河北省衡水二中2020年高考二模数学试题（理科）含答案解析

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1、2092020 学年度高二学期高三年级二模考试数学（理科）试卷学年度高二学期高三年级二模考试数学（理科）试卷 第卷 一、选择题 1已知集合10Ax x ，1BxxZ，则AB（ ） A10 xx B11xx C0,1 D 1 2设 3 1 i z i （i为虚数单位） ，则z （ ） A 2 2 B2 C 1 2 D2 3风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成其亭、塔平面图通常是正方形，正六边 形和正八边形下图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影其正六边形的边长计算方法如下： 110001 A BA BB B， 221112 A BABB B， 332223 A BA BB B， ，

2、11nnnnn A BABB ， 其 中 1231201n BBB BB BB B ， * nN根据每层边长间的规律建筑师通过推算，可初步估计需要 多少材料， 所用材料中， 横向梁所用木料与正六边形的周长有关 某一风雨桥亭、 塔共 5 层， 若 00 8mA B ， 01 0.5mB B 则这五层正六边形的周长总和为（ ） A35m B45m C210m D270m 4对于直线m，n和平面，有如下四个命题（ ） （1）若m，/m，则； （2）若m，/m n，n，则； （3）若n，n，m，则m； （4）若m，mn，则/n 其中真命题的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 5如图所示可能是下列哪个

3、函数的图像（ ） A 2 2 1 xx y x B 2 ln1 x x y x C 2 ln1yxx Dtanln1yxx 6已知单位向量PA，PB，PC满足2330PAPBPC，则AB AC的值为（ ） A 8 9 B 2 3 C 5 9 D1 7疫情防控期间，衡水市某医院从 3 名呼吸科、3 名重症科和 3 名急诊科医生中选派 5 人组成一个医疗专 家小组跟本市其他医院的援助医疗队一同支援武汉，则该院呼吸科、重症科和急诊科医生都至少有 1 人的 概率为（ ） A 8 9 B 2 3 C 6 7 D 1 3 8条形码是由一组规则排列的条、空及其对应的代码组成，用来表示一定的信息，我们通常见的

4、条形码是 “13EAN ”通用代码，它是由从左到右排列的 13 个数字（用 1 a， 2 a， 13 a表示）组成，这些数字 分别表示前缀部分、制造厂代码、商品代码和校验码，其中 13 a是校验码，用来校验前 12 个数字代码的正 确性图（1）是计算第 13 位校验码的程序框图，框图中符号 m表示不超过m的最大整数（例如 365.7365） 现有一条形码如图（2）所示 3 977107202551a，其中第 3 个数被污损，那么这个被污 损数字 3 a是（ ） A9 B8 C7 D6 9下图统计了截止到 2019 年年底中国电动汽车充电桩细分产品占比及保有量情况，关于这 5 次统计，下 列说法

5、正确的是（ ） 私人类电动汽车充电桩保有量增长率最高的年份是 2018 年 公共类电动汽车充电桩保有量的中位数是 257 万台 公共类电动汽车充电桩保有量的平均数为 2312 万台 从 2017 年开始，我国私人类电动汽车充电桩占比均超过 50% A B C D 10已知抛物线C的方程为 2 4yx，F为其焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点（点A在x轴 上方） ，点1,2P ，连接AP交y轴于M，过M作/MD PF交AB于D，若5FADA，则AB斜率 为（ ） A 4 3 B 3 4 C 1 2 D2 11一副三角板由一块有一个内角为60的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，

6、90BF ，60A ，45D，BCDE 现将两块三角板拼接在一起， 取BC中点O与AC 中点M，则下列直线与平面OFM所成的角不为定值的是（ ） AAC BAF CBF DCF 12若函数 1 ln x f xa xe ex x 在0,2上存在两个极值点，则a的取值范围是（ ） A 2 1 , 4e B 1 , e C 2 111 , 4eee D 2 11 ,1, 4ee 第卷 二、填空题 13已知双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C的焦 距为_ 14设数列 n a的前n项和为 n S，且满足 1 12 22n n aaan

7、，则 5 S _ 15如图所示，在等边三角形ABC中，6AB动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到 A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为 f x，给出下列三个结论： 函数 f x的最大值为 12； 函数 f x的图象的对称轴方程为9x； 关于x的方程 3f xkx最多有 5 个实数根，其中，所有正确结论的序号是_ 16在三棱锥ABCD中，60BACBDC，二面角A BCD的余弦值为 1 3 ，当三棱锥 ABCD的体积的最大值为 6 4 时，其外接球的表面积为_ 三、解答题 17如图所示，在ABC中，sinsinABCDBC，且ADDC （）求 BD AB 的值；

