2020人教A版数学必修4《第二章 平面向量》单元检测试卷（含答案）

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1、章末检测章末检测(二二) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1已知AB (3,0)，那么|AB|等于( ) A2 B3 C(1,2) D5 解析 AB (3,0)，|AB| 32023.故选 B 答案 B 2若OA (1,2)，OB (1，1)，则AB ( ) A(2,3) B(0,1) C(1,2) D(2，3) 解析 OA (1,2)，OB (1，1)， 所以AB OB OA (11，12)(2，3) 答案 D 3已知向量 a(3，k)，b(2，1)，ab，则实数 k 的值为( ) A3 2 B3 2 C6 D2 解

2、析 向量 a(3，k)，b(2，1)，ab， 6k0，解得 k6，故选 C 答案 C 4已知|a|3，b 在 a 方向上的投影为3 2，则 a b( ) A3 B9 2 C2 D1 2 解析 |a|3，b 在 a 方向上的投影为3 2， a b|a|b|cosa，b33 2 9 2，故选 B 答案 B 5在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若AD 2DB ，CD 1 3CA CB，则 ( ) A2 3 B1 3 C1 3 D2 3 解析 在ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点， AD 2DB ，CD 1 3CA CB， CD CA AD CA 2 3AB CA2 3(CB CA)1

3、 3CA 2 3CB ， 2 3，故选 A 答案 A 6已知向量 a，b 满足 a b0，|a|1，|b|2，则|2ab|( ) A2 2 B4 C6 D8 解析 向量 a，b 满足 a b0，|a|1，|b|2， |2ab|2(2ab)24|a|2|b|24a b4408，故选 A 答案 A 7给出下列命题： 若|a|b|，则 ab； 向量不可以比较大小； 若 ab，bc，则 ac； ab|a|b|，ab， 其中真命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 解析 若|a|b|，则 ab，故错误；向量不可以比较大小，故正确；若 ab， bc，则 ac，故正确；ab /|a|b|，ab，故错误，

4、其中真命题的个数为 2 个，故 选 B 答案 B 8设 a，b 为基底向量，已知向量AB akb，CB2ab，CD 3ab，若 A，B，D 三点共线，则实数 k 的值等于( ) A2 B2 C10 D10 解析 由题意得，BD CD CB (3ab)(2ab)a2b， A，B，D 三点共线，AB BD ， 则 akb(a2b)， 解得 1，k2.故选 B 答案 B 9若 M 为ABC 所在平面内一点，且满足(MB MC ) (MB MC 2MA )0，则ABC 的形状为( ) A等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形 解析 设 BC 的中点为 D，则MB MC 2MA 2MD

5、2MA 2AD 满足(MB MC ) (MB MC 2MA )0， CB 2AD 0.CB AD ABC 的形状是等腰三角形故选 A 答案 A 10如图 e1，e2为互相垂直的单位向量，向量 abc 可表示为( ) A3e12e2 B3e13e2 C3e12e2 D2e13e2 解析 观察图形知：ae12e2，be12e2，ce12e2， 向量 abc(e12e2)(e12e2)(e12e2)3e12e2，故选 C 答案 C 11设 a，b，c 是非零向量，则下列说法中正确的是( ) A(a b) c(c b) a B|ab|ab| C若 a ba c，则 bc D若 ab，ac，则 bc 解

6、析 对 A 选项，(a b) c 与 c 共线，(c b) a 与 a 共线，故 A 错误； 对 B 选项，当 a，b 共线且方向相反时，结论不成立，故 B 错误； 对 C 选项，a b|a|b|cosa，b ，a c|a|c|cosa，c ，若 a ba c，则|b|cosa， b|c|cosa，c ，故 C 错误 对 D 选项，a，b，c 是非零向量，所以若 a 与 b 共线，a 与 c 共线，则 b 与 c 共线， 故 D 正确故选 D 答案 D 12.如图， 在平面四边形 ABCD 中， ABBC， ADCD， BAD120 ， ABAD1.若点 E 为边 CD 上的动点，则AE BE

