2020人教A版数学必修4《第三章 三角恒等变换》单元检测试卷（含答案）

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1、章末检测章末检测(三三) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1已知 sin( 4) 3 2 ，则 sin(2)的值为( ) A1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 解析 sin( 4) 3 2 2 2 sin 2 2 cos ， sin cos 6 2 ， 两边平方可得：1sin 23 2，解得 sin 2 1 2， sin(2)sin 21 2.故选 B 答案 B 2化简：sin 22cos 2 sin 4 ( ) A2 2cos B2cos C2sin Dsin 解析 原式2sin cos 2cos 2 2 2

2、sin cos 2 2cos 答案 A 3函数 f(x)3cos x 3sin x 的图象的一条对称轴方程是( ) Ax5 6 Bx2 3 Cx 3 Dx 3 解析 f(x)3cos x 3sin x2 3( 3 2 cos x1 2sin x)2 3cos(x 6)， 函数的对称轴方程为 x 6k，kZ，即 xk 6，kZ， 当 k1 时，x5 6 是其中的一条对称轴方程故选 A 答案 A 4已知向量 a(1 3，tan )，b(cos ，2)，且 ab，则 cos 2( ) A1 9 B1 9 C7 9 D7 9 解析 向量 a(1 3，tan )，b(cos ，2)，且 ab，可得 ta

3、n cos 2 3，即 sin 2 3. 所以 cos 212sin21 9，故选 A 答案 A 5已知 0A 2，且 cos 2A 3 5，那么 cos A 等于( ) A 4 25 B4 5 C 5 5 D2 5 5 解析 0A0，cos 2A 3 52cos 2A1，整理可得：cos2A4 5，cos A 2 5 5 .故选 D 答案 D 6在ABC 中，C120 ，tan Atan B2 3 3 ，则 tan Atan B 的值为( ) A3 B3 C1 3 D1 3 解析 由题意，得 tan(AB)tan Ctan 120 3 又 tan(AB) tan Atan B 1tan At

4、an B， 且 tan(AB) 2 3 3 1tan Atan B 3， 解得 tan Atan B1 3 答案 C 7已知 sin( 3)sin 4 3 5 ，则 cos(2 3 )( ) A4 5 B4 5 C3 5 D3 5 解析 sin( 3)sin 1 2sin 3 2 cos sin 3 2sin 3 2 cos 3( 3 2 sin 1 2cos ) 4 3 5 ， 3 2 sin 1 2cos 4 5， cos(2 3 )1 2cos 3 2 sin ( 3 2 sin 1 2cos )( 4 5) 4 5.故选 B 答案 B 8若将函数 f(x)2sin xcos x2sin

5、2x1 的图象向右平移 个单位，所得图象关于 y 轴 对称，则 的最小正值是( ) A 8 B 4 C3 8 D3 4 解析 将函数 f(x)2sin xcos x2sin2x1sin 2xcos 2x 2sin(2x 4)的图象向右平 移 个单位，可得 y 2sin2(x) 4 2sin(2x 42)的图象再根据所得图象关于 y 轴对称，可得 42k 2，kZ，故 的最小正值是 3 8 答案 C 9.已知角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1，a)， B(2，b)，且 cos 22 3，则|ab|( ) A.1 5 B. 5 5 C.2 5 5 D.1 解析

6、 由题意知 cos 0.因为 cos 22cos212 3，所以 cos 30 6 ，sin 6 6 ，得 |tan | 5 5 .由题意知|tan | ab 12 ，所以|ab| 5 5 .故选 B. 答案 B 10若 2， ，且 3cos 2sin 4 ，则 sin 2 的值为( ) A 1 18 B 1 18 C17 18 D17 18 解析 cos 2sin 22 sin 2 4 2sin 4 cos 4 ， 代入原式，得 6sin 4 cos 4 sin 4 ， 2， ，cos 4 1 6， sin 2cos 22 2cos 2 4 1 17 18 答案 D 11设 asin 14

7、cos 14 ，bsin 16 cos 16 ，c 6 2 ，则 a，b，c 大小关系是( ) Aabc Bbac Ccba Dacb 解析 由题意知，asin 14 cos 14 2( 2 2 sin 14 2 2 cos 14 ) 2sin 59 ， 同理可得， bsin 16 cos 16 2sin 61 ，c 6 2 2sin 60 ， ysin x 在(0， 2)上是增函数， sin 59 sin 60 sin 61 ， acb，故选 D 答案 D 12定义运算 a b c d adbc.若 cos 1 7， sin sin cos cos 3 3 14 ，0 2，则 等于 ( )

