【全国III卷】2020年普通高校招生全国统一考试数学（文科）试卷（含答案解析）

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1、2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学文科数学 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上 无效无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

2、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. 1.已知集合 1235711A ， ， ， ， ，315|Bxx ，则 AB中元素的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2.若1 1 zii，则 z=（ ） A. 1i B. 1+i C. i D. i 3.设一组样本数据 x1，x2，xn的方差为 0.01，则数据 10x1，10x2，10xn的方差为（ ） A. 0.01 B. 0

3、.1 C. 1 D. 10 4.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎 累计确诊病例数 I(t)(t的单位：天)的 Logistic 模型： 0.23(53) ( )=1 e t I K t ，其中 K 为最大确诊病例数当 I( * t )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 * t 约为（ ） （ln193） A. 60 B. 63 C. 66 D. 69 5.已知 sinsin= 3 1 ，则 sin= 6 （ ） A. 1 2 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 2 6.在平面内，A，B 是两个定点，C是动点，若=1AC

4、 BC，则点 C 的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 直线 7.设 O为坐标原点， 直线 x=2 与抛物线 C： y2=2px(p0)交于 D， E两点， 若 ODOE， 则 C的焦点坐标为 （ ） A. （ 1 4 ，0） B. （ 1 2 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 8.点(0，1)到直线1yk x距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A. 6+4 2 B. 4+4 2 C. 6+2 3 D. 4+2 3 10.设 a=log32，b=log53，c= 2 3 ，则（ ）

5、A. a0)的一条渐近线为 y=2x，则 C 的离心率为_ 15.设函数 e ( ) x f x xa 若(1) 4 e f ，则 a=_ 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_ 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.设等比数列an满足 12 4aa， 31

6、 8aa （1）求an的通项公式； （2）记 n S为数列log3an前 n 项和若 13mmm SSS ，求 m 18.某学生兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得 到下表（单位：天） ： 锻炼人次 空气质量等级 0，200 (200，400 (400，600 1（优） 2 16 25 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）若某天的空气质量

7、等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3或 4，则称这天 “空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 2 2列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一 天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ， P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 19.如图，长方体 1111 ABCDABC D中， 点E，F分别在棱 1 DD， 1 BB上， 且 1 2DEED， 1 2BFFB

8、 证 明： （1）当ABBC时，EFAC； （2）点 1 C在平面AEF内 20.已知函数 32 ( )f xxkxk （1）讨论 ( )f x 单调性； （2）若 ( )f x有三个零点，求k的取值范围 21.已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为C的左、右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且| | |BPBQ ，BPBQ，求APQ的面积 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计

9、分. 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 2 2 2 2 xtt ytt ， (t为参数且 t1)，C 与坐标轴交于 A，B 两点. （1）求|AB|： （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程. 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1 （1）证明：ab+bc+ca0)交于 D， E两点， 若 ODOE， 则 C的焦点坐标为 （ ） A. （ 1 4 ，0） B. （ 1 2 ，0） C. （1，0） D. （2，0） 【答案】B

10、 【解析】 【分析】 根据题中所给的条件ODOE，结合抛物线的对称性，可知 4 COxCOx ，从而可以确定出点D 的坐标，代入方程求得p的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线2x与抛物线 2 2(0)ypx p交于 ,C D两点，且OD OE， 根据抛物线的对称性可以确定 4 DOxCOx ，所以(2,2)C， 代入抛物线方程44p，求得1p ，所以其焦点坐标为 1 ( ,0) 2 ， 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性， 点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 8.点(0，1)到直线1yk x

11、距离的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据直线方程判断出直线过定点( 1,0)P ，设(0, 1)A，当直线(1)yk x与AP垂直时，点A到直 线(1)yk x距离最大，即可求得结果. 【详解】由(1)yk x可知直线过定点( 1,0)P ，设(0, 1)A， 当直线(1)yk x与AP垂直时，点A到直线(1)yk x距离最大， 即为|2AP . 故选：B. 【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解 题的关键，属于基础题. 9.下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A