8、 （）若4BC ，10AC ，且 BEBC EDDC ，求cosBCD及 CED S 18如图所示，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，连接BD，其中DADP，BABP （1）求证：PABD； （2）若DADP，60ABP，2BABPBD，求二面角DPCB的正弦值 19已知 1 1,0F ， 2 1,0F为椭圆 22 22 :10 xy ab ab 的左右焦点，过 2 F的直线交椭圆于A，B 两点， 1 FAB的周长为 8 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知 000 ,0P x yy 是直线:4l x上一动点，若PA，PB与x轴分别交于点,0 M M x， ,0 N N x，则 11

9、 11 MN xx 是否为定值，若是，求出该定值，不是请说明理由 20已知函数 22 ln1f xxxax （1）证明： 1 ln1x x ； （2） （i）证明：当 1 0 2 a时，对任意0,1 a x a ，总有 0f x ； （ii）讨论函数 f x的零点个数 212020 年是具有里程碑意义的一年我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标：2020 年也是脱 贫攻坚决战决胜之年， （总书记二二年新年贺词）截至 2018 年底，中国农村贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1660 万人，贫困发生率由 2012 年的 10.2%下降至 2018 年的 1.7%；连续 7

10、 年每年减贫规模都在 1000 万人以上；确保到 2020 年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻， 越要响鼓重锤某贫困地区截至 2018 年底，按照农村家庭人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩 部分家庭尚未实现小康现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭 人均年纯收入的频率分布直方图 （1）将家庭人均纯年收入不足 5000 元的家庭称为“特困户”若从这 50 户家族中再取出 10 户调查致贫原 因，求这 10 户中含有“特困户”的户数X的数学期望； （2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020

11、年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表： 月份/2019（时间代码x） 1 2 3 4 5 6 人均月纯收入（元） 275 365 415 450 470 485 由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，由此估计 该家庭 2020 年能实现小康生活， 但 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展， 该家庭 2020 年第一季度（1，2，3 月份）每月的人均月纯收入人均只有 2019 年 12 月的预估值的 2 3 ，为加快脱贫进程， 政府加大扶贫力度，拟从 2020 年 3

12、 月份起，以后每月的增长率为a，为了使 2020 年该家庭顺利迈入小康 生活，则a至少应为多少？（保留小数点后两位数字） ： 可能用到的数据： 6 1 9310 ii i x y ， 2 454 120 462.81 ， 10 1.154.05 参考公式：线性回归方程 ybxa中， 6 1 6 22 1 6 6 ii i ix i x yxy b x ， 12233 1110,0.15 n nnn aybxaC aC aC ama 请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号 22选修 4-4：坐标系与参数方程 如图所示，有一种赛车跑道类似

13、“梨形”曲线，由圆弧BC，AD和线段AB，CD四部分组成，在极坐标 系Ox中，2, 3 A ， 2 1, 3 B ， ， 4 1, 3 C ，2, 3 D ，弧BC，AD所在圆的圆心分别是0,0， 2,0，曲线 1 M是弧BC，曲线 2 M是弧AD （1）分别写出 1 M， 2 M的极坐标方程； （2）点E，F位于曲线 2 M上，且 3 EOF ，求EOF面积的取值范围 23选修 4-5：不等式选讲 已知 2 2 230f xxttx x （1）若 12f，求实数t的取值范围； （2）求证： 2f x 理数二模答案 1-12 CACCC，ACBDA，BC 8 【答案】B 【解析】由程序框图可知

14、，S表示的结果为前 12 项中所有偶数项之和；T表示的结果为前 12 项中所有奇 数项之和，则：7 7 0 2 2 523S ， 33 91 70522Taa 33 3 232291Maa ， 13 1a ，9N，即： 3 3 91 91109 10 a a ， 3 0,9a 且 3 aN， 3 91 9.1,10 10 a ， 当 3 0,9a 时， 3 91 9 10 a ， 此时： 3 91909a， 解得： 3 8a ， 当 3 9a 时， 3 91 10 10 a ， 此时： 3 9110009a， 3 9a ， 综上所述： 3 8a ， 故选 B 10 【答案】A 【详解】由已知1

15、,0F，准线方程为1x，过点A作 1 AA垂直于准线交准线于 1 A， 因为/MD PF且5FADA，所以 1 5 AFAM ADAP ， 又因为 1 AA垂直于准线交准线于 1 A，所以 1 1 5 A xAM APAA ， 即 1 15 A A x x ，解得 1 4 A x ， 代入抛物线方程可得 1 ,1 4 A ， AB斜率，即为AF的斜率，所以 1 04 1 3 1 4 k 故选：A 12 【答案】D 【解析】由题意可知 2 1 11 0 x fxxae xx 有两个不等根即 2 1 1 x x x ae x ，0,2x， 有一根1x 另一根在方程 2 1 x x e a ，0,2

