2020人教A版数学必修4模块综合试卷（含答案）

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1、模块综合试卷模块综合试卷 (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1sin 300 等于 ( ) A 3 2 B1 2 C. 1 2 D. 3 2 考点 诱导公式一 题点 诱导公式一 答案 A 解析 sin 300 sin(60 360 )sin(60 ) sin 60 3 2 ，故选 A. 2已知 为锐角，sin 1 3，则 sin 2 等于( ) A.8 9 B. 4 2 9 C7 9 D 8 9 考点 二倍角的正弦、余弦、正切公式 题点 利用公式求二倍角正弦值 答案 B 解析 sin 1 3， 为锐角，cos 2 2 3

2、 ， sin 22sin cos 21 3 2 2 3 4 2 9 . 3已知向量 a(cos 75 ，sin 75 )，b(cos 15 ，sin 15 )，则|ab|的值为( ) A.1 2 B1 C2 D3 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 B 解析 如图，将向量 a，b 的起点都移到原点， 即 aOA ，bOB ， 则|ab|BA |且xOA75 ，xOB15 ，于是AOB60 ， 又因为|a|b|1， 则AOB 为正三角形，从而|BA |ab|1. 4(2018 全国)已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，

3、a)，B(2，b)，且 cos 22 3，则|ab|等于( ) A.1 5 B. 5 5 C.2 5 5 D1 考点 终边相同的角 题点 终边相同的角 答案 B 解析 由 cos 22 3，得 cos 2sin22 3， cos 2sin2 cos2sin2 2 3，又 cos 0， 1tan2 1tan2 2 3， tan 5 5 ，即ba 21 5 5 ，|ab| 5 5 . 故选 B. 5设角 35 6 ，则 2sincoscos 1sin2sincos2的值为( ) A.1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化

4、简求值 答案 D 解析 因为 35 6 ， 所以 2sincoscos 1sin2sincos2 2sin cos cos 1sin2sin cos2 2sin cos cos 2sin2sin cos sin cos 35 6 sin 35 6 cos 6 sin 6 3.故选 D. 6函数 f(x)sin 2x 3 的图象的对称轴方程可以为( ) Ax 12 Bx 6 Cx 3 Dx 5 12 考点 正弦函数、余弦函数的奇偶性与对称性 题点 正弦函数、余弦函数的对称性 答案 A 解析 函数 f(x)sin 2x 3 的图象的对称轴方程为 2x 3k 2(kZ)， xk 2 12(kZ) 当

5、 k0 时，x 12，函数 f(x)sin 2x 3 的图象的对称轴方程可以为 x 12. 7如图，在圆 O 中，若弦 AB3，弦 AC5，则AO BC 的值是( ) A8 B1 C1 D8 考点 题点 答案 D 解析 取 BC 的中点 D，连接 AD，OD(图略)，则有 ODBC. AD 1 2(AB AC)，BCACAB，AO BC (AD DO ) BC AD BC DO BC AD BC 1 2(AB AC) (ACAB)1 2(AC 2AB2)1 2(5 232)8，故选 D. 8在ABC 中，若 sin Asin Bcos2C 2，则ABC 是( ) A等边三角形 B等腰三角形 C

6、不等边三角形 D直角三角形 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 简单的三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B 解析 sin Asin B1 2(1cos C)， 即 2sin Asin B1cos C， 2sin Asin B1cos Acos Bsin Asin B， 故得 cos(AB)1， 又AB(，)， AB0，即 AB， 则ABC 是等腰三角形 9将函数 f(x)sin 2x 6 的图象向右平移 6个单位长度，那么所得的图象对应的函数解析式 是( ) Aysin 2x Bycos 2x Cysin 2x2 3 Dysin 2x 6 考点 三角函数图象的平移变换和伸缩变换 题点 三

7、角函数图象的平移变换 答案 D 解析 f(x)sin 2x 6 ， 将函数 f(x)sin 2x 6 的图象向右平移 6个单位长度， 得 f x 6 sin 2 x 6 6 sin 2x 6 ， 所得的图象对应的函数解析式是 ysin 2x 6 ， 故选 D. 10函数 y cos x 4 sin x 4 cos x 4 sin x 4 在一个周期内的图象是( ) 考点 正弦、余弦函数图象的综合应用 题点 正弦、余弦函数图象的综合应用 答案 B 解析 y 2 2 cos x 2 2 sin x 2 2 sin x 2 2 cos x 2 2 cos x 2 2 sin x 2 2 sin x

