2020年河南省中考数学试卷（含详细解答）

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1、2 的相反数是（ ）  A2 B C D2  2 （3 分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）  A B C D  3 （3 分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）  A中央电视台开学第一课的收视率  B某城市居民 6 月份人均网上购物的次数  C即将发射的气象卫星的零部件质量  D某品牌新能源汽车的最大续航里程  4 （3 分）如图，l1l2，l3l4，若170，则2 的度数为（ ）   A100 B110 C120 D130  5 （3 分）电子

2、文件的大小常用 B，KB，MB，GB 等作为单位，其中 1GB210MB，1MB 210KB，1KB210B某视频文件的大小约为 1GB，1GB 等于（ ）  A230B B830B C81010B D21030B  6 （3 分）若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）  Ay1y2y3 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1  7 （3 分）定义运算：mnmn2mn1例如：424224217则方程 1x 0 的根的情况为（ ）  A有两个不相等的实数根

3、B有两个相等的实数根    第 2 页（共 32 页）   C无实数根 D只有一个实数根  8 （3 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加2017 年至 2019 年我国 快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的 年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）  A500（1+2x）7500  B50002（1+x）7500  C5000（1+x）27500  D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500  9 （3 分

4、）如图，在ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为 （2，6）和（7，0） 将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ）   A （，2） B （2，2） C （，2） D （4，2）  10 （3 分）如图，在ABC 中，ABBC，BAC30，分别以点 A，C 为圆心， AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的面积为（ ）    A6 B9 C6 D3  二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分）

5、  11 （3 分）请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数     12 （3 分）已知关于 x 的不等式组其中 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个 不等式组的解集为       第 3 页（共 32 页）    13 （3 分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种 颜色固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域 分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是      14 （3 分）如图，在边长为 2的正方形

6、ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点， 连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为      15 （3 分）如图，在扇形 BOC 中，BOC60，OD 平分BOC 交于点 D，点 E 为 半径 OB 上一动点若 OB2，则阴影部分周长的最小值为      三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分）  16 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 a+1  17 （9 分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，

7、创办了山药粉加工厂该厂需购置一台 分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择试用时，设定分 装的标准质量为每袋 500g，与之相差大于 10g 为不合格为检验分装效果，工厂对这两 台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：  收集数据从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋，测得实际质量（单位：g） 如下：  甲：501  497  498  502  513  489  506  490  505  486    第 4 页（共 32

8、页）      502  503  498  497  491  500  505  502  504  505  乙：505  499  502  491  487  506  493  505  499  498     502  503  501  490  501  502  511 &nb

9、sp;499  499  501  整理数据整理以上数据，得到每袋质量 x（g）的频数分布表  质量  频数  机器  485x 490  490 x 495  495x 500  500 x 505  505x 510  510 x 515  甲 2 2 4 7 4 1  乙 1 3 5 7 3 1  分析数据根据以上数据，得到以下统计量  统计量  机器  平均数 中位数 方差 不合格率  甲 499.

10、7 501.5 42.01 b  乙 499.7 a 31.81 10%  根据以上信息，回答下列问题：  （1）表格中的 a   ，b   ；  （2）综合上表中的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由  18 （9 分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文 化遗产之一   某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在 地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22， 然后沿 MP 方向前进 16m 到

11、达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45测角仪的高度为 1.6m  （1）求观星台最高点 A 距离地面的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin220.37， cos220.93，tan220.40，1.41） ；  （2） “景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m请计算本次测量结果的误差，并提出一   第 5 页（共 32 页）   条减小误差的合理化建议  19 （9 分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下  方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；  方案二：不购买学生暑

12、期专享卡，每次健身费用按八折优惠  设某学生暑期健身 x（次） ，按照方案一所需费用为 y1（元） ，且 y1k1x+b；按照方案二 所需费用为 y2（元） ，且 y2k2x其函数图象如图所示  （1）求 k1和 b 的值，并说明它们的实际意义；  （2）求打折前的每次健身费用和 k2的值；  （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次，应选择哪种方案所需费用更少？ 说明理由   20 （9 分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意 角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需

13、要， 发明了一种简易操作工具三分角器图 1 是它的示意图，其中 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长    使用方法如图 2 所示， 若要把MEN 三等分， 只需适当放置三分角器， 使 DB 经过MEN 的顶点 E，点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO 就把MEN 三等分了  为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求   第 6 页（共 32 页）   证” ，请补充完整，并