16、x中， 令 2x h xx e，0,2x， 2 02 x xxex h 所以 h x在0,2x且1x 上单调递增所以 1 1he a ，即 2 0,4h xeee所以 2 111 , 4 a eee 故选 C 13 【答案】4 14 【答案】 31 16 【详解】 1 12 22n n aaan ，可得1n 时， 1 1a ， 2n时， 2 121 221 n n aaan ， 又 1 12 22n n aaan ，两式相减可得 1 21 n n a ， 即 1 1 2 n n a ，上式对1n 也成立， 可得数列 n a是首项为 1，公比为 1 2 的等比数列， 可得 5 5 1 1 31

17、2 1 16 1 2 S 故答案为： 31 16 15 16 【答案】6 【解析】如图所示，设球心O在平面ABC内的射影为 1 O，在平面BCD内的射影为 2 O 则二面角A BCD的平面角为AMD，点A在截面圆 1 O上运动， 点D在截面圆 2 O上运动，由图知，当ABAC，BDCD时， 三棱锥ABCD的体积最大，此时ABC与BDC是等边三角形， 设BCa，则 3 2 AMDMa， 2 3 4 BCD Sa 6 sin 3 hAMAMDa， 3 126 3124 A BCDDBC VSha 解得3a ，所以 3 2 DM ， 2 1DO ， 2 1 2 O M ，设2AMD 则 2 1 co

18、s22cos1 3 ，解得tan2， 22 2 tan 2 OOO M，球O的半径 22 22 6 2 RDOOO， 所求外接球的表面积为 2 46SR 17解： （）在ABC中， 1 2 ADDCAC， 1 1 2 1 2 2 BDC ABC DC h SDC SAC AC h ，其中h为AC边上的高 又sinsinABCDBC， 1 sin 1 2 1 2 sin 2 BDC ABC BD BCDBC SBD SAB AB BCABC （）在ABC中， 222 2cosABBCACBC ACBCD 22 4102 4 10 cos11680cosBCDBCD 在BDC中， 222 2cos

19、BDBCDCBC DCBCD 22 452 4 5 cos41 40cosBCDBCD 而 1 2 BD AB ，即 22 4ABBD， 所以，116 80cos4 41 40cosBCDBCD，解得 3 cos 5 BCD， 4 sin 5 BCD， 1 sin8 2 BDC SBC CDBCD 又因为 4 5 BEBC EDDC ， 1 sin 4 2 1 9 sin 2 BEC BDC BE BCDBC SBE SBD BD BCDBC ， 5 9 CED BDC S S ， 540 8 99 CED S 18试题解析： （1）证明：取AP中点M，连DM，BM， DADP，BABP PA

20、DM，PABM，DMBMM PA 面DMB，又BD 面DMB，PABD （2）DADP，BABP，DADP，60ABP DAP是等腰三角形，ABP是等边三角形， 2ABPBBD，1DM ，3BM 222 BDMBMD，MDMB 以MP，MB，MD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则1,0,0A ， 0, 3,0B，1,0,0P，0,0,1D 从而得1,0, 1DP ， 1, 3,0DCAB， 1,3,0BP ，1,0,1BCAD 设平面DPC的法向量 1111 ,nx y z 则 1 1 0 0 nDP nDC ，即 11 11 0 30 xz xy ， 1 3,1,3n ， 设

21、平面PCB的法向量 2212 ,nxy z， 由 2 2 0 0 nBC nBP ，得 22 22 0 30 xz xy ， 2 3,1,3n 1 cosn， 12 2 12 1 7 n n n n n 设二面角DPCB为， 2 12 4 3 sin1 cos, 7 n n 19解： （1）依题意1c，48a，即2a，故椭圆的方程为 22 1 43 xy （2）设直线AB的方程为1xty， 11 ,A x y， 22 ,B x y 0 4,Py 由 22 1 1 43 xty xy 得 22 34690tyty 显然0，则 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t

22、直线 10 0 1 :4 4 yy PA yyx x ，令0y 得 101 01 4x yy x yy ， 即 101 01 4 ,0 x yy M yy ，同理 202 02 4 ,0 x yy N yy 01110 101011 01010101 13343 11 M yxyy tyx yyy tyy x yyyyyyyy 同理： 20 02 3 1 N yty x yy 于是： 120 0102 012012 1111 2 1133 MN yyyyyyy xxtyyytyy y 2 00 00 2 6 1122 34 22 9 3333 34 t t t yy tyty t 所以 112

