 0.4由此能求出重量在40， 41）内的产品件数 【解答】解：由频率分布直方图得： 第 8 页（共 17 页） 重量在40，41）内的频率为： （0.1+0.7）0.50.4 重量在40，41）内的产品件数为 0.410040 故选：B 【点评】本题考查产品件数的求法，考查频率分

14、布直方图的性质等基础知识，考查运算 求解能力，是基础题 9 （3 分）sin 110 cos40cos70sin40（ ） A B C D 【分析】利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可 【解答】解：sin 110 cos40cos70sin40 sin 70 cos40cos70sin40 sin （7040） sin30 故选：A 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，特殊角的三角函数求值，考查计算能力 10 （3 分）在平行四边形 ABCD 中，+（ ） A B C D 【分析】利用平面向量加法法则直接求解 【解答】解：在平行四边形 ABCD 中， + 故选：B 【点评】本题考查向

15、量的求法，考查平面向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题 11 （3 分）某产品的销售额 y（单位：万元）与月份 x 的统计数据如表用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程为 7x+ ，则实数 （ ） x 3 4 5 6 第 9 页（共 17 页） y 25 30 40 45 A3 B3.5 C4 D10.5 【分析】由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程即可求得实数 【解答】解：， 样本点的中心坐标为（4.5，35） ， 代入 7x+ ，得 3574.5+ ，即 3.5 故选：B 【点评】本题考查线性回归方程，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础 题 12

16、 （3 分）下列结论正确的是（ ） A若 ab，则 a3b3 B若 ab，则 2a2b C若 ab，则 a2b2 D若 ab，则 lnalnb 【分析】利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出正误 【解答】解：Aab，可得 a3b3，正确； Bab，可得 2a2b，因此 B 不正确； Cab，a2与 b2大小关系不确定，因此不正确； D由 ab，无法得出 lnalnb，因此不正确 故选：A 【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于 基础题 13 （3 分）圆心为 M（1，3） ，且与直线 3x4y60 相切的圆的方程是（ ） A （x1）2+（y3）29 B

17、 （x1）2+（y3）23 C （x+1）2+（y+3）29 D （x+1）2+（y+3）23 【分析】由题意可知，圆的半径即为圆心 M 到直线的距离，根据点到直线的距离公式即 可求解 【解答】解：由题意可知，圆的半径 r3， 故所求的圆的方程为（x1）2+（y3）29 故选：A 第 10 页（共 17 页） 【点评】本题主要考查了圆的方程的求解，解题的关键是直线与圆相切性质的应用 14 （3 分）已知袋中有大小、形状完全相同的 5 张红色、2 张蓝色卡片，从中任取 3 张卡片， 则下列判断不正确的是（ ） A事件“都是红色卡片”是随机事件 B事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C事件“至少有一

18、张蓝色卡片”是必然事件 D事件“有 1 张红色卡片和 2 张蓝色卡片”是随机事件 【分析】利用随机事件的定义直接求解 【解答】 解：袋中有大小、 形状完全相同的 5 张红色、2 张蓝色卡片，从中任取 3 张卡片， 在 A 中，事件“都是红色卡片”是随机事件，故 A 正确； 在 B 中，事件“都是蓝色卡片”是不可能事件，故 B 正确； 在 C 中，事件“至少有一张蓝色卡片”是随机事件，故 C 错误； 在 D 中，事件“有 1 张红色卡片和 2 张蓝色卡片”是随机事件，故 D 正确 故选：C 【点评】本题考查命题真假的判断，考查随机事件等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题 15 （3 分）若直

19、线（a1）x2y+10 与直线 xay+10 垂直，则实数 a（ ） A1 或 2 B1 C D3 【分析】根据题意，分析可得（a1）+2a0，解可得 a 的值，即可得答案 【解答】解：根据题意，若直线（a1）x2y+10 与直线 xay+10 垂直， 必有（a1）+2a0，解可得 a； 故选：C 【点评】本题考查直线平行的判断方法，注意直线的一般式方程的形式，属于基础题 16 （3 分）将函数 ysinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变） ， 再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为（ ） Aysin（3x） Bysin（3x） Cysin（x） Dys

