2020年中考数学复习之动态问题 专题01 动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)
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1、 专题专题 01 动点问题中的最值、最短路径问题动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点,它贯穿于整个初中数学,自数轴起始,至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值,函数的综合类题目,无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变,而其中又有一些 技巧性很强的数学思想(转化思想) ,本专题以几个基本的知识点为经,以历年来中考真题为纬,由浅入深 探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述一、基础知识点综述 1. 两点之间,线段最短; 2. 垂线段最短; 3. 若 A、 B 是平面直角坐标系内两定点, P 是某直线上一动
2、点, 当 P、 A、 B 在一条直线上时,PAPB 最大,最大值为线段 AB 的长(如下图所示) ; 4. 最短路径模型 (1)单动点模型 作图方法:作已知点关于动点所在直线的对称点,连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示,P 是 x 轴上一动点,求 PA+PB 的最小值的作图. (2)双动点模型 x y A B l P P O x y A B P A P P 是AOB 内一点,M、N 分别是边 OA、OB 上动点,求作PMN 周长最小值. 作图方法:作已知点 P 关于动点所在直线 OA、OB 的对称点 P、P,连接 PP与动点所在直线的交 点 M、N 即为所求. 5.
3、 二次函数的最大(小)值 2 ya xhk,当 a0 时,y 有最小值 k;当 a0,Q 点在第四象限, 2 222 2 AMQMAMQM 所以只要构造出 2 2 AMQM 即可得到22AMQM的最小值 取 N(1,0) ,连接 AN,过 M 作 MGAN 于 G,连接 QM,如图所示, AGM 为等腰直角三角形, GM= 2 2 AM,即当 G、M、Q 三点共线时,GM+MQ 取最小值,即22AMQM取最小值, 此时MQH 为等腰直角三角形, QM=2QH= 3 2 24 b ,GM= 2 2 AM= 2 1 2 m 22333 2 222=212 22244 b AMQMAMQMm QH=
4、MH, 3 24 b = 1 2 bm,解得:m= 1 24 b 联立得:m= 7 4 ,b=4. 即当22AMQM的最小值为 33 2 4 时,b=4. 【点睛】此题需要利用等腰直角三角形将22AMQM转化为 2 2 2 AMQM ,进而根据两点 之间线段最短及等腰三角形性质求解. 例例 5. (2019舟山)如图,一副含 30 和 45 角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上,边AC与EF 重合,12ACcm当点E从点A出发沿AC方向滑动时,点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动当 点E从点A滑动到点C时,点D运动的路径长为 cm;连接BD,则ABD的面积最大值为 2 cm 【答案】24-1
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