12、. 6+4 2 B. 4+4 2 C. 6+2 3 D. 4+2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形，求出每个面的面积，即可求得其表面积. 【详解】根据三视图特征，在正方体中截取出符合题意的立体图形 根据立体图形可得： 1 2 22 2 ABCADCCDB SSS 根据勾股定理可得： 2 2ABADDB ADB是边长为2 2的等边三角形 根据三角形面积公式可得： 2 113 sin60(2 2)2 3 222 ADB SAB AD 该几何体的表面积是： 2 362 33 2 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了根据三视图求立体图形的表面积

13、问题， 解题关键是掌握根据三视图画出立体图形， 考查了分析能力和空间想象能力，属于基础题. 10.设 a=log32，b=log53，c= 2 3 ，则（ ） A. a0)的一条渐近线为 y=2x，则 C 的离心率为_ 【答案】 3 【解析】 【分析】 根据已知可得2 b a ，结合双曲线中, ,a b c的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程 22 22 1 xy ab 可得其焦点在x轴上， 因为其一条渐近线为2yx， 所以2 b a ， 2 2 13 cb e aa . 故答案为：3 【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所 在位置，属

14、于基础题. 15.设函数 e ( ) x f x xa 若(1) 4 e f ，则 a=_ 【答案】1 【解析】 【分析】 由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数 a的方程，解方程即可确定实数 a 的值 【详解】由函数的解析式可得： 22 1 xxx exaeexa fx xaxa ， 则： 1 22 11 1 11 eaae f aa ，据此可得： 2 4 1 aee a ， 整理可得： 2 210aa ，解得： 1a . 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题. 16.已知圆锥底面半径为 1，母线长为 3，则该圆锥内半径最大

15、的球的体积为_ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 将原问题转化为求解圆锥内切球的问题，然后结合截面确定其半径即可确定体积的值. 【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中2,3BCABAC，且点 M为 BC边上的中点， 设内切圆的圆心为O， 由于 22 312 2AM ，故 1 2 2 22 2 2 S ABC ， 设内切圆半径为r，则： ABCAOBBOCAOC SSSS 111 222 ABrBCrACr 1 3322 2 2 r ， 解得： 2 2 r =，其体积： 3 42 33 Vr . 故答案为： 2 3 . 【点睛】与球有关的组合体问题，一种

16、是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的 位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中 心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于 球的直径. 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，每个题为必考题，每个 试题考生都必须作答试题考生都必须作答.第第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分. 17.设

17、等比数列an满足 12 4aa， 31 8aa （1）求an的通项公式； （2）记 n S为数列log3an的前 n项和若 13mmm SSS ，求 m 【答案】 （1） 1 3 n n a； （2）6m. 【解析】 【分析】 （1）设等比数列 n a的公比为q，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式； （2）由（1）求出 3 log n a的通项公式，利用等差数列求和公式求得 n S，根据已知列出关于m的等量关系 式，求得结果. 【详解】 （1）设等比数列 n a的公比为q， 根据题意，有 11 2 11 4 8 aa q a qa ，解得 1 1 3 a q ， 所以 1

18、3 n n a； （2）令 3 1 3 loglog 31 n nn ban ， 所以 (01)(1) 22 n nnn n S ， 根据 13mmm SSS ，可得 (1)(1)(2)(3) 222 m mm mmm ， 整理得 2 560mm，因为0m，所以6m， 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力， 属于基础题目. 18.某学生兴趣小组随机调查了某市 100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得 到下表（单位：天） ： 锻炼人次 空气质量等级 0，200 (200，400 (400，600 1（优） 2 16 2

19、5 2（良） 5 10 12 3（轻度污染） 6 7 8 4（中度污染） 7 2 0 （1）分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） ； （3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3或 4，则称这天 “空气质量不好”根据所给数据，完成下面的 2 2列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的把握认为一 天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？ 人次400 人次400 空气质量好 空气质量不好 附： 2 2 () ()()()() n ad

20、bc K ab cd ac bd ， P(K2k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】 （1）该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率分别为0.43、0.27、0.21、0.09； （2） 350； （3）有，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据频数分布表可计算出该市一天的空气质量等级分别为1、2、3、4的概率； （2）利用每组的中点值乘以频数，相加后除以100可得结果； （3）根据表格中的数据完善22列联表，计算出 2 K 的观测值，再结合临界值表可得结论. 【详解】 （1）由频数分布表可知，该市一天空气质量等级为1的概率为

