3.2.1 函数的最大（小）值（第1课时）学案（含答案）

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1、第第 2 2 课时课时 函数的最大函数的最大( (小小) )值值 学习目标 1.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二 次函数在闭区间上的最值的方法 知识点一 函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 对于xI， 都有 f(x)M， x0I， 使得 f(x0)M 函数 yf(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 对于xI， 都有 f(x)M， x0I， 使得 f(x0)M 函数 yf(x)图象上最低点的纵坐标 思考 函数 f(x)x211 总成立，f(x)的最小值是1 吗？ 答案 f(x)的最小值不是1，因为 f(x)取不到1. 知识点二

2、 求函数最值的常用方法 1图象法：作出 yf(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大 (小)值 2运用已学函数的值域 3运用函数的单调性： (1)若 yf(x)在区间a，b上是增函数，则 ymaxf(b)，yminf(a) (2)若 yf(x)在区间a，b上是减函数，则 ymaxf(a)，yminf(b) 4分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个 预习小测 自我检验 1.函数 f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值为_，最大值为_ 答案 1 2 2函数 yx1 在区间 1 2，2 上的最大值为_ 答案 1 2 3函数 y2x22

3、，xR 的最小值是_ 答案 2 4函数 y2 x在2,4上的最大值与最小值之和等于_ 答案 3 2 一、图象法求函数的最值 例 1 已知函数 f(x) x2，1x1， 1 x，x1. 求 f(x)的最大值、最小值 解 作出函数 f(x)的图象(如图) 由图象可知，当 x 1 时，f(x)取最大值为 f(1)f(1)1. 当 x0 时，f(x)取最小值为 f(0)0， 故 f(x)的最大值为 1，最小值为 0. 反思感悟 图象法求函数最值的一般步骤 跟踪训练 1 已知函数 y|x1|2， 画出函数的图象， 确定函数的最值情况， 并写出值域 解 y|x1|2 3x，x1， x1，x1， 图象如图所

4、示， 由图象知，函数 y|x1|2 的最大值为 2，没有最小值， 所以其值域为(，2 二、利用函数的单调性求最值 例 2 已知函数 f(x)x1 x2，x3,5 (1)判断函数 f(x)的单调性并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值 解 (1)f(x)是增函数，证明如下： 任取 x1，x23,5且 x1x2， f(x1)f(x2)x11 x12 x21 x22 3x1x2 x12x22， 因为 3x1x25， 所以 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在3,5上为增函数 (2)由(1)知，f(x)在3,5上为增函数， 则 f(x)max

5、f(5)4 7， f(x)minf(3)2 5. 反思感悟 (1)若函数 yf(x)在区间a， b上单调递增， 则 f(x)的最大值为 f(b)， 最小值为 f(a) (2)若函数 yf(x)在区间a，b上单调递减，则 f(x)的最大值为 f(a)，最小值为 f(b) (3)若函数 yf(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出 最大(小)值函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值 (4)如果函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函 数值或者发展趋势 跟踪训练 2 已知函数 f(x) 6 1x3(x2,4)，求函数 f(x

6、)的最大值和最小值 解 设 x1，x2是2,4上任意两个实数，且 x1x2， 所以 f(x1)f(x2) 6 1x13 6 1x23 6 1x1 6 1x2 61x261x1 1x11x2 6x1x2 1x11x2， 因为 2x1x24， 所以 x1x20,1x10,1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)5， 假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根 据上述统计规律，请完成下列问题： (1)写出利润函数 yf(x)的解析式(利润销售收入总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 解 (1)由题意得 G(x)2.8x， 所以 f(x)R(x)G(x) 0.4x

7、23.2x2.8，xN，0 x5， 8.2x，xN，x5. (2)当 x5 时，因为函数 f(x)单调递减， 所以 f(x)f(5)3.2(万元)， 当 0 x5 时，函数 f(x)0.4(x4)23.6， 当 x4 时，f(x)有最大值为 3.6(万元)， 所以当工厂生产 4 百台产品时，可使盈利最大为 3.6 万元 反思感悟 (1)解实际应用题时要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列 出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围 (2)实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二 次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想

8、使问题得到解决 跟踪训练 3 将进货单价为 40 元的商品按 50 元一个出售时，能卖出 500 个，已知这种商品 每涨价 1 元，其销售量就减少 10 个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？ 解 设售价为 x 元，利润为 y 元，单个涨价(x50)元，销量减少 10(x50)个，销量为 500 10(x50)(1 00010 x)个，则 y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 0009 000. 故当 x70 时，ymax9 000. 即售价为 70 元时，利润最大值为 9 000 元 二次函数最值分类讨论问题 典例 已知函数 f(x)x22x3，若 xt，t2，

9、求函数 f(x)的最小值 解 对称轴 x1， (1)当 1t2 即 t1 时，f(x)在t，t2上为减函数， f(x)minf(t2) (t2)22(t2)3t22t3. (2)当 t1t2，即1t1 时， f(x)minf(1)4. (3)当 11 时，f(x)在t，t2上为增函数， f(x)minf(t)t22t3. 设函数 f(x)的最小值为 g(t)，则有 g(t) t22t3，t1， 4，11. 素养提升 二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意 这两个因素利用二次函数图象，通过直观想象，进行分类讨论 1函数 f(x)1 x在1，)上( ) A有最大值无最

10、小值 B有最小值无最大值 C有最大值也有最小值 D无最大值也无最小值 考点 函数的最值及其几何意义 题点 利用一次函数、分式函数单调性求最值 答案 A 2函数 yx22x2 在区间2,3上的最大值、最小值分别是( ) A10,5 B10,1 C5,1 D以上都不对 答案 B 解析 因为 yx22x2(x1)21，且 x2,3， 所以当 x1 时，ymin1， 当 x2 时，ymax(21)2110.故选 B. 3已知函数 f(x) x7，1x1， 2x6，1x2， 则 f(x)的最大值、最小值分别为( ) A10,6 B10,8 C8,6 D以上都不对 考点 函数的最值及其几何意义 题点 分段

11、函数最值 答案 A 4已知函数 f(x)2x3，当 x1 时，恒有 f(x)m 成立，则实数 m 的取值范围是( ) AR B(，1 C1，) D 答案 B 解析 因为 f(x)2x3 在 x1，)上为增函数， 所以 f(x)min1，故满足 f(x)1. 又因为在 x1 时，f(x)m 恒成立， 所以 m1，故 m(，1 5已知函数 f(x) x，1x0， x2，0x1， x，1x2， 则 f(x)的最大值为_ 考点 函数的最值及其几何意义 题点 由函数图象求最值 答案 2 解析 f(x)的图象如图： 则 f(x)的最大值为 f(2)2. 1知识清单：函数的最大值、最小值定义 2方法归纳：配方法、分类讨论法、数形结合法 3常见误区： (1)最值 M 一定是一个函数值，是值域中的一个元素 (2)在利用单调性求最值时，勿忘求函数的定义域