2020年浙江省中考数学分类汇编专题11 图形的相似(含解析)
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1、 2020 年浙江省中考数学分类汇编专题年浙江省中考数学分类汇编专题 11 图形的相似图形的相似 一、单选题一、单选题 1.如图,在 RtABC 中,ACB=90 ,以其三边为边向外作正方形,过点 C 作 CRFG 于点 R, 再过点 C 作 PQCR 分别交边 DE,BH 于点 P,Q。若 QH=2PE,PQ=15,则 CR 的长为( ) A. 14 B. 15 C. 8 D. 6 2.如图,三角板在灯光照射下形成投影,三角板与其投影的相似比为 2:5,且三角板的一边长为 8cm,则投影三角板的对应边长为( ) 21 世纪教育网版权所有 A. 20cm B. 10cm C. 8cm D. 3
2、.2cm 3.如图,在直角坐标系中, OAB 的顶点为 O(0,0),A(4,3),B(3,0)。以点 O 为位似中心,在 第三象限内作与 OAB 的位似比为 的位似图形 OCD,则点 C 坐标为( ) A. (-1,-1). B. (,-1) C. (-1, ) D. (-2,-1). 4.如图, 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”, 得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH.连结 EG, BD 相交于点 O,BD 与 HC 相交于点 P.若 GO=GP,则 的值是( ) A. B. C. D. 二、填空题二、填空题 5.如图,在河对岸有一矩形场地 ABCD,为了估测场地大小,在笔直的河岸
3、 l 上依次取点 E,F,N, 使 AEl,BFl,点 N,A,B 在同一直线上。在 F 点观测 A 点后,沿 FN 方向走到 M 点.观测 C 点发现1=2。测得 EF=15 米,FM=2 米,MN=8 米,ANE=45 ,则场地的边 AB 为_ 米,BC 为_米。 6.在每个小正方形的边长为 1 的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角 形称为格点三角形,如图,已知 Rt ABC 是 6 6 网格图形中的格点三角形,则该图中所有与 Rt ABC 相似的格点三角形中,面积最大的三角形的斜边长是_. 2 1 c n j y 7.如图是一张矩形纸片,点 E 在 AB 边上,
4、把 BCE 沿直线 CE 对折, 使点 B 落在对角线 AC 上 的点 F 处,连接 DF。若点 E,F,D 在同一条直线上,AE=2,则 DF=_,BE=_。 三、综合题三、综合题 8.已知在 ABC 中,ACBCm,D 是 AB 边上的一点,将B 沿着过点 D 的直线折叠,使点 B 落在 AC 边的点 P 处(不与点 A,C 重合) ,折痕交 BC 边于点 E. 21世纪*教育网 (1)特例感知:如图 1,若C60 ,D 是 AB 的中点,求证:AP AC; (2)变式求异:如图 2,若C90 ,m ,AD7,过点 D 作 DHAC 于点 H,求 DH 和 AP 的长; 2-1-c-n-j
5、-y (3)化归探究:如图 3,若 m10,AB12,且当 ADa 时,存在两次不同的折叠,使点 B 落 在 AC 边上两个不同的位置,请直接写出 a 的取值范围. 21*cnjy*com 9.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上, 连接 AE、DAE 的平分线 AG 与 CD 边交于点 G,与 BC 的延长线交于点 F,设 =(0)。 (1)若 AB=2,=1,求线段 CF 的长。 (2)连接 EG,若 EGAF, 求证:点 G 为 CD 的中点。 求 的值。 10.如图,在 ABC 中,点 D,E,F 分别在 AB,BC,AC 边上,DEAC,EFAB。 (1)求证 BDE
6、 EFC。 (2)设 若 BC=12,求线段 BE 的长。 若 EFC 的面积是 20,求 ABC 的面积。 11.【性质探究】 如图, 在矩形 ABCD 中, 对角线 AC, BD 相交于点 O, AE 平分BAC, 交 BC 于点 E。 作 DFAE 于点 H,分别交 AB,AC 于点 F,G。 (1)判断 AFG 的形状并说明理由。 (2)求证:BF=2OG。 (3) 【迁移应用】 记 DGO 的面积为 S1 , DBF 的曲积为 S2 , 当 时,求 的值。 (4) 【拓展延伸】 若 DF 交射线 AB 于点 F, 【性质探究】 中的其余条件不变, 连结 EF。 当 BEF 的面积为矩
