1.4.3 正切函数的性质与图象 学案(含答案)
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1、14.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数 ytan(x)的周期.2.掌握正切函数 ytan x 的奇偶性, 并会判 断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性,并掌握其图象的画法 知识点 正切函数的性质 函数 ytan x xR且xk 2,kZ 的图象与性质见下表: 解析式 ytan x 图象 定义域 x xR且xk 2,kZ 值域 R 最小正周期 奇偶性 奇 单调性 在开区间 k 2,k 2 (kZ)内都是增函数 1函数 ytan x 在其定义域上是增函数( ) 提示 ytan x 在开区间 k 2,k 2 (kZ)上是增函数,但在其定义域上不是增
2、函数 2函数 ytan x 的图象的对称中心是(k,0)(kZ)( ) 提示 ytan x 图象的对称中心是 1 2k,0 (kZ) 3正切函数 ytan x 无单调递减区间( ) 4正切函数在区间 2, 2 上单调递增( ) 提示 正切函数在区间 2, 2 上是增函数,不能写成闭区间,当 x 2时,ytan x 无意义. 题型一 正切函数的定义域、值域问题 例 1 (1)函数 y3tan 6 x 4 的定义域为_ 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 x x4 3 4k,kZ 解析 由 6 x 4 2k,kZ,得 x 4 3 4k,kZ, 即函数的定义域为 x x4 3
3、 4k,kZ. (2)求函数 ytan2 3x 3 tan 3x 3 1 的定义域和值域 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域、值域 解 由 3x 3k 2,kZ, 得 xk 3 18,kZ, 所以函数的定义域为 x xk 3 18,kZ . 设 ttan 3x 3 , 则 tR,yt2t1 t1 2 23 4 3 4, 所以原函数的值域是 3 4, . 反思感悟 (1)求定义域时,要注意正切函数自身的限制条件,另外解不等式时,要充分利用 三角函数的图象或三角函数线 (2)处理正切函数值域时, 应注意正切函数自身值域为 R, 将问题转化为某种函数的值域求解 跟踪训练 1 求函数
4、 y tan x1lg(1tan x)的定义域 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 解 由题意得 tan x10, 1tan x0, 即1tan x1. 在 2, 2 内,满足上述不等式的 x 的取值范围是 4, 4 . 又 ytan x 的周期为 , 所以函数的定义域是 k 4,k 4 (kZ) 题型二 求正切函数的单调区间 例 2 求函数 ytan 1 2x 4 的单调区间及最小正周期 考点 正切函数的单调性、周期性与对称性 题点 判断正切函数的单调性 解 ytan 1 2x 4 tan 1 2x 4 , 由 k 2 1 2x 4k 2(kZ), 得 2k 2x0)的单调
5、区间的求法是把 x 看成一个整体,解 2kx 2k,kZ 即可当 0 时,先用诱导公式把 化为正值再求单调区间 跟踪训练 2 (2018 四川石室中学高二期中)函数 ytan 2x 4 的单调递增区间是_ 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 答案 k 2 3 8 ,k 2 8 ,kZ 解析 令 k 22x 4k 2,kZ,解得 k 2 3 8 xk 2 8,kZ. 题型三 利用正切函数的单调性比较大小 例 3 比较大小: (1)tan 32 _tan 215 ; (2)tan 18 5 _tan 28 9 . 考点 正切函数的单调性 题点 正切函数的单调性的应用 答案 (1)
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