第三章 三角恒等变换 章末检测试卷（含答案）

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1、章末检测试卷章末检测试卷(三三) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1sin 80 cos 70 sin 10 sin 70 等于( ) A 3 2 B1 2 C. 1 2 D. 3 2 考点 两角和与差的余弦公式 题点 利用两角和与差的余弦公式化简求值 答案 C 解析 sin 80 cos 70 sin 10 sin 70 cos 10 cos 70 sin 10 sin 70 cos(70 10 ) cos 60 1 2，故选 C. 2已知 为第二象限角，sin 3 5，则 sin 6 的值等于( ) A.43 3

2、10 B.43 3 10 C.3 34 10 D.43 3 10 考点 两角和与差的正弦公式 题点 利用两角和与差的正弦公式求值 答案 A 解析 sin 3 5， 是第二象限角，cos 4 5， 则 sin 6 sin cos 6cos sin 6 3 5 3 2 4 5 1 2 3 34 10 .故选 A. 3(2017 山东)函数 y 3sin 2xcos 2x 的最小正周期为( ) A. 2 B. 2 3 C D2 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 答案 C 解析 由题意得 y2sin 2x 6 ，其最小正周期 T2 2 . 4 已知直线 l： x

3、tan y3tan 0 的斜率为 2， 在 y 轴上的截距为 1， 则 tan()等于( ) A7 3 B. 7 3 C. 5 7 D1 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 D 解析 根据题意得 tan 2，tan 1 3，则 tan() tan tan 1tan tan 2 1 3 12 1 3 1. 故选 D. 5已知 cos 4x 3 5，则 sin 2x 等于( ) A.18 25 B. 7 25 C 7 25 D 16 25 考点 利用二倍角公式化简求值 题点 综合应用二倍角公式化简求值 答案 C 解析 因为 sin 2xcos 22x cos 2

4、4x 2cos2 4x 1， 所以 sin 2x2 3 5 2118 251 7 25. 6.sin 22cos 2 sin 4 等于( ) A2 2cos B2cos C2sin Dsin 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 答案 A 解析 原式2sin cos 2cos 2 2 2 sin cos 2 2cos . 7已知 0， 2 ，满足 tan()3 2 4 ，sin 1 3，则 tan 等于( ) A. 2 3 B.4 2 11 C.3 2 11 D.3 2 4 考点 两角和与差的正切公式 题点 利用两角和与差的正切公式求值 答案 B 解析

5、因为 0， 2 ，sin 1 3， 所以 cos 2 2 3 ，所以 tan 1 2 2 2 4 . 又因为 tan()3 2 4 ， 所以 tan tan() tantan 1tantan 3 2 4 2 4 13 2 4 2 4 4 2 11 ，故选 B. 8如果|cos |1 5， 5 2 3，则 sin 2的值是( ) A 10 5 B. 10 5 C 15 5 D. 15 5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 C 解析 5 2 3，|cos |1 5， cos 0，cos 1 5. 5 4 2 3 2，sin 20)在 x1,1内 有 9 个零点

6、，则 的取值范围为( ) A4，5) B4，5 C. 1 5， 1 4 D. 1 5， 1 4 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 A 解析 f(x)sin(x) 3cos(x) 2sin x 3 ， 3k(kZ)， 2T15 2T，2 2 1 5 2 2 ，40，cos 0)，xR.若函数 f(x)在区间(，)内单调递增，且 函数 yf(x)的图象关于直线 x 对称，则 的值为_ 考点 整体与换元思想在三角恒等变换中的应用 题点 整体与换元思想在三角恒等变换中的应用 答案 2 解析 f(x)sin xcos x 2sin x 4 ， 因为 f(x)在区间

7、(，)内单调递增，且函数图象关于直线 x 对称，所以 f()必为一个周 期上的最大值，所以有 42k 2，kZ，所以 2 42k，kZ.又 () 2 2 ， 即 2 2，即 2 4，所以 2 . 16若 tan 1 tan 10 3 ， 4， 2 ，则 sin 2 4 2cos 4cos 2 的值为_ 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 0 解析 由 tan 1 tan 10 3 ，得(tan 3)(3tan 1)0，所以 tan 3 或 tan 1 3. 因为 4， 2 ，所以 tan 3， 所以 sin 2 4 2cos 4cos 2 2 2 s

8、in 2 2 2 cos 2 21cos 2 2 2 2 sin 2 2cos 2 2 2 2 2 2sin cos sin2cos2 2 cos2sin2 sin2cos2 2 2 2 2 2tan tan21 2 1tan2 tan21 2 2 2 2 23 321 2 132 321 2 2 0. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分) 17(10 分)(2018 浙江衢州五校联考)计算： (1)sin 47 sin 17 cos 30 cos 17 ； (2)tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 . 考点 和、差角公式综合应用 题点 综合应用和、差角公式化简

