【全国Ⅱ卷】2020年普通高校招生全国统一考试数学（文科）试卷（含答案解析）

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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如如 需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效写在本试卷上无效. 3考试结束后，将

2、本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合 A=x|x|1，xZ，则 AB=（ ） A. B. 3，2，2，3） C. 2，0，2 D. 2，2 2.（1i）4=（ ） A 4 B. 4 C. 4i D. 4i 3.如图，将钢琴上的 12个键依次记为 a1，a2，a12.设 1i0)的右焦点 F与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x

3、轴重直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB| （1）求 C1的离心率； （2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方程 20.如图， 已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形， 侧面 BB1C1C 是矩形， M， N分别为 BC， B1C1的中点， P为 AM 上一点过 B1C1和 P 的平面交 AB于 E，交 AC于 F （1）证明：AA1/MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F； （2）设 O为A1B1C1的中心，若 AO=AB=6，AO/平面 EB1C1F，且MPN= 3 ，求四棱锥 BEB1

4、C1F的体 积 21.已知函数 f（x）=2lnx+1 （1）若 f（x）2x+c，求 c 的取值范围； （2）设 a0时，讨论函数 g（x）= ( )( )f xf a xa 的单调性 （二）选考题：共（二）选考题：共 10分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将铅笔在答题卡上将 所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多 答按所答第一题评分答按所答第一题评分 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 2

5、2.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y ， （ 为参数） ，C2： 1, 1 xt t yt t （t为参数）. （1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 2 ( )|21|f xxaxa. （1）当2a时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若( ) 4f x ，求 a 的取值范围. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全

6、国统一考试 文科数学文科数学 注意事项：注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如如 需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，回答非选择题时，将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

7、 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的 1.已知集合 A=x|x|1，xZ，则 AB=（ ） A. B. 3，2，2，3） C. 2，0，2 D. 2，2 【答案】D 【解析】 【分析】 解绝对值不等式化简集合,A B的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为3,2, 1,0,1,2Ax xxZ ， 1,1Bx xxZx x或1,xxZ， 所以2, 2AB . 故选：D. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集

8、的定义，属于基础题. 2.（1i）4=（ ） A. 4 B. 4 C. 4i D. 4i 【答案】A 【解析】 【分析】 根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可. 【详解】 42 22 22 (1)(1) (1 2)( 2 )4iiiii . 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题. 3.如图，将钢琴上的 12个键依次记为 a1，a2，a12.设 1i0)的右焦点 F与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合过 F 且与 x 轴重直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB| （

9、1）求 C1的离心率； （2）若 C1的四个顶点到 C2的准线距离之和为 12，求 C1与 C2的标准方程 【答案】 （1） 1 2 ； （2） 1 C： 22 1 1612 xy ， 2 C： 2 8yx. 【解析】 【分析】 （1）根据题意求出 2 C的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C在第一象限，运用代入法求出 , ,A B C D点的纵坐标，根据 4 | 3 CDAB，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合 已知进行求解即可； 【详解】解： （1）因为椭圆 1 C的右焦点坐标为：(c,

10、0)F,所以抛物线 2 C的方程为 2 4ycx，其中 22 cab . 不妨设,A C在第一象限，因为椭圆 1 C的方程为： 22 22 1 xy ab ， 所以当xc时，有 222 22 1 cyb y aba ，因此 ,A B的纵坐标分别为 2 b a ， 2 b a ； 又因为抛物线 2 C的方程为 2 4ycx，所以当xc时，有 2 42yc cyc ， 所以,C D的纵坐标分别为2c，2c，故 2 2 | b AB a ，| | 4CDc. 由 4 | 3 CDAB得 2 8 4 3 b c a ，即 2 322( ) cc aa ，解得2 c a （舍去） ， 1 2 c a .

11、 所以 1 C的离心率为 1 2 . （2） 由 （1） 知2ac， 3bc ， 故 22 1 22 :1 43 xy C cc ， 所以 1 C的四个顶点坐标分别为(2 ,0)c，( 2 ,0)c， (0, 3 )c，(0,3 )c， 2 C的准线为xc. 由已知得312cccc ，即2c . 所以 1 C的标准方程为 22 1 1612 xy ， 2 C的标准方程为 2 8yx. 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的 坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力. 20.如图， 已知三棱柱 ABCA1B1C1的底面是正三角形， 侧面 BB

12、1C1C 是矩形， M， N分别为 BC， B1C1的中点， P为 AM 上一点过 B1C1和 P 的平面交 AB于 E，交 AC于 F （1）证明：AA1/MN，且平面 A1AMN平面 EB1C1F； （2）设 O为A1B1C1的中心，若 AO=AB=6，AO/平面 EB1C1F，且MPN= 3 ，求四棱锥 BEB1C1F的体 积 【答案】 （1）证明见解析； （2）24. 【解析】 【分析】 （1）由,M N分别为BC， 11 BC的中点， 1 /MN CC，根据条件可得 11 / /AABB，可证 1 MN AA/，要证平面 11 EBC F平面 1 A AMN，只需证明EF 平面 1

13、A AMN即可； （2）根据已知条件求得 1 1 EBC F S四边形 和M到PN的距离，根据椎体体积公式，即可求得 1 1 B EB C F V . 【详解】 （1）,M N分别为BC， 11 BC的中点， 1 /MN BB 又 11 / /AABB 1 /MN AA 在等边ABC中，M为BC中点，则BCAM 又侧面 11 BBCC为矩形， 1 BCBB 1 /MN BB MNBC 由MNAMM，,MN AM 平面 1 A AMN BC平面 1 A AMN 又 11/ BCBC，且 11 BC 平面ABC，BC 平面ABC， 11/ BC平面ABC 又 11 BC 平面 11 EBC F，且