7、的最小值为( ) A.21 16 B.3 2 C.25 16 D.3 解析 以 A 为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴， 建立如图的平面直角坐 标系， 因为在平面四边形 ABCD 中，ABAD1，BAD120 ，所以 A(0， 0)，B(1，0)，D 1 2， 3 2 .设 C(1，m)，E(x，y)，所以DC 3 2，m 3 2 ， AD 1 2， 3 2 ， 因为 ADCD， 所以 3 2，m 3 2 1 2， 3 2 0， 则3 2( 1 2) 3 2 m 3 2 0，解得 m 3，即 C(1， 3).因为 E 在 CD 上，所以 3 2 y 3，由 kCEkCD，得 3y 1x 3

8、 3 2 11 2 ，即 x 3y2，因为AE (x，y)，BE(x1，y)，所以AE BE(x，y) (x1， y)x2xy2(3y2)23y2y24y253y6，令 f(y)4y253y6， y 3 2 ， 3 .因为函数 f(y)4y25 3y6 在 3 2 ，5 3 8 上单调递减，在 5 3 8 ， 3 上单调 递增，所以 f(y)min4 5 3 8 25 35 3 8 621 16.所以AE BE的最小值为21 16，故选 A. 答案 A 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则1 a

9、1 b的值为_. 解析 AB (a2，2)，AC(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40， 即 ab2a2b0，所以1 a 1 b 1 2 答案 1 2 14已知 a(1,3)，b(1,1)，cab，a 和 c 的夹角是锐角，则实数 的取值范围是 _ 解析 c(1，3)，a，c 夹角为锐角， 0cosa，c1， cosa，c a c |a|c| 104 10 1232 104 20280100， 0 104 202801001， 01045 2，且 0， 实数 的取值范围是|5 2，且 0 答案 |5 2，且 0 15在ABC 中，A60 ，AB3，AC2，若BD 2DC ，AE ACAB

10、(R)，且 AD AE 4，则 的值为_ 解析 AB AC32cos 60 3， AD 1 3AB 2 3AC ， 则AD AE 1 3AB 2 3AC (AC AB) 33 2 3 41 39 2 334 3 11. 答案 3 11 16在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，B45 ，AB2CD2，M 为腰 BC 的中点，则MA MD _ 解析 以 A 为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，建立直角坐标系， 则由题意得：A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，M(3 2， 1 2) 所以MA (3 2， 1 2)，MD (3 2， 1 2)， 所以MA MD 9

11、 4 1 42 答案 2 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)已知AB (1,3)，BC(3，m)，CD (1，n)，且AD BC (1)求实数 n 的值； (2)若AC BD ，求实数 m 的值 解 因为AB (1,3)，BC(3，m)，CD (1，n)， 所以AD AB BCCD (3,3mn)， (1)因为AD BC ， 所以AD BC ， 即 33， 3mnm， 解得 n3 (2)因为AC ABBC(2,3m)，BD BC CD (4，m3)， 又AC BD ， 所以AC BD 0，即 8(3m)(m3)0，解得 m 1 18(12 分)已知非零向量 a，b

12、 满足|a|1，且(ab) (ab)3 4 (1)求|b|； (2)当 a b1 4时，求向量 a 与 a2b 的夹角 的值 解 (1)根据条件，(ab) (ab)a2b21b23 4， b21 4，|b| 1 2 (2)a b1 4，a (a2b)a 22a b11 2 1 2， |a2b| a2b2 1111， cos a a2b |a|a2b| 1 2 11 1 2， 0， 3 19(12 分)已知点 O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM t1OA t2AB (1)求点 M 在第二或第三象限时 t1，t2满足的条件； (2)求证：当 t11 时，不论 t2为何实数，A，B，M

13、 三点共线 (1)解 OM t1OA t2AB t 1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2) 当点 M 在第二或第三象限时， 有 4t20， 2t14t20， 故所求的条件为 t24，且 tsin 取最大值 4 时，求OA OC 解 (1)由题设知AB (n8，t)， AB a，8n2t0 又 5|OA |AB |， 564(n8)2t25t2，得 t 8 当 t8 时，n24；当 t8 时，n8， OB (24,8)或OB (8，8) (2)由题设知AC (ksin 8，t)， AC 与 a 共线，t2ksin 16， tsin (2ksin 16)sin 2k sin 4 k 232 k k4，04 k1，当 sin 4 k时，tsin 取得最大值 32 k 由32 k 4，得 k8，此时 6，OC (4,8) OA OC (8,0) (4,8)32