第三章 三角恒等变换 章末复习 学案（含答案）人教A版数学必修4

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1、章末复习章末复习 一、网络构建 二、要点归纳 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos()cos cos sin sin . cos()cos cos sin sin . sin()sin cos cos sin . sin()sin cos cos sin . tan() tan tan 1tan tan . tan() tan tan 1tan tan . 2二倍角公式 sin 22sin cos . cos 2cos2sin22cos2112sin2. tan 2 2tan 1tan2. 3升幂缩角公式 1cos 22cos2. 1cos 22sin2. 4降幂扩角公式 sin xco

2、s xsin 2x 2 ，cos2x1cos 2x 2 ， sin2x1cos 2x 2 . 5和、差角正切公式变形 tan tan tan()(1tan tan )， tan tan tan()(1tan tan ) 6辅助角公式 yasin xbcos x a2b2sin(x). 其中tan b a . 题型一 三角函数求值 例 1 (1) sin 110 sin 20 cos2155 sin2155 的值为( ) A1 2 B. 1 2 C. 3 2 D 3 2 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 利用正弦的二倍角公式化简求值 答案 B 解析 原式sin 70 sin 20 cos 31

3、0 cos 20 sin 20 cos 50 1 2sin 40 sin 40 1 2. (2)已知 ， 为锐角，cos 4 5，tan() 1 3，求 cos 的值 考点 角的拆分与组合在三角恒等变换中的应用 题点 角的拆分与组合在三角恒等变换中的应用 解 是锐角，cos 4 5， sin 3 5，tan 3 4. tan tan() tan tan 1tan tan 13 9 . 是锐角，故 cos 9 10 50 . 反思感悟 三角函数的求值问题通常包括三种类型，即给角求值，给值求值，给值求角给 角求值的关键是将要求角转化为特殊角的三角函数值；给值求值关键是找准要求角与已知角 之间的联系

4、，合理进行拆角、凑角；给值求角实质是给值求值，先求角的某一三角函数值， 再确定角的范围，从而求出角 跟踪训练 1 已知 tan()2 5，tan 4 1 4，那么 tan 4 等于( ) A.13 18 B. 13 22 C. 3 22 D. 1 6 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 C 解析 tan 4 tan 4 2 5 1 4 12 5 1 4 3 22. 题型二 三角函数式的化简与证明 例 2 化简： 2cos4x2cos2x1 2 2tan 4x sin 2 4x . 考点 整体与换元思想在三角恒等变换中的应用 题点 整体与换元思想在三角恒等变换中

5、的应用 解 原式 2sin2xcos2x1 2 2sin 4x cos 2 4x cos 4x 1 21sin 22x 2sin 4x cos 4x 1 2cos 22x sin 22x 1 2cos 2x. 反思感悟 三角函数化简常用策略有：切化弦、异名化同名、降幂公式、1 的代换等，化简 的结果应做到项数尽可能少，次数尽可能低，函数名尽量统一 三角函数证明常用方法有：从左向右(或从右向左)，一般由繁向简；从两边向中间，左右归 一法；作差证明，证明“左边右边0”；左右分子、分母交叉相乘，证明差值为 0 等 跟踪训练 2 证明： sin 1 1sin cos 1 2tan 2 1 2. 考点

6、三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边 2sin 2cos 2 sin2 2cos 2 2 1 1 2sin 2cos 2 sin2 2cos 2 2 cos2 2sin 2 2 sin2 2cos 2 2 2tan 2 1tan2 2 1 1 2tan 2 1tan2 2 1tan2 2 1tan2 2 tan2 22tan 21 1tan2 22tan 21tan 2 2 tan 21 2 2tan 22 1 2 tan 21 1 2tan 2 1 2右边， 原等式成立 题型三 三角恒等变换与函数、向量的综合运用 例 3 已知向量 a(cos ，sin )，b(cos ，si