20、in（x） 【分析】由题意利用函数 yAsin（x+）的图象变换规律，得出结论 第 11 页（共 17 页） 【解答】 解： 将函数 ysinx 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍 （纵坐标不变） ， 可得 ysin3x 的图象； 再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为 ysin3（x） sin（3x） ， 故选：A 【点评】本题主要考查函数 yAsin（x+）的图象变换规律，属于基础题 17 （3 分）3 名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同 学参加公益活动的概率为（ ） A B C D 【分析】求得 3 位同学各自在周六、周日两天中任

21、选一天参加公益活动、周六、周日都 有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可 【解答】解：3 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有 238 种情 况， 周六、周日都有同学参加公益活动，共有 232826 种情况， 所求概率为 故选：D 【点评】本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断 该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件 A 包含的基本事件的个数和试验中基本 事件的总数 18 （3 分）如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，下列判断正确的是（ ） AA1DC1C BBD1AD CA1DAC DBD1 AC 【分析】 直接可以

22、看出 A， B， C 均不成立， 用线线垂直来推线面垂直进而得到线线垂直 【解答】解：因为 ACBD，ACDD1；BDDD1D； BD平面 DD1B1B，DD1平面 DD1B1B， AC平面 DD1B1B； 第 12 页（共 17 页） BD1平面 DD1B1B； ACBD1； 即 D 对 故选：D 【点评】本题主要考查平面中的线线垂直的证明，属于对基础知识的考查 19 （3 分）已知向量 ， 不共线，若 +2 ，3 +7 ，4 5 ，则（ ） AA，B，C 三点共线 BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线 DB，C，D 三点共线 【分析】（3 +7 ）+（4 5 ），从而，进而 A，

23、B，D 三点共线 【解答】解：向量 ， 不共线， +2 ，3 +7 ，4 5 ， （3 +7 ）+（4 5 ）， ， A，B，D 三点共线 故选：B 【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量加法法则、向量共线等基础知识，考查运 算求解能力，是基础题 20 （3 分）在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA1，PBPC2，则该三 棱锥的外接球体的体积为（ ） A B C9 D36 【分析】由题意将此三棱锥放在长方体中，可得长方体的长宽高，再由长方体的对角线 等于外接球的直径求出外接球的体积 【解答】解：由三棱锥中 PA，PB，PC 两两垂直，且 PA1，PB2，PC2 将此三

24、棱锥 第 13 页（共 17 页） 放在长方体中，由题意知长方体的长宽高分别是：1，2，2 设外接球的半径为 R，则 2R3 所以 R， 所以外接球的体积 V， 故选：A 【点评】考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系及球的体积公式，属于基础题 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 15 分分 21 （3 分）某校田径队共有男运动员 45 人，女运动员 36 人若采用分层抽样的方法在全 体运动员中抽取 18 人进行体质测试，则抽到的女运动员人数为 8 【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽 到的概率值，

25、利用每个个体被抽到的概率乘以女运动员的数目，得到女运动员要抽取得 人数 【解答】解：某校田径队共有男运动员 45 人，女运动员 36 人， 这支田径队共有 45+3681 人， 用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 18 的样本， 每个个体被抽到的概率是， 女运动员 36 人， 女运动员要抽取 368 人， 故答案为：8 【点评】本题考查分层抽样，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相 等，本题是一个基础题 22 （3 分）已知 为第二象限角，若 sin，则 tan 的值为 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得 cos 的值，从而求得 tan 的值 第 14

26、页（共 17 页） 【解答】解： 为第二象限角 sin， cos，则 tan， 故答案为： 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题 23 （3 分）已知圆锥底面半径为 1，高为，则该圆锥的侧面积为 2 【分析】由已知求得母线长，代入圆锥侧面积公式求解 【解答】解：由已知可得 r1，h，则圆锥的母线长 l 圆锥的侧面积 Srl2 故答案为：2 【点评】本题考查圆锥侧面积的求法，关键是对公式的记忆，是基础题 24 （3 分） 已知函数 f （x） x2+x+a 在区间 （0， 1） 内有零点， 则实数 a 的取值范围为 （ 2，0） 【分析】由零点存在性定理得 f（0）f（1

