【全国Ⅱ卷】2020年普通高校招生全国统一考试数学（理科）试卷（含答案解析）

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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分本试卷满分 150 分分. 2.作答时，将答案写在答题卡上作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选

2、项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，则() U AB（ ） A. 2，3 B. 2，2，3 C. 2，1，0，3 D. 2，1，0，2，3 2.若 为第四象限角，则（ ） A. cos20 B. cos20 D. sin2b0)的右焦点 F与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB|. （1）求 C1的离心率； （2）设 M是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准

3、方程. 20.如图， 已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形， 侧面 BB1C1C是矩形， M， N 分别为 BC， B1C1的中点， P为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB于 E，交 AC于 F. （1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F； （2）设 O为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平面 A1AMN 所成角的正弦 值. 21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性； （2）证明： 3 3 ( ) 8 f x ； （3）设 nN*，证明：sin2xsin2

4、2xsin24xsin22nx 3 4 n n . （二）选考题：共（二）选考题：共 10分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答题中任选一题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.已知曲线 C1，C2参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y ， （ 为参数） ，C2： 1, 1 xt t yt t （t为参数）. （1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）

5、以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 2 ( )|21|f xxaxa. （1）当2a时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若( ) 4f x ，求 a 的取值范围. 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分本试卷满分 150 分分.

6、2.作答时，将答案写在答题卡上作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 U=2，1，0，1，2，3，A=1，0，1，B=1，2，则() U AB（ ） A. 2，3 B. 2，2，3 C. 2，1，0，3 D. 2，1，0，2，3 【答案】A 【解析】 【分析】 首先进行并集运

7、算，然后计算补集即可. 【详解】由题意可得：1,0,1,2AB ，则 U 2,3AB . 故选：A. 【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题. 2.若 为第四象限角，则（ ） A. cos20 B. cos20 D. sin2b0)的右焦点 F与抛物线 C2的焦点重合，C1的中心与 C2的顶点重合.过 F 且与 x 轴垂直的直线交 C1于 A，B 两点，交 C2于 C，D 两点，且|CD|= 4 3 |AB|. （1）求 C1的离心率； （2）设 M是 C1与 C2的公共点，若|MF|=5，求 C1与 C2的标准方程. 【答案】 （1） 1 2 ； （2） 22 1: 1 36

8、27 xy C， 2 2: 12Cyx. 【解析】 【分析】 （1）求出AB、CD，利用 4 3 CDAB可得出关于a、c的齐次等式，可解得椭圆 1 C的离心率的值； （2）由（1）可得出 1 C的方程为 22 22 1 43 xy cc ，联立曲线 1 C与 2 C的方程，求出点M的坐标，利用抛物 线的定义结合5MF 可求得c的值，进而可得出 1 C与 2 C的标准方程. 【详解】 （1）,0F c，ABx轴且与椭圆 1 C相交于A、B两点， 则直线AB的方程为xc， 联立 22 22 222 1 xc xy ab abc ，解得 2 xc b y a ，则 2 2b AB a ， 抛物线

9、2 C的方程为 2 4ycx，联立 2 4 xc ycx ， 解得 2 xc yc ，4CDc， 4 3 CDAB，即 2 8 4 3 b c a ， 2 23bac， 即 22 2320caca ，即 2 2320ee ， 01e Q，解得 1 2 e ，因此，椭圆 1 C的离心率为 1 2 ； （2）由（1）知2ac， 3bc ，椭圆 1 C的方程为 22 22 1 43 xy cc ， 联立 2 22 22 4 1 43 ycx xy cc ，消去y并整理得 22 316120xcxc ， 解得 2 3 xc或6xc（舍去） ， 由抛物线的定义可得 25 5 33 c MFcc，解得3c

10、 . 因此，曲线 1 C的标准方程为 22 1 3627 xy ， 曲线 2 C的标准方程为 2 12yx. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查 计算能力，属于中等题. 20.如图， 已知三棱柱 ABC-A1B1C1的底面是正三角形， 侧面 BB1C1C是矩形， M， N 分别为 BC， B1C1的中点， P为 AM 上一点，过 B1C1和 P 的平面交 AB于 E，交 AC于 F. （1）证明：AA1MN，且平面 A1AMNEB1C1F； （2）设 O为A1B1C1的中心，若 AO平面 EB1C1F，且 AO=AB，求直线 B1E与平

11、面 A1AMN 所成角的正弦 值. 【答案】 （1）证明见解析； （2） 10 10 . 【解析】 【分析】 （1）由,M N分别为BC， 11 BC的中点， 1 /MN CC，根据条件可得 11 / /AABB，可证 1 MN AA/，要证平面 11 EBC F平面 1 A AMN，只需证明EF 平面 1 A AMN即可； （2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在 11 BC截取 1 BQEP，由 （1）BC平面 1 A AMN，可得QPN为 1 B E与平面 1 A AMN所成角，即可求得答案. 【详解】 （1）,M N分别为BC， 11 BC的中点， 1

12、 /MN BB 又 11 / /AABB 1 /MN AA 在ABC中，M为BC中点，则BCAM 又侧面 11 BBCC为矩形， 1 BCBB 1 /MN BB MNBC 由MNAMM，,MN AM 平面 1 A AMN BC平面 1 A AMN 又 11/ BCBC，且 11 BC 平面ABC，BC 平面ABC， 11/ BC平面ABC 又 11 BC 平面 11 EBC F，且平面 11 EBC F 平面ABCEF 11/ / BCEF /EF BC 又BC 平面 1 A AMN EF 平面 1 A AMN EF 平面 11 EBC F 平面 11 EBC F平面 1 A AMN （2）连