14、写出“证明”过程  已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B，     求证：     21 （10 分）如图，抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OAOB，点 G 为抛物线的顶点  （1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标；  （2）点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧） ，且到对称轴的距离分别为 3 个单 位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求 点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围 &

15、nbsp; 22 （10 分）小亮在学习中遇到这样一个问题：  如图， 点 D 是上一动点， 线段 BC8cm， 点 A 是线段 BC 的中点， 过点 C 作 CFBD， 交 DA 的延长线于点 F当DCF 为等腰三角形时，求线段 BD 的长度   小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经 验研究此问题请将下面的探究过程补充完整：  （1）根据点 D 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 BD，CD，FD 的长度， 得到下表的几组对应值  BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.

16、0  CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0  FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0  操作中发现：  “当点 D 为的中点时，BD5.0cm” 则上表中 a 的值是   ；    第 7 页（共 32 页）   “线段 CF 的长度无需测量即可得到” 请简要说明理由  （2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yCD和 yFD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yF

17、D的图象，如图所示请在同一坐标系中 画出函数 yCD的图象；  （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF 为等腰 三角形时，线段 BD 长度的近似值（结果保留一位小数）      23（11 分） 将正方形 ABCD 的边 AB 绕点 A 逆时针旋转至 AB， 记旋转角为 ， 连接 BB， 过点 D 作 DE 垂直于直线 BB，垂足为点 E，连接 DB，CE  （1）如图 1，当 60时，DEB的形状为   ，连接 BD，可求出的值 为   ；  （2）当 0360且 90时， &n

18、bsp;（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图 2 的情形进行证明；如果不成 立，请说明理由；  当以点 B，E，C，D 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值    第 8 页（共 32 页）      第 9 页（共 32 页）    2020 年河南省中考数学试卷年河南省中考数学试卷  参考答案与试题解析参考答案与试题解析  一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的分）下列各小题均有四个答案，其中只有一

19、个是正确的  1 （3 分）2 的相反数是（ ）  A2 B C D2  【分析】利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案  【解答】解：2 的相反数是2  故选：A  【点评】此题主要考查了相反数的概念，正确把握定义是解题关键  2 （3 分）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（ ）  A B C D  【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断  【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意题意；  B、主视

20、图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；  C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；  D、主视图是长方形，左视图是正方形，故本选项符合题意；  故选：D  【点评】本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键  3 （3 分）要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）  A中央电视台开学第一课的收视率  B某城市居民 6 月份人均网上购物的次数  C即将发射的气象卫星的零部件质量  D某品牌新能源汽车的最大续航里程  【分析】由普查得到的调查结果比较准确，

21、但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查 得到的调查结果比较近似  【解答】解：A、调查中央电视台开学第一课的收视率，适合抽查，故本选项不合题   第 10 页（共 32 页）   意；  B、调查某城市居民 6 月份人均网上购物的次数，适合抽查，故本选项不合题意；  C、调查即将发射的气象卫星的零部件质量，适合采用全面调查（普查） ，故本选项符合 题意；  D、调查某品牌新能源汽车的最大续航里程，适合抽查，故本选项不合题意  故选：C  【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考

22、查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的 意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选 用普查  4 （3 分）如图，l1l2，l3l4，若170，则2 的度数为（ ）   A100 B110 C120 D130  【分析】根据平行线的性质即可得到结论  【解答】解：l1l2，170，  3170，  l3l4，  2180318070110，  故选：B   【点评】此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等，两直

23、线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补  5 （3 分）电子文件的大小常用 B，KB，MB，GB 等作为单位，其中 1GB210MB，1MB   第 11 页（共 32 页）   210KB，1KB210B某视频文件的大小约为 1GB，1GB 等于（ ）  A230B B830B C81010B D21030B  【分析】列出算式，进行计算即可  【解答】解：由题意得：210210210B210+10+10230B，  故选：A  【点评】本题考查同底数幂的乘法，底数不变，指数相加是计算法则  6 （3

24、 分）若点 A（1，y1） ，B（2，y2） ，C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系是（ ）  Ay1y2y3 By2y3y1 Cy1y3y2 Dy3y2y1  【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出 y1、y2、y3的值，比较后即可得出结 论  【解答】解：点 A（1，y1） 、B（2，y2） 、C（3，y3）在反比例函数 y的图象上，  y16，y23，y32，  又326，  y1y3y2  故选：C  【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象