21、 2 1625 0.43 100 ，等级为2的 概率为 5 10 12 0.27 100 ，等级为3的概率为 678 0.21 100 ，等级为4的概率为 720 0.09 100 ； （2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100 20 300 35500 45 350 100 （3）22列联表如下： 人次400 人次400 空气质量不好 33 37 空气质量好 22 8 2 2 10033 837 22 5.8203.841 55 45 70 30 K ， 因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关. 【点睛】本题考查利用频数分布表计算频率和

22、平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能 力，属于基础题. 19.如图， 在长方体 1111 ABCDABC D中， 点E，F分别在棱 1 DD， 1 BB上， 且 1 2DEED ， 1 2BFFB 证 明： （1）当ABBC时，EFAC； （2）点 1 C在平面AEF内 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1） 根据正方形性质得ACBD， 根据长方体性质得 1 ACBB,进而可证AC 平面 11 BB D D,即得结果； （2）只需证明 1/ ECAF即可，在 1 CC上取点M使得 1 2CMMC,再通过平行四边形性质进行证明即可. 【详解】

23、 （1）因为长方体 1111 ABCDABC D,所以 1 BB平面ABCD 1 ACBB, 因为长方体 1111, ABCDABC D ABBC,所以四边形ABCD为正方形ACBD 因为 11 ,BBBDB BBBDI、平面 11 BB D D,因此AC 平面 11 BB D D, 因为EF 平面 11 BB D D,所以ACEF； （2）在 1 CC上取点M使得 1 2CMMC,连,DM MF, 因为 11111 2,/,=DEED DD CC DD CC,所以 11 ,/,EDMC ED MC 所以四边形 1 DMC E为平行四边形， 1 /DM EC 因为/,=,MF DA MF DA

24、所以四边形MFAD为平行四边形， 1 /,/DM AFECAF 因此 1 C在平面AEF内 【点睛】本题考查线面垂直判定定理、线线平行判定，考查基本分析论证能力，属中档题. 20.已知函数 32 ( )f xxkxk （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）若 ( )f x有三个零点，求k的取值范围 【答案】 （1）详见解析；(2) 4 (0,) 27 . 【解析】 【分析】 （1） 2 ( )3fxxk，对k分0k 和0k 两种情况讨论即可； （2） ( )f x有三个零点，由（1）知 0k ，且 ()0 3 ()0 3 k f k f ，解不等式组得到k的范围，再利用零点存在 性定理加以

25、说明即可. 【详解】 （1）由题， 2 ( )3fxxk， 当0k 时， ( ) 0fx 恒成立，所以 ( )f x在(,) 上单调递增； 当0k 时，令 ( ) 0fx ，得 3 k x ，令 ( ) 0fx ，得 33 kk x， 令 ( ) 0fx ，得 3 k x 或 3 k x ，所以 ( )f x在( ,) 33 kk 上单调递减，在 (,) 3 k ，(,) 3 k 上单调递增. （2）由（1）知， ( )f x有三个零点，则 0k ，且 ()0 3 ()0 3 k f k f 即 2 2 2 0 33 2 0 33 k kk k kk ，解得 4 0 27 k， 当 4 0 2

26、7 k时， 3 k k ，且 2 ()0fkk， 所以 ( )f x在( ,) 3 k k上有唯一一个零点， 同理1 3 k k ， 32 (1)(1)0fkkk ， 所以 ( )f x在( 1,) 3 k k 上有唯一一个零点， 又 ( )f x在( ,) 33 kk 上有唯一一个零点，所以 ( )f x有三个零点， 综上可知k的取值范围为 4 (0,) 27 . 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推 理能力、数学运算能力，是一道中档题. 21.已知椭圆 22 2 :1(05) 25 xy Cm m 的离心率为 15 4 ，A，B分别为

27、C的左、右顶点 （1）求C的方程； （2）若点P在C上，点Q在直线6x上，且| | |BPBQ ，BPBQ，求APQ的面积 【答案】 （1） 22 16 1 2525 xy ； （2） 5 2 . 【解析】 【分析】 （1）因为 22 2 :1(05) 25 xy Cm m ，可得5a，bm，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案； （2）点P在C上，点Q在直线6x上，且| | |BPBQ ，BPBQ，过点P作x轴垂线，交点为M，设 6x与x轴交点为N，可得PMBBNQ，可求得P点坐标，求出直线AQ的直线方程，根据点到 直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ的面积. 【详解】 （1） 22