13、接NP /AO平面 11 EBC F，平面AONP平面 11 EBC FNP /AO NP 根据三棱柱上下底面平行， 其面 1 ANMA平面ABC AM，面 1 ANMA平面 1111 ABCAN /ON AP 故：四边形ONPA是平行四边形 设ABC边长是6m(0m) 可得：ONAP，6NPAOABm O为 111 A B C 的中心，且 111 A B C 边长为6m 1 6 sin603 3 ONm 故： 3ONAPm /EF BC APEP AMBM 3 33 3 EP 解得：EPm 在 11 BC截取 1 BQEPm，故2QNm 1 BQEP且 1 /BQ EP 四边形 1 BQPE

14、是平行四边形， 1 /B E PQ 由（1） 11 BC 平面 1 A AMN 故QPN为 1 B E与平面 1 A AMN所成角 在RtQPN，根据勾股定理可得： 22 22 262 10PQQNPNmmm 210 sin 102 10 QNm QPN PQm 直线 1 B E与平面 1 A AMN所成角的正弦值： 10 10 . 【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面 垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题. 21.已知函数 f(x)=sin2xsin2x. （1）讨论 f(x)在区间(0，)的单调性； （2）

15、证明： 3 3 ( ) 8 f x ； （3）设 nN*，证明：sin2xsin22xsin24xsin22nx 3 4 n n . 【答案】 （1）当0, 3 x 时， 0,fxf x单调递增，当 2 , 33 x 时， 0,fxf x单调递 减，当 2 , 3 x 时， 0,fxf x单调递增.（2）证明见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性 即可； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的 不等式； (3)对所给的不等式左

16、侧进行恒等变形可得 2 22212 3 sinsinsin2sin 2 sin4sin 2sin2sin 2 nnn f xxxxxxxxx ， 然后结合(2)的结论和三角 函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得： 3 2sincosf xxx，则： 224 2 3sincossinfxxxx 222 2sin3cossinxxx 22 2sin4cos1xx 2 2sin2cos1 2cos1xxx， 0fx 在0,x上的根为： 12 2 , 33 xx ， 当0, 3 x 时， 0,fxf x单调递增， 当 2 , 33 x 时， 0,fxf x单调递

17、减， 当 2 , 3 x 时， 0,fxf x单调递增. (2)注意到 22 sinsin 2sinsin2f xxxxxf x ， 故函数 f x是周期为的函数， 结合(1)的结论，计算可得： 00ff， 2 333 3 3228 f ， 2 2333 3 3228 f ， 据此可得： max 3 3 8 f x ， min 3 3 8 f x ， 即 3 3 8 f x . (3)结合(2)的结论有： 2222 sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx 2 3333 3 sinsin 2 sin 4sin 2nxxxx 2 22212 3 sinsinsin2sin 2 sin4s

18、in 2sin2sin 2 nnn xxxxxxxx 2 3 2 3 33 33 3 sinsin 2 888 n xx 2 3 3 3 8 n 3 4 n . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数 的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2) 利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决 生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用 （二）选考题：共（二）选考题：共 10分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题

19、作答题中任选一题作答.并用并用 2B 铅笔将所选题号涂黑，铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分如果多做，则按所做的第一题计分. 选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.已知曲线 C1，C2的参数方程分别为 C1： 2 2 4cos 4sin x y ， （ 为参数） ，C2： 1, 1 xt t yt t （t为参数）. （1）将 C1，C2的参数方程化为普通方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设 C1，C2的交点为 P，求圆心在极轴上，且经过 极点和 P 的圆的极坐标方程. 【答案

20、】 （1） 1: 4Cxy； 22 2: 4Cxy； （2） 17 cos 5 . 【解析】 【分析】 （1）分别消去参数和t即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极 坐标方程. 【详解】 （1）由 22 cossin1得 1 C的普通方程为：4xy； 由 1 1 xt t yt t 得： 22 2 22 2 1 2 1 2 xt t yt t ，两式作差可得 2 C的普通方程为： 22 4xy. （2）由 22 4 4 xy xy 得： 5 2 3 2 x y ，即 5 3 , 2 2 P ； 设所求圆圆心的直角坐

21、标为,0a，其中0a， 则 22 2 53 0 22 aa ，解得： 17 10 a ，所求圆的半径 17 10 r ， 所求圆的直角坐标方程为： 22 2 1717 1010 xy ，即 22 17 5 xyx， 所求圆的极坐标方程为 17 cos 5 . 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐 标方程等知识，属于常考题型. 选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲 23.已知函数 2 ( )|21|f xxaxa. （1）当2a时，求不等式( ) 4f x 的解集； （2）若( ) 4f x ，求 a 的取值范围. 【答案】 （1） 3

22、2 x x 或 11 2 x ； （2） , 13, . 【解析】 【分析】 （1）分别在3x、34x和4x 三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到 2 1fxa，由此构造不等式求得结果. 【详解】 （1）当2a时， 43f xxx. 当3x时， 43724f xxxx ，解得： 3 2 x； 当34x时， 43 14f xxx ，无解； 当4x 时， 43274f xxxx ，解得： 11 2 x； 综上所述： 4f x 的解集为 3 2 x x 或 11 2 x . （2） 2 222 2121211f xxaxaxaxaaaa （当且仅当 2 21axa 时取等号） ， 2 14a，解得：1a或3a， a的取值范围为 , 13, . 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.