1.3 三角函数的诱导公式（二）学案（含答案）

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1、 1.3 三角函数的诱导公式三角函数的诱导公式(二二) 学习目标 1.掌握诱导公式五、六的推导，并能应用于解决简单的求值、化简与证明问题. 2.对诱导公式一至六，能作综合归纳，体会出六组公式的共性与个性，培养由特殊到一般的 数学推理意识和能力 知识点一 诱导公式五 诱导公式五 sin 2 cos ， cos 2 sin . 知识点二 诱导公式六 诱导公式六 sin 2 cos ， cos 2 sin . 知识点三 诱导公式的推广与规律 1sin 3 2 cos ，cos 3 2 sin ， sin 3 2 cos ，cos 3 2 sin . 2诱导公式记忆规律： 公式一四归纳：2k(kZ)，

2、 的三角函数值，等于角 的同名三角函数值，前 面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名不变，符号看象限” 公式五六归纳： 2 的正弦(余弦)函数值，分别等于 的余弦(正弦)函数值，前面加上一个 把 看成锐角时原函数值的符号，简记为：“函数名改变，符号看象限”或“正变余、余变 正、符号象限定” 六组诱导公式可以统一概括为“k 2 (kZ)”的诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限其中“奇、偶”是指 k 2 (kZ)中 k 的奇偶性，当 k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当 k 为偶数时，函数名不变“符号”看的应该是诱 导公式中，把 看成锐角时原函数值的符号，而不是 函数值

3、的符号 1诱导公式五、六中的角 只能是锐角( ) 提示 诱导公式五、六中的角 是任意角 2诱导公式五、六与诱导公式一四的主要区别在于函数名称要改变( ) 提示 由诱导公式一六可知其正确 3sin k 2 cos .( ) 提示 当 k2 时，sin k 2 sin()sin . 4口诀“符号看象限”指的是把角 看成锐角时变换后的三角函数值的符号( ) 提示 应看原三角函数值的符号. 题型一 利用诱导公式求值 例 1 已知 cos 6 3 5，求 sin 2 3 的值 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式六 解 2 3 6 2， sin 2 3 sin 6 2 cos 6 3 5. 反思感悟 对于

4、这类问题，关键是要能发现它们的互余、互补关系：如 3 与 6， 3 与 6， 4 与 4 等互余， 3 与 2 3 ， 4 与 3 4 等互补，遇到此类问题，不妨考 虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题 跟踪训练 1 已知 cos 4 2 3，则 sin 4 的值等于( ) A.2 3 B 2 3 C. 5 3 D 5 3 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 A 解析 因为 4 4 2， 所以 sin 4 sin 2 4 cos 4 2 3. 题型二 利用诱导公式证明三角恒等式 例 2 求证：tan2sin2cos6 sin 3 2 cos 3 2 tan . 考点 综合运用诱导

5、公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 证明 左边 tan sin cos sin 2 2 cos 2 2 tan sin cos sin 2 cos 2 sin2 sin 2 cos 2 sin2 cos sin sin cos tan 右边 原等式成立 反思感悟 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法： (1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简 (2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子 (3)整合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即 化异为同 跟踪训练 2 证明： sin2cos 32 cos tan3s

6、in 2 sin 7 6 2 cos . 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式证明 证明 因为左边 sincos 32 cos tan cos sin 3 2 32 sin cos cos 32 sin cos cos cos 32 cos 右边，所以等式成立 诱导公式的综合应用 典例 已知 f() sincossin 2 cossin . (1)化简 f()； (2)若角 A 是ABC 的内角，且 f(A)3 5，求 tan Asin A 的值 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简与求值 解 (1)f() sin cos cos cos sin c

7、os . (2)因为 f(A)cos A3 5， 又 A 为ABC 的内角，所以 sin A 1cos2A4 5， 所以 tan Asin A cos A 4 3， 所以 tan Asin A4 3 4 5 8 15. 素养评析 (1)解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同 角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱 (2)掌握运算法则，探究运算思路，求得运算结果，通过运算促进数学思维的发展，提升数学 运算的数学核心素养. 1已知 sin 5 13，则 cos 2 等于( ) A. 5 13 B. 12 13 C 5 13 D 12 13 考点 异名诱导公

8、式 题点 诱导公式六 答案 C 解析 cos 2 sin 5 13. 2已知 sin 3 1 3，则 cos 6 等于( ) A1 3 B. 1 3 C. 2 3 3 D2 3 3 考点 异名诱导公式 题点 诱导公式五 答案 B 解析 因为 sin 3 1 3， 所以 cos 6 cos 2 3 sin 3 1 3. 3(2018 泰安高一检测)若 sin(3)1 2，则 cos 7 2 等于( ) A1 2 B. 1 2 C. 3 2 D 3 2 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式求值 答案 A 4(2018 江西赣州联考)设 tan 3，则 sincos sin 2

9、cos 2 等于( ) A3 B2 C1 D1 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 答案 B 解析 sincos sin 2 cos 2 sin cos cos sin tan 1 1tan 31 13 2. 5求证：sin cos sin cos 2sin 3 2 cos 2 1 12sin2 . 考点 综合运用诱导公式化简与求值 题点 综合运用诱导公式化简、证明 证明 右边 2sin 3 2 sin 1 12sin2 2sin 2 sin 1 12sin2 2sin 2 sin 1 12sin2 2cos sin 1 cos2sin22sin2 sin co

10、s 2 sin2cos2 sin cos sin cos 左边， 所以原等式成立 1诱导公式的分类及其记忆方式 (1)诱导公式分为两大类： k2，(2k1)(kZ)的三角函数值，等于 的同名三角函数值，前面加上一 个把 看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可简单地说成“函数名不变，符号看象 限” 2， 2的三角函数值，等于 的异名三角函数值，前面加上一个把 看成锐角时原 函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限” (2)以上两类公式可以归纳为：k 2(kZ)的三角函数值，当 k 为偶数时，得 的同名函数 值；当 k 为奇数时，得 的异名函数值，然后在前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符 号 2利用诱导公式求任意角的正弦、余弦函数值，常采用“负角化正角，大角化小角，最后转 化成 0， 2 内的三角函数值”这种方式求解 用诱导公式把任意角的三角函数转化为 0 到 2之间的角的三角函数的基本步骤：