2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 学案(含答案)
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1、22.3 向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义 学习目标 1.了解向量数乘的概念,并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运 算律,会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法, 并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题 知识点一 向量数乘的定义 实数 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作 a,其长度与方向规定如 下: (1)|a|a|. (2)a (a0)的方向 当0时,与a方向相同; 当0时,与a方向相反. 特别地,当 0 或 a0 时,0a0 或 00. 知识点二 向量数乘的运算律 1(a)()a. 2()aaa
2、. 3(ab)ab. 知识点三 向量共线定理 1向量共线定理 向量 a (a0)与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ,使 ba. 2向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,对于任意向量 a,b,以及任意实数 ,1, 2,恒有 (1a 2b)1a 2b. 思考 共线向量定理中为什么规定 a0? 答案 若将条件 a0 去掉,即当 a0 时,显然 a 与 b 共线 (1)若 b0,则不存在实数 ,使 ba. (2)若 b0,则对任意实数 ,都有 ba. 1若向量 b 与 a 共线,则存在唯一的实数 使 ba.( ) 提示 当 b0,a0 时,实数 不唯一 2若 ba,则 a 与
3、 b 共线( ) 提示 由向量共线定理可知其正确 3若 a0,则 a0.( ) 提示 若 a0,则 a0 或 0. 题型一 向量的线性运算 例 1 (1)3(6ab)9 a1 3b _. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 9a 解析 3(6ab)9 a1 3b 18a3b9a3b9a. (2)若 3(xa)2(x2a)4(xab)0,则 x_. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b3a 解析 由已知得 3x3a2x4a4x4a4b0, 所以 x3a4b0,所以 x4b3a. 反思感悟 向量线性运算的基本方法 (1)类比法:向量的数乘运算类似于代数多
4、项式的运算,例如,实数运算中的去括号、移项、 合并同类项、 提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用, 但是这里的“同类项”、 “公因式”是指向量,实数看作是向量的系数 (2)方程法:向量也可以通过列方程来解,把所求向量当作未知数,利用解方程的方法求解, 同时在运算过程中多注意观察,恰当的运用运算律,简化运算 跟踪训练 1 计算:(ab)3(ab)8a. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 解 (ab)3(ab)8a(a3a)(b3b)8a 2a4b8a10a4b. 题型二 向量共线的判定及应用 命题角度 1 判定向量共线或三点共线 例 2 已知非零向量 e1,e2不共线
5、(1)若 a1 2e1 1 3e2,b3e12e2,判断向量 a,b 是否共线 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 b6a,a 与 b 共线 (2)若AB e 1e2,BC 2e 18e2,CD 3(e1e2),求证:A,B,D 三点共线 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 证明 AB e 1e2,BD BC CD 2e18e23e13e25(e1e2)5AB , AB ,BD 共线,且有公共点 B, A,B,D 三点共线 反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示,进而互相表示, 从而判断共线 (2)利用
6、向量共线定理证明三点共线,一般先任取两点构造向量,从而将问题转化为证明两向 量共线,需注意的是,在证明三点共线时,不但要利用 ba(a0),还要说明向量 a,b 有 公共点 跟踪训练 2 已知非零向量 e1, e2不共线, 如果AB e 12e2, BC 5e 16e2, CD 7e12e2, 则共线的三个点是_ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A,B,D 解析 AB e 12e2,BD BC CD 5e16e27e12e22(e12e2)2AB , AB ,BD 共线,且有公共点 B, A,B,D 三点共线 命题角度 2 利用向量共线求参数值 例 3 已
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