8、2 2 cos x 2cos x ( 2sin x)2sin xcos xsin 2x，故选 B. 11如果将函数 f(x)sin 2x 的图象向左平移 (0)个单位长度，函数 g(x)cos 2x 6 的图 象向右平移 个单位长度后，二者能够完全重合，则 的最小值为( ) A. 3 B. 2 3 C. 12 D. 5 12 考点 三角函数图象的平移和伸缩变换 题点 三角函数图象的平移变换 答案 C 解析 将函数f(x)sin 2x的图象向左平移(0)个单位长度得到ysin2(x)sin(2x2) 的图象，将函数 g(x)cos 2x 6 的图象向右平移 个单位长度后， 可得函数 g(x)co

9、s 2x 6 cos 2x2 6 sin 2 2x2 6 sin 2 3 2x2 sin 2x2 3 的图象 二者能够完全重合，由题意可得 2x22x2 32k，kZ，解得 1 2k 12(kZ)， 又 0，故当 k0 时，min 12.故选 C. 12已知向量 a(cos ，sin )，向量 b( 3，0)，则|2ab|的最大值为( ) A74 3 B2 3 C74 3 D2 3 考点 平面向量模的坐标表示与应用 题点 利用坐标求向量的模 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13设向量 a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，则实数 _. 考点 平

10、面向量平行与垂直的坐标表示与应用 题点 已知向量垂直求参数 答案 3 解析 因为 ab(3，3)，ab(3，3)，又(ab)(ab)， 所以(ab) (ab)(3) (3)(3)(3)0，解得 3. 14已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2 的值是_ 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 1 解析 sin 2cos 0，sin 2cos ， tan 2， 又2sin cos cos22sin cos cos 2 sin2cos2 2tan 1 tan21 ，原式221 221 1. 15函数 f(x)4cos2x 2cos 2x 2sin

11、x|ln(x1)|的零点个数为_ 考点 三角函数中的数学思想 题点 三角函数中的数形结合思想 答案 2 解析 f(x)4cos2x 2sin x2sin x|ln(x1)|2sin x 2cos2x 21 |ln(x1)| sin 2x|ln(x1)|， 令 f(x)0，得 sin 2x|ln(x1)|.在同一坐标系中作出函数 ysin 2x 与函数 y|ln(x1)|的大 致图象如图所示 观察图象可知，两函数图象有 2 个交点，故函数 f(x)有 2 个零点 16(2018 长沙高一检测)关于函数 f(x)cos 2x 3 cos 2x 6 ，有下列说法： yf(x)的最大值为 2； yf(

12、x)是以 为最小正周期的周期函数； yf(x)在区间 24， 13 24 上单调递减； 将函数 y 2cos 2x 的图象向左平移 24个单位长度后，将与已知函数的图象重合 其中正确说法的序号是_ 考点 正弦、余弦函数性质的综合应用 题点 正弦、余弦函数性质的综合应用 答案 解析 f(x)cos 2x 3 cos 2x 6 cos 2x 3 cos 2 2x 3 cos 2x 3 sin 2x 3 2cos 2x 3 4 2cos 2x 12 ， 所以正确，错误 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知 tan 2. (1)求 tan 2 3 的值； (2)求 si

13、n 2 sin2sin cos cos 21的值 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 解 (1)tan 2 3 tan tan 2 3 1tan tan 2 3 2 3 12 3 5 38 11 . (2)原式 2sin cos sin2sin cos 2cos2 2tan tan2tan 2 22 22221. 18(12 分)设向量 e1，e2的夹角为 60 且|e1|e2|1，如果AB e 1e2，BC 2e 18e2，CD 3(e1e2) (1)证明：A，B，D 三点共线； (2)试确定实数 k 的值，使 k 的取值满足向量 2e1e2与向量

14、e1ke2垂直 考点 平面向量平行与垂直的坐标表示及应用 题点 向量平行与垂直的坐标表示的综合应用 (1)证明 因为AB e 1e2，BD BC CD 5e15e2， 所以BD 5AB ，即AB，BD 共线， 又AB ，BD 有公共点 B， 所以 A，B，D 三点共线 (2)解 因为(2e1e2)(e1ke2)， 所以(2e1e2) (e1ke2)0， 2e212ke1 e2e1 e2ke220， 即 2k1 2k0，解得 k 5 4. 19(12 分)(2018 浙江)已知角 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终 边过点 P 3 5， 4 5 . (1)求 sin()