23、 113 MN xx 为定值 20 （1）令 1 ln10g xxx x ，则 22 111x gx xxx 当01x时， 0gx；当1x 时， 0g x， 故 g x在0,1上单调递减； g x在1,上单调递增， 所以 10g xg，即 1 ln1x x （2） （i）证明：由（1）知： 2222 1 ln11111f xxxaxxaxxa xa x 当 1 0 2 a，0,1 a x a 时，0,1 1 a a ， 110 xa xa ，故 0f x （ii） 2 2 1 ln1f xxxa x ，令 2 1 ln1xxa x ， 则 2 f xxx因为函数 2 f xxx的定义域为0,，

24、 故 yf x的零点与 yx的零点相同， 所以下面研究函数 yx在0,上的零点个数 2 1 ln1xxa x ， 2 33 122axa x xxx 当0a时， 0 x在0,x上恒成立， x在0,x上单调递增 2 0 a a a e e ， 2ln20 4 a a 存在唯一的零点 0 ,2 a xe，使得 0 0 x 当0a时， 3 22xaxa x x ， 可得 yx在 0,2xa上单调递减，在 2 , a 上单调递增 yx的最小值为 1 2ln2 2 aaa 令 1 ln2 2 m aaa，则 1 1 2 m a a ， 所以 m a在 1 0, 2 上单调递增，在 1 , 2 上单调递减

25、，又 1 0 2 m 当 1 2 a 时， yx有唯一零点21xa； 当 1 0 2 a，即021a时，且 20a 10， x在 2 ,a 上有唯一的零点1x 又由（i）知： yx在,2 1 a a a 上存在唯一零点，不妨设 1 xx， x在 0, 2a上有唯一的零点 1 xx， 故此时 yx在0,上有两个零点； 当 1 2 a ，即21a 时，且 20a， 10， 1 2 1 a ee 又 2 0 a a a e e ，由函数零点存在定理可得 yx在 2 , a a e上有唯一零点， 故 yx在 0, 2a， 2 ,a 上各一个唯一零点 综上可得：当0a或 1 2 a 时，函数 f x有唯

26、一零点； 当0a且 1 2 a 时，函数 f x有两个零点 21 （1）由频率分布直方图可知， 家庭人均年收入在2000,3000元的家庭数为:0.04 502户； 家庭人均年收入在3000,4000元的家庭数为:0.10 505户； 家庭人均年收入在4000,5000元的家庭数为:0.32 5016户； 家庭人均年收入在5000,6000元的家庭数为:0.30 5015户； 家庭人均年收入在6000,7000元的家庭数为:0.18 509户； 家庭人均年收入在7000,8000元的家庭数为:0.06 503户； 共计 50 户，其中家庭人均年收入不足 5000 元的特困户有：2 5 1623

27、 户， 由题意：X满足参数为 50，23，10 的超几何分布，所以 23 104.6 50 E X 户； 即这 10 户中含有“特困户”的户数X的数学期望为 4.6（户） （2）由题意得： 123456 3.5 6 x ， 275365415450470485 6 y 2460 410 6 ， 6 2 i 1 1 49 16253691 i x ， 2 2 66 3.573.5x ， 所以： 6 1 6 2 2 1 6 93106 3.4 41093108610700 40 91 73.591 73.517.5 6 ii i i i x yxy b xx ， 41040 3.5270aybx，

28、 所以回归直线方程为：40270yx， 令12x ，则可知 2019 年 12 月份该家庭人均月纯收入为40 12 270750（元） ， 所以，2020 年第一季度该家庭人均月纯收入为 2 750500 3 （元） ， 设从开始 3 月份到 12 月份的月纯收入之和为 10 S， 则 29 10 500500150015001Saaa 1010 5001150011 1- 1 aa aa 由题意应有： 10 50011 5005008000 a a ， 即： 10 11 14 a a ， 显然 10 S是以a为自变量的增函数， 当0.15a时， 10 10 111.1513.051 2014 0.150.153 a a 显然成立， 当00.15a时， 10 1223323 101010 11 CCC1 1045120aaaaaaa ， 10 11 14 a a ， 2 22 45454 120 4 1045120141204540 240 aaaaa （舍） 或 2 45454 120 44562.8117.81 0.074 240240240 a ， 所以，为了使 2020 年该家庭顺利迈入小康生活，则a至少应为0.08 8%；