2020年上海市春季高考数学试卷（含详细解答）

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1、已知直线 l1：x+ay1，l2：ax+y1，若 l1l2，则 11与 l2的距离为 8 （5 分）已知二项式（2x+）5，则展开式中 x3的系数为 9 （5 分）三角形 ABC 中，D 是 BC 中点，AB2，BC3，AC4，则 10 （5 分）已知 A3，2，1，0，1，2，3，a、bA，则|a|b|的情况有 种 11 （5 分）已知 A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足0（n1，2，3） ， |n+1（n1，2，3） ，则|的最小值为 12 （5 分）已知 f（x），其反函数为 f 1（x） ，若 f1（x）af（x+a）有实数根， 则 a 的取值范围为 二、选择题（本大题共二、选择

2、题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分分) 13 （5 分）计算：（ ） A3 B C D5 14 （5 分） “”是“sin2+cos21”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 15 （5 分）已知椭圆+y21，作垂直于 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，作垂直于 y 轴 的垂线交椭圆于 C、D 两点，且 ABCD，两垂线相交于点 P，则点 P 的轨迹是（ ） A椭圆 B双曲线 C圆 D抛物线 第 2 页（共 16 页） 16 （5 分）数列an各项均为实数，对任意 nN*满足 an+3an，且行列式c 为定值，则下列选项

3、中不可能的是（ ） Aa11，c1 Ba12，c2 Ca11，c4 Da12，c0 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分分) 17 （14 分）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PD平面 ABCD （1）若 PC5，求四棱锥 PABCD 的体积； （2）若直线 AD 与 BP 的夹角为 60，求 PD 的长 18 （14 分）已知各项均为正数的数列an，其前 n 项和为 Sn，a11 （1）若数列an为等差数列，S1070，求数列an的通项公式； （2）若数列an为等比数列，a4，求满足 Sn100an时

4、n 的最小值 19 （14 分）有一条长为 120 米的步行道 OA，A 是垃圾投放点 1，若以 O 为原点，OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B（x，0） ，现要建设另一座垃圾投放点 2（t，0） ，函 数 ft（x）表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离 （1）若 t60，求 f60（10） 、f60（80） 、f60（95）的值，并写出 f60（x）的函数解析式； （2）若可以通过 ft（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便 利问：垃圾投放点 2建在何处才能比建在中点时更加便利？ 20 （16 分）已知抛物线 y2x 上的动点 M（x0，y0） ，过 M

5、 分别作两条直线交抛物线于 P、 Q 两点，交直线 xt 于 A、B 两点 （1）若点 M 纵坐标为，求 M 与焦点的距离； （2）若 t1，P（1，1） ，Q（1，1） ，求证：yAyB为常数； （3）是否存在 t，使得 yAyB1 且 yPyQ为常数？若存在，求出 t 的所有可能值，若不 存在，请说明理由 21 （18 分）已知非空集合 AR，函数 yf（x）的定义域为 D，若对任意 tA 且 xD，不 等式 f（x）f（x+t）恒成立，则称函数 f（x）具有 A 性质 第 3 页（共 16 页） （1）当 A1，判断 f（x）x、g（x）2x 是否具有 A 性质； （2）当 A（0，1）

6、 ，f（x）x+，xa，+） ，若 f（x）具有 A 性质，求 a 的取值范 围； （3）当 A2，m，mZ，若 D 为整数集且具有 A 性质的函数均为常值函数，求所 有符合条件的 m 的值 第 4 页（共 16 页） 2020 年上海市春季高考数学试卷年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 12 题，满分题，满分 54 分，第分，第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 7-12 题每题题每题 5 分分) 1 （4 分）集合 A1，3，B1，2，a，若 AB，则 a 3 【分析】利用集合的包含关系即可求出 a 的值 【解答】解