28、 2 :1(05) 25 xy Cm m 5a，bm， 根据离心率 22 15 4 11 5 cbm e aa ， 解得 5 4 m 或 5 4 m (舍)， C的方程为： 22 2 1 4 25 5 xy ， 即 22 16 1 2525 xy ； （2）点P在C上，点Q在直线6x上，且| | |BPBQ ，BPBQ， 过点P作x轴垂线，交点为M，设6x与x轴交点为N 根据题意画出图形，如图 | |BPBQ ，BPBQ，90PMBQNB ， 又90PBMQBN，90BQNQBN， PBMBQN ， 根据三角形全等条件“AAS” ， 可得：PMBBNQ， 22 16 1 2525 xy ， (

29、5,0)B ， 6 51PMBN ， 设P点为(,) PP xy， 可得P点纵坐标为1 P y ，将其代入 22 16 1 2525 xy ， 可得： 2 16 1 2525 P x ， 解得：3 P x 或3 P x ， P点为(3,1)或( 3,1) ， 当P点为(3,1)时， 故5 32MB ， PMBBNQ， | | 2MBNQ ， 可得：Q点为(6,2)， 画出图象，如图 ( 5,0)A ,(6,2)Q， 可求得直线AQ的直线方程为：211100xy， 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为： 22 2 3 11 1 1055 5125 211 d ， 根据两点间距离公式可得：

30、 22 65205 5AQ ， APQ面积为： 155 5 5 252 ； 当P点为( 3,1)时， 故5+38MB ， PMBBNQ， | | 8MBNQ ， 可得：Q点为(6,8)， 画出图象，如图 ( 5,0)A (6,8)Q ， 可求得直线AQ的直线方程为：811400xy， 根据点到直线距离公式可得P到直线AQ的距离为： 22 8311 1 405 5 185185 811 d ， 根据两点间距离公式可得： 22 658 0185AQ ， APQ面积为： 155 185 22185 ， 综上所述，APQ面积为： 5 2 . 【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题

31、关键是掌握椭圆的离心率定义和数形 结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23题中任选一题作答题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题如果多做，则按所做的第一题 计分计分. 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为 2 2 2 2 xtt ytt ， (t为参数且 t1)，C 与坐标轴交于 A，B 两点. （1）求|AB|： （2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程. 【答案】 （1）4 10（

32、2）3 cossin120 【解析】 【分析】 （1）由参数方程得出,A B的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB的值； （2）由,A B坐标得出直线AB的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】 （1）令0x，则 2 20tt ，解得 2t 或1t （舍） ，则26412y ，即(0,12)A. 令0y ，则 2 320tt，解得2t 或1t （舍） ，则2244x ，即 ( 4,0)B . 22 (04)(120)4 10AB； （2）由（1）可知 120 3 0( 4) AB k ， 则直线AB的方程为3(4)yx，即3120xy. 由cos ,sinxy可得，直线AB的极坐标

33、方程为3 cossin120. 【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题. 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.设 a，b，cR，a+b+c=0，abc=1 （1）证明：ab+bc+ca0； （2）用 maxa，b，c表示 a，b，c 中的最大值，证明：maxa，b，c 3 4 【答案】 （1）证明见解析（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）由 2222 ()2220abcabcabacbc 结合不等式的性质，即可得出证明； （2）不妨设max , , a b ca，由题意得出0, ,0ab c，由 2 22 32 2bcbcbc

34、 aaa bcbc ，结 合基本不等式，即可得出证明. 【详解】 （1） 2222 ()2220abcabcabacbc ， 222 1 2 abbccaabc . , ,a b c均不为0，则 222 0abc， 222 1 2 0abbccaabc ； （2）不妨设max , , a b ca， 由0,1abcabc可知，0,0,0abc， 1 ,abc a bc ， 2 22 32 222 4 bcbcbcbcbc aaa bcbcbc . 当且仅当bc时，取等号， 3 4a ，即 3 max , , 4a b c . 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.