15、的值； (2)若角 满足 sin() 5 13，求 cos 的值 考点 两角差的余弦公式 题点 两角差的余弦公式的综合应用 解 (1)由角 的终边过点 P 3 5， 4 5 ， 得 sin 4 5. 所以 sin()sin 4 5. (2)由角 的终边过点 P 3 5， 4 5 ， 得 cos 3 5. 由 sin() 5 13，得 cos() 12 13. 由 ()， 得 cos cos()cos sin()sin ， 所以 cos 56 65或 cos 16 65. 20(12 分)(2017 山东)设函数 f(x)sin x 6 sin x 2 ，其中 03.已知 f 6 0. (1)求

16、 ； (2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向 左平移 4个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求 g(x)在 4， 3 4 上的最小值 考点 三角函数图象变换的综合应用 题点 三角函数图象变换的综合应用 解 (1)因为 f(x)sin x 6 sin x 2 ， 所以 f(x) 3 2 sin x1 2cos xcos x 3 2 sin x3 2cos x 3 1 2sin x 3 2 cos x 3sin x 3 . 由题设知 f 6 0， 所以 6 3k，kZ， 故 6k2，kZ.又 03， 所以 2. (2)由(1)得 f(x

17、) 3sin 2x 3 ， 所以 g(x) 3sin x 4 3 3sin x 12 . 因为 x 4， 3 4 ， 所以 x 12 3， 2 3 ， 当 x 12 3， 即 x 4时，g(x)取得最小值 3 2. 21(12 分)已知向量 a( 3sin 2x，cos 2x)，b(cos 2x，cos 2x) (1)当 x 7 24， 5 12 时，a b1 2 3 5，求 cos 4x 的值； (2)若 cos x1 2，x(0，)，方程 a b 1 2m 有且仅有一个实数根，求实数 m 的值 考点 方程思想在三角恒等变换中的应用 题点 方程思想在三角恒等变换中的应用 解 (1)a b 3

18、sin 2xcos 2xcos22x. a b1 2 3sin 2xcos 2xcos 22x1 2 3 2 sin 4x1cos 4x 2 1 2 3 2 sin 4x1 2cos 4xsin 4x 6 3 5. x 7 24， 5 12 ，4x 7 6， 5 3 ， 4x 6 ，3 2 ， cos 4x 6 4 5， cos 4xcos 4x 6 6 cos 4x 6 cos 6sin 4x 6 sin 6 4 5 3 2 3 5 1 2 34 3 10 . (2)cos x1 2，且 cos x 在(0，)上是减函数， 0x 3. 令 f(x)a b1 2sin 4x 6 ， x 0，

19、3 ，g(x)m. 则方程 a b1 2m 有且仅有一个实数根转化为函数 f(x)和 g(x)的图象仅有一个交点 在同一坐标系中作出两个函数的图象，由图可知 m1 或 m1 2. 22(12 分)如图所示，已知 OPQ 是半径为 1，圆心角为 3的扇形，四边形 ABCD 是扇形的内 接矩形， B， C 两点在圆弧上， OE 是POQ 的平分线， E 在PQ上， 连接 OC， 记COE， 则角 为何值时矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 三角恒等变换的实际应用 解 设 OE 交 AD 于 M，交 BC 于 N，显然矩形 ABCD 关于 OE 对称，而

20、M，N 分别为 AD， BC 的中点， 在 RtONC 中，CNsin ，ONcos ， OM DM tan 6 3DM 3CN 3sin . 所以 MNONOMcos 3sin ， 即 ABcos 3sin ，而 BC2CN2sin ， 故 S矩形ABCDAB BC(cos 3sin ) 2sin 2sin cos 2 3sin2 sin 2 3(1cos 2) sin 2 3cos 2 3 2 1 2sin 2 3 2 cos 2 3 2sin 2 3 3. 因为 0 6，所以 02 3， 32 3 2 3 ， 故当 2 3 2，即 12时，S 矩形ABCD取得最大值， 此时 S矩形ABCD2 3.