7、：3A，且 AB，3B，a3， 故答案为：3 【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题 2 （4 分）不等式3 的解集为 （0，） 【分析】将不等式化简后转化为一元二次不等式，由一元二次不等式的解法求出不等式 的解集 【解答】解：由得， 则 x（13x）0，即 x（3x1）0，解得， 所以不等式的解集是（0，） ， 故答案为： （0，） 【点评】本题考查分式不等式、一元二次不等式的解法，以及转化思想，属于基础题 3 （4 分）函数 ytan2x 的最小正周期为 【分析】根据函数 ytanx 的周期为，求出函数 ytan2x 的最小正周期 【解答】解：函数 ytan2x 的最小正周期为 ，

8、 故答案为： 【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题 4 （4 分）已知复数 z 满足 z+2 6+i，则 z 的实部为 2 【分析】设 za+bi， （a，bR） 根据复数 z 满足 z+2 6+i，利用复数的运算法则、复 数相等即可得出 【解答】解：设 za+bi， （a，bR） 第 5 页（共 16 页） 复数 z 满足 z+2 6+i， 3abi6+i， 可得：3a6，b1，解得 a2，b1 则 z 的实部为 2 故答案为：2 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基 础题 5 （4 分）已知 3sin2x2sinx，x（0，） ，则

9、 x arccos 【分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论 【解答】解：3sin2x2sinx， 6sinxcosx2sinx， x（0，） ， sinx0， cosx， 故 xarccos 故答案为：arccos 【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键 6 （4 分）若函数 ya3x+为偶函数，则 a 1 【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得 a3 （x）+ a3x+，变形分析可 得答案 【解答】解：根据题意，函数 ya3x+为偶函数，则 f（x）f（x） ， 即 a3 （x）+ a3x+， 变形可得：a（3x3 x）（3x3x） ，

10、 必有 a1； 故答案为：1 【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于 基础题 第 6 页（共 16 页） 7 （5 分）已知直线 l1：x+ay1，l2：ax+y1，若 l1l2，则 11与 l2的距离为 【分析】由 l1l2求得 a 的值，再根据两平行线间的距离计算即可 【解答】解：直线 l1：x+ay1，l2：ax+y1， 当 l1l2时，a210，解得 a1； 当 a1 时 l1与 l2重合，不满足题意； 当 a1 时 l1l2，此时 l1：xy10，l2：xy+10； 则 11与 l2的距离为 d 故答案为： 【点评】本题考查了平行线的定义和平行线

11、间的距离计算问题，是基础题 8 （5 分）已知二项式（2x+）5，则展开式中 x3的系数为 10 【分析】由，可得到答案 【解答】解：，所以展开式中 x3的系数为 10 故答案为：10 【点评】本题考查利用二项式定理求特定项的系数，属于基础题 9 （5 分）三角形 ABC 中，D 是 BC 中点，AB2，BC3，AC4，则 【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然 后进行数量积的运算即可 【解答】解：在ABC 中，AB2，BC3，AC4， 由余弦定理得， ，且 D 是 BC 的中点， 第 7 页（共 16 页） 故答案为： 【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意

12、义，向 量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题 10 （5 分）已知 A3，2，1，0，1，2，3，a、bA，则|a|b|的情况有 18 种 【分析】先讨论 a 的取值，得到对应 b 的值，再整体求和即可 【解答】解：当 a3，0 种， 当 a2，2 种， 当 a1，4 种； 当 a0，6 种， 当 a1，4 种； 当 a2，2 种， 当 a3，0 种， 故共有：2+4+6+4+218 故答案为：18 【点评】本题主要考查分类讨论思想在概率中的应用，属于基础题目 11 （5 分）已知 A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足0（n1，2，3） ， |n+1（n1，2，3） ，则|