8、A 12 B 6 C 4 D 3 解析 依题意有 sin cos cos sin sin()3 3 14 ，又 0 2，0 2，故 cos() 1sin213 14，而 cos 1 7，sin 4 3 7 ，于是 sin sin() sin cos()cos sin()4 3 7 13 14 1 7 3 3 14 3 2 .故 3 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13cos 89 cos 1 sin 91 sin 181 _ 解析 cos 89 cos 1 sin 91 sin 181 cos 89 cos 1 cos 1 sin 1 sin 1 co

9、s 1 cos 1 sin 1 0 答案 0 14已知 tan 1 2，tan() 1 5，则 tan(2)_ 解析 tan 1 2，tan() 1 5，则 tan(2)tan() tan tan 1tan tan 1 2 1 5 11 2 1 5 7 9 答案 7 9 15若 sin()4 5，(0， 2)，则 sin 2cos 2 2的值等于_ 解析 sin()4 5， sin 4 5.又(0， 2)， cos 1sin 23 5(舍负)， 因此， sin 2cos2 22sin cos 1 2(1cos )2 4 5 3 5 1 2(1 3 5) 24 25 4 5 4 25 答案 4

10、25 16. 3tan 12 3 4cos212 2sin 12 _ 解析 原式 3 sin 12 cos 12 3 22cos212 1sin 12 2 3 1 2sin 12 3 2 cos 12 cos 12 2cos 24 sin 12 2 3sin48 2cos 24 sin 12 cos 12 2 3sin 48 sin 24 cos 24 2 3sin 48 1 2sin 48 4 3 答案 4 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知 0 2，sin 4 5 (1)求 tan 的值；(2)求 cos 2sin( 2)的值 解 (1)因为 0 2，

11、sin 4 5， 所以 cos 3 5， 所以 tan 4 3 (2)根据二倍角公式与诱导公式可得： cos 2sin( 2)12sin 2cos 132 25 3 5 8 25 18(12 分)已知 sin()2 3，sin() 1 5，求 tan tan 的值 解 令 xtan tan ，因为 sin sin 2 3 5 1 10 3 ，且sin sin sin cos cos cos cos cos tan tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 x1 x1，所以得到方程 x1 x1 10 3 ，解得 x13 7 ，所以tan tan 13 7 19(12 分)已

12、知向量 a(sin ，2)与 b(1，cos )互相垂直，其中 (0， 2) (1)求 sin 和 cos 的值； (2)若 sin() 10 10 ，0 2，求 cos 的值 解 (1)a 与 b 互相垂直，则 a bsin 2cos 0， 即 sin 2cos ，代入 sin2cos21 得 sin 2 5 5 ，cos 5 5 ， 又 (0， 2)，sin 2 5 5 ，cos 5 5 (2)0 2，0 2， 2 2，则 cos() 1sin 23 10 10 ， cos cos()cos cos()sin sin() 2 2 20(12 分)已知 a(sin x,1)，b(2cos x

13、,2cos 2x)，函数 f(x)a b (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求函数 f(x)的对称中心 解 (1)f(x)a b2sin xcos x2cos 2x2sin 2xcos 2x2 2sin(2x 4)，所以函 数的最小正周期 T2 2 (2)因为 f(x)2 2sin(2x 4)， 当 2x 4k，kZ，即 x 8 k 2 ，kZ 时，函数 f(x)的对称中心为( 8 k 2 ，2)，k Z 21(12 分)已知函数 f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x (1)求 f(x)的最小正周期及最大值； (2)若 2， ，且 f() 2 2 ，求 的值 解 (1

14、)f(x)(2cos2x1)sin 2x1 2cos 4x cos 2xsin 2x1 2cos 4x 1 2(sin 4xcos 4x) 2 2 sin 4x 4 ， f(x)的最小正周期 T 2，最大值为 2 2 (2)由 f() 2 2 ，得 sin 4 4 1 2， ，则 9 4 4 4 17 4 ， 所以 4 4 5 2，故 9 16 22(12 分) 已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR) (1)求 f 2 3 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解 (1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 ， 则 f 2 3 2sin 4 3 6 2. (2)f(x)的最小正周期为 . 由正弦函数的性质得 令 2k 22x 62k 3 2 ，kZ， 得 k 6xk 2 3 ，kZ. 所以函数 f(x)的单调递增区间为 k 6，k 2 3 ，kZ. 再根据五点法作图可得 2 32k，又| 2，求得 3， 函数 f(x)2sin(2x 3)