7、形 ABCD 面积的 时,请直接写出 tanBAE 的值。 12.如图 1,矩形 DEFG 中,DG=2,DE=3,Rt ABC 中,ACB=90 ,CA=CB=2,FG,BC 的延 长线相交于点 O,且 FGBC,OG=2,OC=4。将 ABC 绕点 O 逆时针旋转 (0180)得到 ABC。 (1)当 =30时,求点 C到直线 OF 的距离。 (2)在图 1 中,取 AB的中点 P,连结 CP,如图 2。 当 CP 与矩形 DEFG 的一条边平行时,求点 C到直线 DE 的距离。 当线段 AP 与矩形 DEFG 的边有且只有一个交点时,求该交点到直线 DG 的距离的取值范围。 13.如图
8、(1) 【基础巩固】 如图 1,在 ABC 中,D 为 AB 上一点,ACD=B.求证: . (2) 【尝试应用】 如图 2,在 中,E 为 BC 上一点,F 为 CD 延长线上一点,BFE=A.若 BF=4,BE=3, 求 AD 的长. (3) 【拓展提高】 如图 3,在菱形 ABCD 中,E 是 AB 上一点,F 是 ABC 内一点,EFAC,AC=2EF, ,AE=2,DF=5,求菱形 ABCD 的边长.21 cn jy com 14.如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴上,分别过 OB, OC 的中点 D,E 作 AE,AD 的平行线,相交于点 F
9、, 已知 OB=8. (1)求证:四边形 AEFD 为菱形. (2)求四边形 AEFD 的面积. (3)若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 D),点 Q 在 y 轴上,平面内是否存在点 G,使得以点 A,P, Q,G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,试说明理由. 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.答案: A 解:如图,连接 , 设 交 于 四边形 ,四边形 都是正方形, , , , , , , 共线, , , 共线, , , , , , , , , , ,设 , , , , , , 四边形 是平行四边形, , , , (负根已经舍弃) ,
10、, , , , , , 故答案为: 【分析】 连接EC, CH, 设AB交CR于点J, 利用正方形的性质, 易证ACE=45 , ACB=BCI=90 , 据此利用推出点 B,C,H 共线,点 A,C,I 共线,再证明 ECPHCQ,利用相似三角形的对 应边成比例,求出 PC,CQ 的长,利用平行四边形的判定可证得四边形 ABQC 是平行四边形,利 用平行四边形的性质,可得到 AB,CQ 的长,利用勾股定理建立关于 a 的方程,解方程求出 AC, BC 的长,然后利用三角形的面积求出 CJ 的长,继而可求出 CR 的长。21 教育网 2.答案: A 解:设投影三角尺的对应边长为 , 三角尺与投
11、影三角尺相似, , 解得 故答案为:A 【分析】由题意可知三角尺与投影三角尺相似,再利用相似三角形的对应边成比例就可求出投影 三角尺的对应边的长。www.21-cn- 3.答案: B 解:过点 A 作 AEx 轴于点 E,过点 C 作 CFx 轴于点 F, 由题意可知 ODCOBA ODC 和 OBA 的位似比为 , 解之: 点 C 在第三象限 . 故答案为:B. 【分析】过点 A 作 AEx 轴于点 E,过点 C 作 CFx 轴于点 F,利用位似三角形的两个三角形 相似,可证得 ODC OBA,利用相似三角形的性质,分别求出 CF,OF 的长,即可得到点 C 的坐标。【来源:21世纪教育网】
12、 4.答案: B 解:设 AF=y,BF=x, 正方形 EFGH 的边长 GH=y-x, EG=GF=(y-x), 正方形 ABCD 的面积为 x2+y2 , 正方形 EFGH 的面积为(y-x)2 , EDBG,EDO=GBO, ED=BG,EOD=BOG, EODGOB, EO=GO, GO=EG=(y-x), GP=GO, GP=(y-x) , GH:GP=, PH:PG= DHGB, DHPBGH, , 即得, x=()y . 故答案为:B. 【分析】设 AF=y,BF=x,可得正方形 EFGH 的边长 GH=y-x,即得 EG=GF=(y-x),根 据正方形的面积公式可得正方形 AB