13、的最小值为 【 分 析 】 可 设， 从 而 据 题 意 可 得 出， ，并设 A1（0，0） ，根据是求的最小值，从而可 得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求 出的最小值 【解答】解：设，则， 设 A1（0，0） ，如图， 求的最小值，则： A2（x，0） ， 第 8 页（共 16 页） ，当且仅当，即时 取等号， |的最小值为 故答案为： 【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，利用向量坐标解决向量问题的方法，基本不 等式求最值的方法，考查了计算能力，属于中档题 12 （5 分）已知 f（x），其反函数为 f 1（x） ，若 f1（x）af（x+a）有实数根， 则 a 的取值范围为 ，

14、+） 【分析】因为 yf 1（x）a 与 yf（x+a）互为反函数若 yf1（x）a 与 yf（x+a） 有实数根yf（x+a）与 yx 有交点方程，有根进而得出答案 【解答】解：因为 yf 1（x）a 与 yf（x+a）互为反函数， 若 yf 1（x）a 与 yf（x+a）有实数根， 则 yf（x+a）与 yx 有交点， 所以， 即 ax2x+1（x）2+， 故答案为：，+） 第 9 页（共 16 页） 【点评】本题主要考查函数的性质，函数与方程的关系，属于中档题 二、选择题（本大题共二、选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分分) 13 （5 分）计算：（ ） A

15、3 B C D5 【分析】把分子分母同时除以 5n 1，则答案可求 【解答】解：5 故选：D 【点评】本题考查数列极限的求法，是基础的计算题 14 （5 分） “”是“sin2+cos21”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分又非必要条件 【分析】容易看出，由 可得出 sin2+cos21，而反之显然不成立，从而可得出“ ”是“sin2+cos21”的充分不必要条件 【解答】解： （1）若 ，则 sin2+cos2sin2+cos21， “是“sin2+cos21“的充分条件； （2）若 sin2+cos21，则 sin2sin2，得不出 ， “”不是“sin2

16、+cos21”的必要条件， “”是“sin2+cos21”的充分非必要条件 故选：A 【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义，sin2+cos21，正 弦函数的图象，考查了推理能力，属于基础题 15 （5 分）已知椭圆+y21，作垂直于 x 轴的垂线交椭圆于 A、B 两点，作垂直于 y 轴 的垂线交椭圆于 C、D 两点，且 ABCD，两垂线相交于点 P，则点 P 的轨迹是（ ） A椭圆 B双曲线 C圆 D抛物线 【分析】利用已知条件判断轨迹是双曲线，或利用求解轨迹方程，推出结果即可 第 10 页（共 16 页） 【解答】解：AB2，CD2，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，

17、设 A（m，t） ，D（t，n） ， 所以 P（m，n） ， 因为，消去 t 可得：2n2， 故选：B 【点评】本题考查轨迹方程的求法与判断，是基本知识的考查，基础题 16 （5 分）数列an各项均为实数，对任意 nN*满足 an+3an，且行列式c 为定值，则下列选项中不可能的是（ ） Aa11，c1 Ba12，c2 Ca11，c4 Da12，c0 【分析】化简行列式，由已知条件，作差化简得 【解答】解：行列式anan+3an+1an+2c， 对任意 nN*满足 an+3an， ， 作差整理得：an+1an（常数列，c0） ，或 an+an+1+an+20， 当 an+an+1+an+20，

18、则 an+1+an+2an及， 方程 有两根 an+1，an+2， 0， 因为 B 错， 故选：B 【点评】本题考查行列式，以及方程求解，属于中档题 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分分) 第 11 页（共 16 页） 17 （14 分）已知四棱锥 PABCD，底面 ABCD 为正方形，边长为 3，PD平面 ABCD （1）若 PC5，求四棱锥 PABCD 的体积； （2）若直线 AD 与 BP 的夹角为 60，求 PD 的长 【分析】 （1）利用已知条件求出，棱锥的高，然后求解棱锥的体积即可 （2）由已知中四棱锥 PABCD 的底

