4.1.2 无理数指数幂及其运算性质 学案（含答案）

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1、4 41.21.2 无理数指数幂及其运算性质无理数指数幂及其运算性质 学习目标 1.掌握用有理数指数幂的运算性质化简求值.2.了解无理数指数幂的意义 知识点一 无理数指数幂 一般地，无理数指数幂 a(a0， 为无理数)是一个确定的实数有理数指数幂的运算性质同 样适用于无理数指数幂 知识点二 实数指数幂的运算性质 1arasar s(a0，r，sR) 2(ar)sars(a0，r，sR) 3(ab)rarbr(a0，b0，rR) 预习小测 自我检验 1计算 1 2 2 2 _. 答案 2 2下列等式一定成立的是_(填序号) 1 3 32 aaa; 11 22 aa 0； (a3)2a9; 111

2、 362 .aaa 答案 3若 100 x25，则 10 x_. 答案 1 5 解析 100 x25，(10 x)252， 10 x5,10 x(10 x)1511 5. 4计算：02 2 1 2 1 2 4 _. 答案 11 8 一、运用指数幂运算公式化简求值 例 1 计算下列各式(式中字母都是正数)： (1) 1 0.5 2 3 3 277 0.0272; 1259 (2) 2 22 2 1 2; 2 (3) 333 0 3 5 3 6 1 . aa a a 解 (1) 1 0.5 2 3 3 277 0.0272 1259 ( 3 0.027)2 3 125 27 25 9 0.095

3、3 5 30.09. (2)原式 2 22 2 2 22 2 3 232 22 222 2. (3)原式 33 32 5 3 6 aa a 1112. 反思感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负指 数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简 的目的 跟踪训练 1 计算下列各式的值(式中字母都是正数)： (1) 1 3 1 8 7 6 080.25 4 2( 3 2 3)6； (2)2 3 a2 (4 6 a b) 3 b3. 解 (1)原式 66 1 1111 ( 1) 33 3424 812223 3 1 4 4 22

4、 2233112. (2)原式 2113 3662 243aa bb 2 113 3 662 1 3 2 abb 41 32 3 . 2 a b 二、分数指数幂运算的综合应用 例 2 (1)已知 am4，an3，求 am 2n的值； (2)已知 11 22 aa 3，求下列各式的值 aa 1；a2a2； 33 22. aa 解 (1) am 2n 1 2 1 2 2 2 m mn n a aa a 1 2 2 4 3 2 3. (2) 11 22 3,aa 2 11 22 9,aa 即 a2a 19，aa17. aa 17， (aa 1)249，即 a22a249. a2a 247. 33 3

5、311 2222 aaaa 11 1 22 (1)aaaa 3(71)18. 延伸探究 在本例(2)的条件下，求 a2a 2的值 解 设 ya2a 2，两边平方， 得 y2a4a 42(a2a2)2447242 205. 所以 y 21 5，即 a2a 2 21 5. 反思感悟 条件求值问题的解法 (1)求解此类问题应注意分析已知条件， 通过将已知条件中的式子变形(如平方、 因式分解等)， 寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法 (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式 跟踪训练 2 已知 xy12，xy9 且 xy，求 11 22 11 22 xy xy 的值 解 2 11 22 11 22 11 1111 22 2222 xy xy xyxyxy 1 2 ()2() , xyxy xy xy12，xy9， (xy)2(xy)24xy12249108. 又x0)_. 答案 1 解析 原式 33 244244 mmmm m01. 1知识清单： (1)有理数指数幂的性质 (2)无理数指数幂的性质 2方法归纳：根式的运算可先转化为幂的运算，最后再将结果转化为根式 3常见误区：在运用分数指数幂的运算性质化简时，其结果不能同时含有根式和分数指数， 也不能既含有分母又含有负指数