13、CD 的面积为 x2+y2 , 正方形 EFGH 的面积为 (y-x) 2 , 先 证 EODGOB,可得 EO=GO,可得 GO=EG=(y-x) ,从而可得 GP=GO=(y-x) , 从而可得 PH:PG=, 由于 DHGB,可得 DHPBGH,利用相似三角形对应边成比例 可得 DH:GB=x:y=, 代入正方形的面积进行计算即得结论.【来源:21cnj*y.co*m】 二、填空题 5.答案: 15 ;20 解: , , , 和 是等腰直角三角形, , , 米, 米, 米, (米 , (米 , , , (米 ; 过 作 于 ,过 作 交 于 ,交 于 , , 四边形 和四边形 是矩形,
14、, , , , , , , 设 , , , , , , , , , , , , , 故答案为: , 【分析】根据题意易证ANE 和 BNF 是等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质,可证得 AE=EN,BF=FN,由此可求出 AE,BF 的长,利用解直角三角形求出 AN,BN 的长,再根据 AB=AN-BN 求出 AB 的长;过点 C 作 CHl 于点 H,过点 B 作 PQl,交 AE 于点 P,交 CH 于 点 Q,利用矩形的判定和性质,可得到 EF,QH 的长,再证明 AEFCHM,利用相似三角形 的对应边成比例可得到 CH 与 HM 的比值,设 MH=3x,CH=5x,用含 x 的代
15、数式表示出 CQ,BQ 的长,然后证明 APBBQC,利用相似三角形的对应边成比例建立关于 x 的方程,解方程求 出 x 的值,即可得到 BQ 的长,从而可求出 BC 的长。21 教育名师原创作品 6.答案: 解: 在 中, , , , , 与 相似的格点三角形的两直角边的比值为 , 若该三角形最短边长为 4,则另一直角边长为 8,但在 网格图形中,最长线段为 ,但此 时画出的直角三角形为等腰直角三角形,从而画不出端点都在格点且长为 8 的线段,故最短直角 边长应小于 4,在图中尝试,可画出 , , 的三角形, , , , 此时 的面积为: , 为面积最大的三角形,其斜边长为: . 故答案为:
16、 . 【分析】利用勾股定理可求出 AB 的长,就可得到 ABC 的两直角边之比,分情况进行讨论,利 用相似三角形的判定和性质,可以画出符合题意的三角形。21*cnjy*com 7.答案: 2;-1 解:点 E,F,D 在一条直线上 DFC=CFE=EBC=90 CDF+DCF=90 又ADF+CDF=90 ADF=DCF 把 BCE 沿直线 CE 对折,使点 B 落在对角线 AC 上的点 F 处 BC=CF=AD 在 ADE 和 FCD 中, AD=CF ADF=DCF DFC=DAE ADEFCD DF=AE=2 设 BE=X 则 EF=X AEF=AED AFE=DAE=90 AFEDAE
17、 AE2=EF DE X(X+2)=4 X +2X-4=0 解得:x= -1 或 x=- -1(舍去) 故答案为:2; -1. 【分析】利用余角的性质可证得ADF=DCF ,再利用折叠的性质,可得到 BC=CF=AD,由此 可证得 ADEFCD,利用全等三角形的对应边相等,可得到 AE 的长,然后证明 AFEDAE,利用相似三角形的对应边成比例,就可求出 x 的值,即可得到 DF,BE 的长。 三、综合题 8.答案: (1)证明AC=BC,C=60 , ABC 是等边三角形, AC=AB,A=60 , 由题意,得 DB=DP,DA=DB, DA=DP,ADP 是等边三角形 AP=AD= AB=
18、 AC (2)解: , , , , , , , , , , 将 沿过点 的直线折叠, 情形一:当点 落在线段 上的点 处时,如图 中, , , , , 情形二:当点 落在线段 上的点 处时,如图 中, 同法可证 , , 综上所述,满足条件的 的值为 或 . (3)如图 3 中,过点 作 于 ,过点 作 于 . , , , , 当 时,设 ,则 , , , , , 观察图形可知当 时,存在两次不同的折叠,使点 落在 边上两个不同的位置. 【分析】 (1)根据有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形,易证 ABC 是等边三角形,利 用等边三角形的性质,可得到 AC=AB,A=60 ,再证明 A
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