19、面是边长为 3 的正方形，PD平面 ABCD异面直 线 AD 与 PB 所成角为 60，可得PBC 为直角三角形，且PBC60，BC3，代入 求出 PC 后，解直角PDC 可得答案 【解答】解： （1）PD平面 ABCD，PDDC CD3，PC5，PD4， VPABCD12， 所以四棱锥 PABCD 的体积为 12 （2）ABCD 是正方形，PD平面 ABCD， BCPD，BCCD 又PDCDD BC平面 PCD BCPC 异面直线 AD 与 PB 所成角为 60，BCAD 在 RtPBC 中，PBC60，BC3 故 PC3 在 RtPDC 中，CD3 PD3 【点评】本题考查几何体的体积，空

20、间点线面的距离的求法，考查转化思想以及空间想 象能力计算能力，是中档题 18 （14 分）已知各项均为正数的数列an，其前 n 项和为 Sn，a11 （1）若数列an为等差数列，S1070，求数列an的通项公式； 第 12 页（共 16 页） （2）若数列an为等比数列，a4，求满足 Sn100an时 n 的最小值 【分析】 （1）设等差数列的公差为 d，运用等差数列的求和公式，解方程可得 d，进而得 到所求通项公式； （2）设等比数列的公比为 q，由等比数列的通项公式可得 q，再由等比数列的求和公式， 解不等式可得 n 的最小值 【解答】解： （1）数列an为公差为 d 的等差数列，S107

21、0，a11， 可得 10+109d70，解得 d， 则 an1+（n1）n； （2）数列an为公比为 q 的等比数列，a4，a11， 可得 q3，即 q， 则 an（）n 1，S n 2（）n 1， Sn100an，即为 2（）n 1100 （ ）n 1， 即 2n101，可得 n7，即 n 的最小值为 7 【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和 运算能力，属于基础题 19 （14 分）有一条长为 120 米的步行道 OA，A 是垃圾投放点 1，若以 O 为原点，OA 为 x 轴正半轴建立直角坐标系，设点 B（x，0） ，现要建设另一座垃圾投放点 2（t，

22、0） ，函 数 ft（x）表示与 B 点距离最近的垃圾投放点的距离 （1）若 t60，求 f60（10） 、f60（80） 、f60（95）的值，并写出 f60（x）的函数解析式； （2）若可以通过 ft（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便 利问：垃圾投放点 2建在何处才能比建在中点时更加便利？ 【分析】 （1）利用题目所给定义表示出 f60（x）|60x|，|120x|min，分类讨论可得 f60（x） ； （2）利用题意可得 ft（x），表示出 ft（x）与坐标轴围 成的面积，进而表示出面积不等式，解出不等式即可 第 13 页（共 16 页） 【解答】解： （1）投

23、放点 1（120，0） ，2（60，0） ，f60（10）表示与 B（10，0）距离 最近的投放点（即 2）的距离， 所以 f60（10）|6010|50，同理分析，f60（80）|6080|20，f60（95）|120 95|25， 由题意得，f60（x）|60x|，|120x|min， 则当|60x|120x|，即 x90 时，f60（x）|60x|； 当|60x|120x|，即 x90 时，f60（x）|120x|； 综上 f60（x）； （2）由题意得 ft（x）|tx|，|120x|min， 所以 ft（x），则 ft（x）与坐标轴围成的面积如阴影部 分所示， 所以 St2+t260

24、t+3600， 由题意，SS（60） ，即t260t+36002700， 解得 20t60，即垃圾投放点 2建在（20，0）与（60，0）之间时，比建在中点时更 加便利 【点评】本题是新定义问题，考查对题目意思的理解，分类讨论是关键，属于中档题 20 （16 分）已知抛物线 y2x 上的动点 M（x0，y0） ，过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、 Q 两点，交直线 xt 于 A、B 两点 （1）若点 M 纵坐标为，求 M 与焦点的距离； （2）若 t1，P（1，1） ，Q（1，1） ，求证：yAyB为常数； （3）是否存在 t，使得 yAyB1 且 yPyQ为常数？若存在，求出 t 的所有

