第一章 三角函数 章末复习 学案（含答案）

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1、章末复习章末复习 一、网络构建 二、要点归纳 1任意角三角函数的定义 在平面直角坐标系中，设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么： (1)y 叫做 的正弦，记作 sin ，即 sin y. (2)x 叫做 的余弦，记作 cos ，即 cos x. (3)y x叫做 的正切，记作 tan ，即 tan y x(x0) 2同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2cos21. (2)商数关系：tan sin cos k 2，kZ . 3诱导公式 六组诱导公式可以统一概括为“k 2 (kZ)”的诱导公式当 k 为偶数时，函数名不改变； 当 k 为奇数时，函数名改变，然后

2、前面加一个把 视为锐角时原函数值的符号记忆口诀为 “奇变偶不变，符号看象限” 4正弦函数、余弦函数和正切函数的性质 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 R R x|xR且xk 2，kZ 值域 1,1 1,1 R 对称性 对称轴：xk 2 (kZ)； 对称中心： (k， 0)(kZ) 对称轴： xk(kZ)； 对称中心： k 2，0 (kZ) 对称中心： k 2 ，0 (kZ)， 无对称轴 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 周期性 最小正周期：2 最小正周期：2 最小正周期： 单调性 在 22k， 22k (kZ)上单调递增； 在 22k， 3 2 2k (kZ)上单调递

3、减 在2k，2k (kZ)上单调递增； 在 2k，2k (kZ)上单调递减 在开区间 k 2，k 2 (kZ)上单调递增 最值 当 x 22k(kZ)时， ymax1； 当 x 22k(kZ) 时，ymin1 当 x2k(kZ)时， ymax1； 当 x2k(kZ) 时，ymin1 无最值 题型一 三角函数的化简与求值 例 1 已知 f()sin 2 cos2 tan sin tan3 . (1)化简 f()； (2)若 f()1 8，且 4 2，求 cos sin 的值； (3)若 47 4 ，求 f()的值 考点 综合运用诱导公式化简、求值 题点 综合运用诱导公式化简、求值 解 (1)f(

4、) sin2 cos tan sin tan sin cos . (2)由 f()sin cos 1 8可知， (cos sin )2cos22sin cos sin2 12sin cos 121 8 3 4. 又 4 2，cos sin ，即 cos sin 0，cos 0， |0，|)的图象，且 A 2，1 ，B(，1)，可得从点 A 到点 B 正好经过了半个周期，即1 2 2 2，所以 2. 再把点 A，B 的坐标代入可得 2sin 2 2 2sin 1,2sin(2)2sin 1， 所以 sin 1 2，所以 2k 6，或 2k 5 6 ，kZ. 又|，所以 6或 5 6 . 当 6时

5、不合题意，所以 5 6 . 题型三 三角函数的最值或值域 命题角度 1 可化为 yAsin(x)k 型 例 3 求函数 y2sin x 6 3，x0，的最大值和最小值 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 解 x0，x 6 6， 7 6 ， 1 2sin x 6 1. 当 sin x 6 1，即 x 3时，y 取得最小值 1. 当 sin x 6 1 2，即 x 时，y 取得最大值 4. 函数 y2sin x 6 3，x0，的最大值为 4，最小值为 1. 反思感悟 利用 yAsin(x)k 求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响 跟踪训练 3 (2017

6、 全国)函数 f(x)1 5sin x 3 cos x 6 的最大值为( ) A.6 5 B1 C. 3 5 D. 1 5 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦、余弦函数的最大(小)值 答案 A 解析 x 3 6x 2， f(x)1 5sin x 3 cos x 6 1 5sin x 3 cos 6x 1 5sin x 3 sin x 3 6 5sin x 3 6 5. f(x)max6 5. 故选 A. 命题角度 2 可化为二次函数型 例 4 函数 ytan2x4tan x1，x 4， 4 的值域为 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 答案 4,4 解析 4x 4，

7、1tan x1. 令 tan xt，则 t1,1， yt24t1(t2)25. 当 t1，即 x 4时，ymin4， 当 t1，即 x 4时，ymax4. 故所求函数的值域为4,4 反思感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错 跟踪训练 4 (2017 全国)函数 f(x)sin2x 3cos x3 4 x 0， 2 的最大值是 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 余弦函数的最大(小)值 答案 1 解析 f(x)1cos2x 3cos x3 4 cos x 3 2 21. x 0， 2 ，cos x0,1， 当 cos x 3 2 时，f(x)取得最大值，最大值为 1. 题型四

8、数形结合思想在三角函数中的应用 例 5 如果关于 x 的方程 sin2x(2a)sin x2a0 在 x 6， 5 6 上有两个实数根， 求实数 a 的取值范围 考点 三角函数中的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 解 sin2x(2a)sin x2a0， 即(sin x2)(sin xa)0. sin x20，sin xa， 此题转化为求在 x 6， 5 6 上，sin xa 有两个实数根时 a 的取值范围 由 ysin x，x 6， 5 6 与 ya 的图象(图略)知1 2a0，0)的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想 跟踪训练 5 方程 lg|x|sin x 3 的实数根的

9、个数为( ) A4 B5 C6 D7 考点 三角函数的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 答案 C 解析 由 sin x 3 1 得1lg|x|1， 即 1 10|x|10， 方程 lg|x|sin x 3 实根的个数就是函数 ylg|x|与 ysin x 3 图象公共点的个数， 当 x0 时，两函数图象如图所示， 两图象有 3 个公共点，同理，当 x0， 2 2 的部分图象如图所示，则 ， 的值分别是( ) A2， 3 B2， 6 C4， 6 D4， 3 考点 求三角函数的解析式 题点 根据三角函数的图象求解析式 答案 A 解析 从图象可得3 4T 5 12 3 3 4 ， T2 ，2

10、. 又f 5 12 2sin 25 12 2sin 5 6 2， 且 2 2， 3. 3函数 ysin(2x)的图象沿 x 轴向左平移 8个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能的值为( ) A 4 B0 C. 4 D. 3 4 考点 三角函数图象的平移、伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C 解析 平移后的图象对应的函数为 ysin 2 x 8 sin 2x 4 . 因为此函数为偶函数， 所以 4 2k(kZ)， 所以 的一个可能值为 4. 4y 2sin x sin x2的最小值是( ) A2 B2 C1 D1 考点 正弦、余弦函数的最大(小)值 题点 正弦函数的最大(

11、小)值 答案 B 解析 由 y 2sin x sin x22 4 sin x2， 当 sin x1 时，y 2sin x sin x2取得最小值2. 5已知函数 f(x)2sin 2x 6 a，a 为常数 (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的单调递增区间； (3)若 x 0， 2 时，f(x)的最小值为2，求 a 的值 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 解 (1)f(x)2sin 2x 6 a， 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)由 2k 22x 62k 2(kZ)， 得 k 6xk 3(kZ)， 所以 f(x)的单调递增区间为 k 6，k 3 (kZ) (3)当 x 0， 2 时，2x 6 6， 5 6 ， 所以当 x0 时，f(x)取得最小值， 即 2sin 6 a2，故 a1.