2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学案（含答案）

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1、24.2 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示、模模、夹角夹角学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 . 数量积 a bx1x2y1y2 向量垂直 abx1x2y1y20 知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式向量模长 a(x，y) |a| x2y2 以 A(x1，y1)，B(x2，y2)

2、为端点的向量AB |AB | x 2x1 2y 2y1 2 知识点三平面向量夹角的坐标表示 cos a b |a|b| x1x2y1y2 x21y21 x22y22. 思考若两个非零向量的夹角满足 cos 0，则两向量的夹角一定是钝角吗？答案不一定，当 cos 0，则两向量的夹角一定是锐角( ) 提示当两向量同向共线时，cos 10，但夹角 0，不是锐角 3 两个非零向量 a(x1， y1)， b(x2， y2)，满足 x1y2x2y10，则向量 a 与 b 的夹角为 0 .( ) 题型一数量积的坐标运算例 1 (1)已知 a(2，1)，b(1，1)，则(a2b) (a3

3、b)等于( ) A10 B10 C3 D3 考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B 解析 a2b(4，3)，a3b(1,2)，所以(a2b) (a3b)4(1)(3)210. (2)如图所示，在矩形 ABCD 中，AB 2，BC2，点 E 在边 CD 上，且DE 2EC ，则AE BE 的值是_ 考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 32 9 解析以 A 为原点， AB 所在直线为 x 轴、 AD 所在直线为 y 轴建立如图所示平面直角坐标系 AB 2，BC2， A(0,0)，B( 2，0)，C( 2，2)，D(0,2

4、)，点 E 在边 CD 上，且DE 2EC ， E 2 2 3 ，2 .AE 2 2 3 ，2 ，BE 2 3 ，2 ， AE BE4 94 32 9 . 反思感悟数量积坐标运算的技巧 (1)进行数量积运算时，要正确使用公式 a bx1x2y1y2，并能灵活运用以下几个关系： |a|2a a. (ab) (ab)|a|2|b|2. (ab)2|a|22a b|b|2. (2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积跟踪训练 1 向量 a(1，1)，b(1,2)，则(2ab) a 等于( ) A1 B0 C1 D2 考点平面向量数量

5、积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 C 解析因为 a(1，1)，b(1,2)，所以 2ab2(1，1)(1,2)(1,0)，则(2ab) a (1,0) (1，1)1，故选 C. 题型二平面向量的模例 2 已知平面向量 a(3,5)，b(2,1) (1)求 a2b 及其模的大小； (2)若 ca(a b)b，求|c|. 考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模解 (1)a(3,5)，b(2,1)， a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)， |a2b|7232 58. (2)a b651， cab(1,6)， |c|1262 37. 反

6、思感悟求向量 a(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式 a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方 (2)a aa2|a|2或|a| a2 x2y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化跟踪训练 2 已知向量 a(2,1)，a b10，|ab|5 2，则|b|等于( ) A. 5 B. 10 C5 D25 考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案 C 解析 a(2,1)，a25，又|ab|5 2，(ab)250，即 a22a bb250， 5210b250，b225，|b|5.

8、因为 0OB ，OC ，所以OB ，OC 6，所以OB ，OC 的夹角为 6，故选 D. 反思感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积 (2)利用|a| x2y2求两向量的模 (3)代入夹角公式求 cos ，并根据的范围确定的值跟踪训练 3 已知 a(1，1)，b(，1)，若 a 与 b 的夹角为钝角，求的取值范围考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数解 a(1，1)，b(，1)， |a| 2，|b|12，a b1. 又a，b 的夹角为钝角， 10， 2 121，即 1， 2210. 0)，

9、 AB2，点 B 的坐标是(2,0)， AB (2,0)，BC(x2，y) AB BC1， 2(x2)1，解得 x5 2. 又 SABC3 2， 1 2 |AB| y 3 2，y 3 2， C 点坐标为 5 2， 3 2 ，则AC 5 2， 3 2 ， |AC | 5 2 2 3 2 2 34 2 ，故边 AC 的长为 34 2 . 素养评析本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养 1已知 a(3,4)，b(5,12)，则 a 与 b 夹角的余弦值为( ) A.63 65 B

10、. 65 C. 13 5 D. 13 考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案 A 解析 |a|32425，|b|5212213. a b3541263. 设 a，b 夹角为，所以 cos 63 513 63 65. 2若向量 a(x,2)，b(1,3)，a b3，则 x 等于( ) A3 B3 C.5 3 D 5 3 考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求参数答案 A 解析 a bx63，故 x3. 3已知向量 m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，则等于( ) A4 B3 C2 D1 考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用

11、题点已知向量垂直求参数答案 B 解析因为 mn(23,3)，mn(1，1)，由(mn)(mn)，可得(mn) (mn)(23,3) (1，1)260，解得 3. 4若平面向量 a(1，2)与 b 的夹角是 180 ，且|b|3 5，则 b 等于( ) A(3,6) B(3，6) C(6，3) D(6,3) 考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A 解析由题意设 ba(，2)(0)，则|b|222 5|3 5，又 0，3，故 b(3,6) 5已知三个点 A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)求证：ABAD. 证明 A(2,1)，

12、B(3,2)，D(1,4)， AB (1,1)，AD (3,3) 又AB AD 1(3)130， AB AD ，即 ABAD. 6已知 a(4,3)，b(1,2) (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值； (2)若(ab)(2ab)，求实数的值考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数解 (1)a b4(1)322， |a| 42325，|b| 1222 5， cosa，b a b |a|b| 2 5 5 2 5 25 . (2)ab(4，32)，2ab(7,8)， (ab)(2ab)， (ab) (2ab)7(4)8(32)0， 52 9 . 1平面向量数量积的定

13、义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具 2应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力 3注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若两非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1y2x2y10，abx1x2y1y20. 4 事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.