25、可能值，若不 存在，请说明理由 【分析】 （1）点 M 的横坐标 xM（）22，由 y2x，得 p，由此能求出 M 与焦 第 14 页（共 16 页） 点的距离 （2）设 M（） ，直线 PM：y1（x1） ，当 x1 时， 同理求出 yB，由此能证明 yAyB为常数 （3）解设 M（） ，A（t，yA） ，直线 MA：yy0（xy02） ，联立 y2 x， 得+0， 求出 yP， 同理得 yQ， 由此能求出存在 t1，使得 yAyB1 且 yPyQ为常数 1 【解答】解： （1）解：抛物线 y2x 上的动点 M（x0，y0） ， 过 M 分别作两条直线交抛物线于 P、Q 两点，交直线 xt

26、于 A、B 两点 点 M 纵坐标为， 点 M 的横坐标 xM（）22， y2x，p， M 与焦点的距离为 MF2+ （2）证明：设 M（） ，直线 PM：y1（x1） ， 当 x1 时， 直线 QM：y+1（x1） ，x1 时，yB，yAyB1， yAyB为常数1 （3）解：设 M（） ，A（t，yA） ，直线 MA：yy0（xy02） ， 联立 y2x，得+0， y0+yp，即 yP， 第 15 页（共 16 页） 同理得 yQ， yAyB1， yPyQ， 要使 yPyQ为常数，即 t1，此时 yPyQ为常数 1， 存在 t1，使得 yAyB1 且 yPyQ为常数 1 【点评】本题考查点到焦

27、点的距离的求法，考查两点纵坐标乘积为常数的证明，考查满 足两点纵坐标乘积为常数的实数值是否存在的判断与求法，考查抛物线、直线方程等基 础知识，考查运算求解能力，是中档题 21 （18 分）已知非空集合 AR，函数 yf（x）的定义域为 D，若对任意 tA 且 xD，不 等式 f（x）f（x+t）恒成立，则称函数 f（x）具有 A 性质 （1）当 A1，判断 f（x）x、g（x）2x 是否具有 A 性质； （2）当 A（0，1） ，f（x）x+，xa，+） ，若 f（x）具有 A 性质，求 a 的取值范 围； （3）当 A2，m，mZ，若 D 为整数集且具有 A 性质的函数均为常值函数，求所 有

28、符合条件的 m 的值 【分析】 （1）利用函数的单调性结合新定义，逐个判断即可； （2）依题意，为增函数，由双勾函数的图象及性质即得解； （3）由题意，f（2k）p（kZ） ，f（2n1）q（nZ） ，又为常值函数，故 f（2k） f（2n1） ，由此即可得解 【解答】解： （1）f（x）x 为减函数， f（x）f（x1） ， f（x）x 具有 A 性质； g（x）2x 为增函数， g（x）g（x1） ， g（x）2x 不具有 A 性质； （2）依题意，对任意 t（0，1） ，f（x）f（x+t）恒成立， 第 16 页（共 16 页） 为增函数（不可能为常值函数） ， 由双勾函数的图象及性质可

29、得 a1， 当 a1 时，函数单调递增，满足对任意 t（0，1） ，f（x）f（x+t）恒成立， 综上，实数 a 的取值范围为1，+） （3）D 为整数集，具有 A 性质的函数均为常值函数， 当 t2，f（x）f（x2）恒成立，即 f（2k）p（kZ） ，f（2n1）q（nZ） ， 由题意，pq，则 f（2k）f（2n1） ， 当 x2k，f（x）f（x+2n2k1） ，m2n2k1（n，kZ） ， 当 x2n1，f（x）f（x+2k2n+1） ，m2k2n+1（n，kZ） ， 综上，m 为奇数 【点评】本题以新定义为载体，考查抽象函数的性质及其运用，考查逻辑推理能力及灵 活运用知识的能力，属于中档题