27、）a（a+2）0，求出即可 【解答】解：函数 f（x）x2+x+a 在区间（0，1）内有零点， f（0）a，f（1）2+a， 由零点存在性定理得 f（0）f（1）a（a+2）0，得2a0， 经验证 a2，a0 均不成立， 故答案为： （2，0） 【点评】考查函数零点存在性定理的应用，中档题 25 （3 分）若 P 是圆 C1： （x4）2+（y5）29 上一动点，Q 是圆 C2： （x+2）2+（y+3） 24 上一动点，则|PQ|的最小值是 5 【分析】分别找出两圆的圆心坐标，以及半径 r 和 R，利用两点间的距离公式求出圆心间 的距离 d，根据大于两半径之和，得到两圆的位置是外离，又 P

28、在圆 C1上，Q 在圆 C2 上，则|PQ|的最小值为 d（r+R） ，即可求出答案 【解答】解：圆 C1： （x4）2+（y5）29 的圆心 C1（4，5） ，半径 r3， 圆 C2： （x+2）2+（y+3）24 的圆心 C2（2，3） ，半径 r2， d|C1C2|102+3r+R， 所以两圆的位置关系是外离， 第 15 页（共 17 页） 又 P 在圆 C1上，Q 在圆 C2上， 则|PQ|的最小值为 d（r+R）10（2+3）5， 故答案为：5 【点评】本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 3 小题，共小题，共 25 分分 26 （9 分）如图，

29、在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是平行四边形，E、F 分别是 AB、 PC 中点，求证：EF面 PAD 【分析】取 PD 的中点 G，连接 FG、AG，由 PFCF，PGDG，所以 FGCD，且 FG CD又因为四边形 ABCD 是平行四边形，且 E 是 AB 的中点所以 AECD，且 AE CD证得四边形 EFGA 是平行四边形，所以 EFAG，由线面平行的判定定理即可 得证 【解答】证明：取 PD 的中点 G，连接 FG、AG 因为 PFCF，PGDG， 所以 FGCD，且 FGCD 又因为四边形 ABCD 是平行四边形，且 E 是 AB 的中点 所以 AECD，且 AECD

30、所以 FGAE，且 FGAE， 所以四边形 EFGA 是平行四边形， 所以 EFAG 又因为 EF平面 PAD，AG平面 PAD， 所以 EF平面 PAD 第 16 页（共 17 页） 【点评】本题考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转 化思想的合理运用 27 （8 分）在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 a6，cosB （1）若 sinA，求 b 的值； （2）若 c2，求 b 的值及ABC 的面积 S 【分析】 （1）先根据同角平方关系求出 sinB，然后结合正弦定理即可求解， （2）结合余弦定理及三角形的面积公式即可求解 【解答】解： （

31、1）由 cosB可得 sinB， 由正弦定理可得， 所以 b， （2）由余弦定理可得，cosB， 解可得，b4， S4 【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应 用，属于基础试题 28 （8 分）已知函数 f（x）ax+log3（9x+1） （aR）为偶函数 （1）求 a 的值； （2）当 x0，+）时，不等式 f（x）b0 恒成立，求实数 b 的取值范围 【分析】 （1）根据偶函数性质 f（x）f（x） ，化简整理可求得 a 的取值； （2）根据条件可知 x+log3（9x+1）b 对 x0，+）恒成立，求出函数 g（x）x+log3 （9x+1）在0，+）上的最小值即可 第 17 页（共 17 页） 【解答】解： （1）根据题意可知 f（x）f（x） ， 即 ax+log3（9x+1）ax+log3（9 x+1） ，整理得 2ax， 即2ax2x，解得 a1； （2）由（1）可得 f（x）x+log3（9x+1） ，因为 f（x）b0 对 x0，+）恒成立， 即x+log3（9x+1）b 对 x0，+）恒成立， 因为函数 g（x）x+log3（9x+1）在0，+）上是增函数， 所以 g（x）ming（0）log32， 则 blog32 【点评】本题考查利用函数奇偶性求参数值，利用函数增减性求参数取值范围，属于中 档题