7、n )，|ab|2 5 5 . (1)求 cos()的值； (2)若 20 2，且 sin 5 13，求 sin 的值 考点 和、差角公式的综合应用 题点 和、差角公式与其他知识的综合应用 解 (1)因为向量 a(cos ，sin )，b(cos ，sin )， |ab|cos cos 2sin sin 2 22cos2 5 5 ， 所以 22cos()4 5，所以 cos() 3 5. (2)因为 0 2， 20，所以 0， 因为 cos()3 5， 所以 sin()4 5，且 sin 5 13，cos 12 13， 所以 sin sin()sin()cos cos() sin 4 5 12

8、 13 3 5 5 13 33 65. 反思感悟 三角函数与三角恒等变换综合问题，通常是通过三角恒等变换，如降幂公式，辅 助角公式对三角函数式进行化简， 最终化为yAsin(x)k或yAcos(x)k的形式， 再研究三角函数的性质当问题以向量为载体时，一般是通过向量运算，将问题转化为三角 函数形式，再运用三角恒等变换进行求解 跟踪训练 3 已知函数 f(x)cos 2x 3 sin2xcos2x2 3sin xcos x. (1)化简 f(x)； (2)若 f()1 7，2 是第一象限角，求 sin 2. 考点 应用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 解 (1)f(x)1 2

9、cos 2x 3 2 sin 2xcos 2x 3sin 2x 3 2 sin 2x1 2cos 2xsin 2x 6 . (2)f()sin 2 6 1 7，2 是第一象限角， 即 2k2 22k(kZ)， 2k 62 6 32k(kZ)， cos 2 6 4 3 7 ， sin 2sin 2 6 6 sin 2 6 cos 6cos 2 6 sin 6 1 7 3 2 4 3 7 1 2 5 3 14 . 1若 ， 都是锐角，且 cos 5 5 ，sin() 10 10 ，则 cos 等于( ) A. 2 2 B. 2 10 C. 2 2 或 2 10 D. 2 2 或 2 10 考点 和

10、、差角公式的综合应用 题点 综合运用和、差角公式化简求值 答案 A 解析 由 ， 都是锐角，且 cos 5 5 ，sin() 10 10 ，得 sin 2 5 5 ，cos()3 10 10 ， cos cos()cos cos()sin sin() 2 2 . 2若 3sin xcos x4m，则实数 m 的取值范围是( ) A2,6 B6,6 C(2,6) D2,4 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 答案 A 解析 3sin xcos x4m， 3 2 sin x1 2cos x 4m 2 ， sin 3sin xcos 3cos x 4m 2 ，cos

11、 x 3 4m 2 . cos x 3 1， 4m 2 1，2m6. 3在ABC 中，若 tan Atan Btan Atan B1，则 cos C 的值是( ) A 2 2 B. 2 2 C.1 2 D 1 2 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 简单的三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B 解析 由 tan A tan Btan Atan B1，得 tan Atan B 1tan A tan B1，即 tan(AB)1. AB(0，)，AB3 4 .C 4，cos C 2 2 . 4化简：sin180 2 1cos 2 cos2 cos90 . 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题

12、点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 cos 5已知函数 f(x)cos x sin x 3 3cos2x 3 4 ，xR. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间 4， 4 上的最大值和最小值 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 解 (1)由已知，得 f(x)cos x 1 2sin x 3 2 cos x 3cos2x 3 4 1 2sin x cos x 3 2 cos2x 3 4 1 4sin 2x 3 4 (1cos 2x) 3 4 1 4sin 2x 3 4 cos 2x 1 2sin 2x 3 . 所以 f(x)的最小正周期 T2 2 . (2)因为 f(x)在区间 4， 12 上是减函数，在区间 12， 4 上是增函数， f 4 1 4，f 12 1 2，f 4 1 4， 所以函数 f(x)在闭区间 4， 4 上的最大值为1 4，最小值为 1 2.