14、平面 11 EBC F 平面ABCEF 11/ / BCEF /EF BC 又BC 平面 1 A AMN EF 平面 1 A AMN EF 平面 11 EBC F 平面 11 EBC F平面 1 A AMN （2）过M作PN垂线，交点为H， 画出图形，如图 /AO平面 11 EBC F AO平面 1 A AMN，平面 1 A AMN 平面 11 EBC FNP /AO NP 又/NO AP 6AONP O为 111 A B C 的中心. 11 11 sin606 sin603 33 ONAC 故：3ONAP，则33 3AMAP， 平面 11 EBC F 平面 1 A AMN，平面 11 EBC

15、 F 平面 1 AAMNNP， MH 平面 1 A AMN MH 平面 11 EBC F 又在等边ABC中 EFAP BCAM 即 3 6 2 3 3 AP BC EF AM 由（1）知，四边形 11 EBC F为梯形 四边形 11 EBC F的面积为： 1 1 11 26 =624 22 EB C F EFBC SNP 四边形 1 11 1 1 3 B EB C FEB C F VSh 四边形 ， h为M到PN的距离2 3 sin603MH， 1 24 324 3 V . 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为 求证线面垂直的证法和棱锥的

16、体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题. 21.已知函数 f（x）=2lnx+1 （1）若 f（x）2x+c，求 c 的取值范围； （2）设 a0时，讨论函数 g（x）= ( )( )f xf a xa 的单调性 【答案】 （1）1c； （2）( )g x在区间(0, )a和( , )a 上单调递减，没有递增区间 【解析】 【分析】 （1）不等式( )2f xxc转化为( )20f xxc，构造新函数，利用导数求出新函数的最大值，进而进 行求解即可； （2）对函数( )g x求导，把导函数( )g x 分子构成一个新函数 ( )m x，再求导得到( )m x ，根据( )m x 的

17、正 负，判断 ( )m x的单调性，进而确定( )g x 的正负性，最后求出函数( )g x的单调性. 【详解】 （1）函数 ( )f x的定义域为：(0,) ( )2( )202ln1 20( )f xxcf xxcxxc ， 设( )2ln12(0)h xxxc x ，则有 22(1) ( )2 x h x xx ， 当1x 时，( )0, ( )h xh x 单调递减， 当01x时，( )0, ( )h xh x 单调递增， 所以当1x 时，函数( )h x有最大值， 即 max ( )(1)2ln1 1 2 11h xhcc ， 要想不等式( )在(0,)上恒成立， 只需 max (

18、)0101h xcc ； （2） 2ln1 (2ln1)2(lnln ) ( )(0 xaxa g xx xaxa 且)xa 因此 2 2(lnln ) ( ) () xaxxxa g x x xa ，设( )2(lnln )m xxaxxxa， 则有( )2(lnln )m xax ， 当xa时，lnlnxa，所以( )0m x ， ( )m x单调递减，因此有( )( )0m xm a ，即 ( )0g x，所以( )g x单调递减； 当0xa时，lnlnxa，所以( )0m x ， ( )m x单调递增，因此有( )( )0m xm a ，即( )0g x ， 所以( )g x单调递减，

19、 所以函数( )g x在区间(0, )a和( , )a 上单调递减，没有递增区间. 【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，以及利用导数判断含参函数的单调性，考查了数学 运算能力，是中档题. （二）选考题：共（二）选考题：共 10分请考生在第分请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将铅笔在答题卡上将 所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多所选题目对应的题号方框涂黑按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多 答按所答第一题评分答按所答第一题评分 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与

20、参数方程 22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y ， （ 为参数） ，C2： 1, 1 xt t yt t （t为参数）. （1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 【答案】 （1） 1: 4Cxy； 22 2: 4Cxy； （2） 17 cos 5 . 【解析】 【分析】 （1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得

21、到所求极 坐标方程. 【详解】 （1）由 22 cossin1得 1 C的普通方程为：4xy； 由 1 1 xt t yt t 得： 22 2 22 2 1 2 1 2 xt t yt t ，两式作差可得 2 C的普通方程为： 22 4xy. （2）由 22 4 4 xy xy 得： 5 2 3 2 x y ，即 5 3 , 2 2 P ； 设所求圆圆心的直角坐标为,0a，其中0a， 则 22 2 53 0 22 aa ，解得： 17 10 a ，所求圆的半径 17 10 r ， 所求圆的直角坐标方程为： 22 2 1717 1010 xy ，即 22 17 5 xyx， 所求圆的极坐标方程为

22、 17 cos 5 . 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐 标方程等知识，属于常考题型. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 2 ( )|21|f xxaxa. （1）当2a时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若( ) 4f x ，求 a 的取值范围. 【答案】 （1） 3 2 x x 或 11 2 x ； （2） , 13, . 【解析】 【分析】 （1）分别在3x、34x和4x 三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到 2 1f xa，由此构造不等式求得结果. 【详解】 （1）当2a时， 43f xxx. 当3x时， 437 24f xxxx ，解得： 3 2 x； 当34x时， 43 14f xxx ，无解； 当4x 时， 43274f xxxx ，解得： 11 2 x； 综上所述： 4f x 的解集为 3 2 x x 或 11 2 x . （2） 2 222 2121211f xxaxaxaxaaaa （当且仅当 2 21axa 时取等号） ， 2 14a，解得：1a或3a， a的取值范围为 , 13, . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.