25、上点的坐标 特征求出 y1、y2、y3的值是解题的关键  7 （3 分）定义运算：mnmn2mn1例如：424224217则方程 1x 0 的根的情况为（ ）  A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根  C无实数根 D只有一个实数根  【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案  【解答】解：由题意可知：1xx2x10，  141（1）50，  故选：A  【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础 题型  8 （3 分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年

26、增加2017 年至 2019 年我国   第 12 页（共 32 页）   快递业务收入由 5000 亿元增加到 7500 亿元设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的 年平均增长率为 x，则可列方程为（ ）  A500（1+2x）7500  B50002（1+x）7500  C5000（1+x）27500  D5000+5000（1+x）+5000（1+x）27500  【分析】根据题意可得等量关系：2017 年的快递业务量（1+增长率）22019 年的快 递业务量，根据等量关系列出方程即可  【解答】

27、解：设我国 2017 年至 2019 年快递业务收入的年平均增长率为 x，  由题意得：5000（1+x）27500，  故选：C  【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方 法，若设变化前的量为 a，变化后的量为 b，平均变化率为 x，则经过两次变化后的数量 关系为 a（1x）2b  9 （3 分）如图，在ABC 中，ACB90，边 BC 在 x 轴上，顶点 A，B 的坐标分别为 （2，6）和（7，0） 将正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移，当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（ ）   A （

28、，2） B （2，2） C （，2） D （4，2）  【分析】根据已知条件得到 AC6，OC2，OB7，求得 BC9，根据正方形的性质 得到 DEOCOE2，求得 OEOC2，根据相似三角形的性质得到 BO 3，于是得到结论  【解答】解：如图，设正方形 DCOE是正方形 OCDE 沿 x 轴向右平移后的正方 形，  顶点 A，B 的坐标分别为（2，6）和（7，0） ，  AC6，OC2，OB7，    第 13 页（共 32 页）   BC9，  四边形 OCDE 是正方形，  DEOCOE2， &n

29、bsp;OEOC2，  EOBC，  BOEBCA90，  EOAC，  BOEBCA，  ，  ，  BO3，  OC7232，  当点 E 落在 AB 边上时，点 D 的坐标为（2，2） ，  故选：B   【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确 的识别图形是解题的关键  10 （3 分）如图，在ABC 中，ABBC，BAC30，分别以点 A，C 为圆心， AC 的长为半径作弧，两弧交于点 D，连接 DA，DC，则四边形 ABCD 的

30、面积为（ ）    A6 B9 C6 D3  【分析】连接 BD 交 AC 于 O，根据已知条件得到 BD 垂直平分 AC，求得 BDAC，AO   第 14 页（共 32 页）   CO，根据等腰三角形的性质得到ACBBAC30，根据等边三角形的性质得到 DACDCA60，求得 ADCDAB3，于是得到结论  【解答】解：连接 BD 交 AC 于 O，  ADCD，ABBC，  BD 垂直平分 AC，  BDAC，AOCO，  ABBC，  ACBBAC30，  ACADC

31、D，  ACD 是等边三角形，  DACDCA60，  BADBCD90，ADBCDB30，  ABBC，  ADCDAB3，  四边形 ABCD 的面积23，  故选：D   【点评】本题考查了含 30角的直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和 性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键  二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分，共分，共 15 分）分）  11 （3 分）请写出一个大于 1 且小于 2 的无理数   【分析】由于所求无理数大于 1 且小于 2，两数平

32、方得大于 2 小于 4，所以可选其中的任 意一个数开平方即可  【解答】解：大于 1 且小于 2 的无理数是，答案不唯一  故答案为：  【点评】此题主要考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备   第 15 页（共 32 页）   的数学能力， “夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法  12 （3 分）已知关于 x 的不等式组其中 a，b 在数轴上的对应点如图所示，则这个 不等式组的解集为 xa    【分析】根据关于 x 的不等式组的解集表示在数轴上表示方法求出 x 的取值范围即可 &nb

33、sp;【解答】解：b0a，  关于 x 的不等式组的解集为：xa，  故答案为：xa  【点评】本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，先根据题意得出不等式组的解集 是解答此题的关键  13 （3 分）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种 颜色固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域 分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是    【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率  【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现

34、的情况如下：   共有 16 种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有 4 种，  P（两次颜色相同），  故答案为：    第 16 页（共 32 页）   【点评】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解 决问题的关键  14 （3 分）如图，在边长为 2的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点， 连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为 1    【分析】 方法一： 连接 CH 并延长交 AD 于 P，