9、求值 解 (1)sin 47 sin 17 cos 30 cos 17 sin30 17 sin 17 cos 30 cos 17 sin 30 cos 17 cos 30 sin 17 sin 17 cos 30 cos 17 sin 30 cos 17 cos 17 sin 30 1 2. (2)由 tan(25 35 ) tan 25 tan 35 1tan 25 tan 35 3， 可得 tan 25 tan 35 3(1tan 25 tan 35 )， 即 tan 25 tan 35 3tan 25 tan 35 3. 18 (12 分)在平面直角坐标系 xOy 中， 已知向量 m

10、2 2 ， 2 2 ， n(sin x， cos x)， x 0， 2 . (1)若 mn，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3，求 x 的值 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 三角恒等变换的实际应用 解 (1)因为 m 2 2 ， 2 2 ，n(sin x，cos x)，mn. 所以 m n0，即 2 2 sin x 2 2 cos x0， 所以 sin xcos x，所以 tan x1. (2)因为|m|n|1，所以 m ncos 3 1 2， 即 2 2 sin x 2 2 cos x1 2，所以 sin x 4 1 2， 因为 0x 2，所以 4x 4 4，所

11、以 x 4 6，即 x 5 12. 19(12 分)已知 cos 2 2 7 7 ，sin 2 1 2，且 2， ， 0， 2 .求： (1)cos 2 ； (2)tan() 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值 解 (1) 2，0 2， 4 2， 4 2 2， sin 2 1cos2 2 21 7 ， cos 2 1sin2 2 3 2 ， cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 2 7 7 3 2 21 7 1 2 21 14 . (2) 4 2 3 4， sin 2 1cos2 2 5 7 14 . tan 2

12、sin 2 cos 2 5 3 3 ， tan() 2tan 2 1tan2 2 5 3 11 . 20(12 分)已知函数 f(x)cos x 4 sin x 4 . (1)判断函数 f(x)的奇偶性，并给出证明； (2)若 为第一象限角，且 f 3 2 3 ，求 cos 2 6 的值 考点 简单的三角恒等变换的应用 题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 解 (1)结论：函数 f(x)为定义在 R 上的偶函数 证明：函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称， f(x)cos x 4 sin x 4 2cos x 4 4 2cos x， 所以 f(x) 2cos(x) 2cos x，

13、 所以 f(x)f(x) 因此，函数 f(x)为定义在 R 上的偶函数 (2)因为 f 3 2cos 3 2 3 ， 所以 cos 3 1 3. 由于 为第一象限角，故 sin 3 2 2 3 . 所以 cos 2 6 cos 2 3 2 sin 2 3 2sin 3 cos 3 22 2 3 1 3 4 2 9 . 21(12 分)(2017 浙江)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR) (1)求 f 2 3 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 考点 简单的三角恒等变换应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)由 sin 2 3

14、 3 2 ，cos 2 3 1 2，得 f 2 3 3 2 2 1 2 22 3 3 2 1 2 2. (2)由 cos 2xcos2xsin2x 与 sin 2x2sin xcos x 得， f(x)cos 2x 3sin 2x2sin 2x 6 . 所以 f(x)的最小正周期是 . 由正弦函数的性质得， 22k2x 6 3 2 2k，kZ， 解得 6kx 2 3 k，kZ. 所以 f(x)的单调递增区间为 6k， 2 3 k (kZ) 22(12 分)已知函数 f(x)2cos2x2 3sin xcos x(xR) (1)当 x0，时，求函数 f(x)的单调递增区间； (2)若关于 x 的

15、方程 f(x)t1 在 0， 2 内有两个不相等的实数解，求实数 t 的取值范围 考点 方程思想在三角恒等变换中的应用 题点 方程思想在三角恒等变换中的应用 解 (1)f(x)2cos2x2 3sin xcos x cos 2x 3sin 2x12 3 2 sin 2x1 2cos 2x 1 2sin 2x 6 1. 令 2k 22x 62k 2(kZ)， 解得 k 3xk 6(kZ) 因为 x0， 所以 f(x)的单调递增区间为 0， 6 ， 2 3 ， . (2)依题意，得 2sin 2x 6 1t1， 所以 t2sin 2x 6 ，即函数 yt 与 y2sin 2x 6 的图象在 0， 2 内有两个交点 因为 x 0， 2 ，所以 2x 6 6， 7 6 . 当 2x 6 6， 2 时，sin 2x 6 1 2，1 ， y2sin 2x 6 1,2；当 2x 6 2， 7 6 时， sin 2x 6 1 2，1 ， y2sin 2x 6 1,2 由函数yt与y2sin 2x 6 的图象(图略)， 得 1t2，所以实数 t 的取值范围是1,2)