35、 连接 PE， 根据正方形的性质得到A90， ADBC，ABADBC2，根据相似三角形的性质得到 PDCF，根据勾股定 理和三角形的中位线定理即可得到结论  方法二： 设 DF， CE 交于 O， 根据正方形的性质得到BDCF90， BCCDAB， 根据线段中点的定义得到 BECF，根据全等三角形的性质得到 CEDF，BCE CDF，求得 DFCE，根据勾股定理得到 CEDF，点 G， H 分别是 EC，FD 的中点，根据射影定理即可得到结论  【解答】解：方法一：连接 CH 并延长交 AD 于 P，连接 PE，   四边形 ABCD 是正方形，  A9

36、0，ADBC，ABADBC2，  E，F 分别是边 AB，BC 的中点，  AECF2，  ADBC，  PDHCFH，  ，  H 是 FD 的中点，  DHFH，  PDCF，    第 17 页（共 32 页）   APADPD，  PE2，  点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，  GHEP1；  方法二：设 DF，CE 交于 O，   四边形 ABCD 是正方形，  BDCF90，BCCDAB，  点

37、E，F 分别是边 AB，BC 的中点，  BECF，  CBEDCF（SAS） ，  CEDF，BCECDF，  CDF+CFD90，  BCE+CFD90，  COF90，  DFCE，  CEDF，  点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，  CGFH，  DCF90，CODF，  CF2OFDF，  OF，  OH，OD，  OC2OFOD，    第 18 页（共 32 页）   OC，  OGC

38、GOC，  HG1，  故答案为：1  【点评】本题考查了射影定理，勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质， 正确的识别图形是解题的关键  15 （3 分）如图，在扇形 BOC 中，BOC60，OD 平分BOC 交于点 D，点 E 为 半径 OB 上一动点若 OB2，则阴影部分周长的最小值为    【分析】利用轴对称的性质，得出当点 E 移动到点 E时，阴影部分的周长最小，此时 的最小值为弧 CD 的长与 CD的长度和，分别进行计算即可  【解答】 解： 如图， 作点 D 关于 OB 的对称点 D， 连接 DC 交

39、OB 于点 E， 连接 E D、OD，  此时 EC+EC 最小，即：EC+ECCD，  由题意得，CODDOBBOD30，  COD90，  CD2，  的长 l，  阴影部分周长的最小值为 2+  故答案为：    第 19 页（共 32 页）    【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的 前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键  三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分）分）  16

40、 （8 分）先化简，再求值： （1），其中 a+1  【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可  【解答】解：    a1，  把 a+1 代入 a1+11  【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键  17 （9 分）为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂该厂需购置一台 分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择试用时，设定分 装的标准质量为每袋 500g，与之相差大于 10g 为不合格为检验分装效果，工厂对这两 台机器

41、分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：  收集数据从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取 20 袋，测得实际质量（单位：g） 如下：  甲：501  497  498  502  513  489  506  490  505  486     502  503  498  497  491  500  505  502  504  505  乙：505  

42、499  502  491  487  506  493  505  499  498     502  503  501  490  501  502  511  499  499  501  整理数据整理以上数据，得到每袋质量 x（g）的频数分布表    第 20 页（共 32 页）   质量  频数  机器  485x 490 &n

43、bsp;490 x 495  495x 500  500 x 505  505x 510  510 x 515  甲 2 2 4 7 4 1  乙 1 3 5 7 3 1  分析数据根据以上数据，得到以下统计量  统计量  机器  平均数 中位数 方差 不合格率  甲 499.7 501.5 42.01 b  乙 499.7 a 31.81 10%  根据以上信息，回答下列问题：  （1）表格中的 a 501 ，b 15% ；  （2）综合上表中

44、的统计量，判断工厂应迭购哪一台分装机，并说明理由  【分析】 （1）根据中位数的计算方法，求出乙机器分装实际质量的中位数；乙机器的不 合格的有 1 个，调查总数为 20，可求出不合格率，从而确定 a、b 的值；  （2）根据合格率进行判断  【解答】解： （1）将乙的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是 501，因此中 位数是 501，  b3 2015%，  故答案为：501，15%；  （2）选择乙机器，理由：乙的不合格率较小，  【点评】本题考查中位数、众数、平均数的意义和计算方法，理解中位数、众数、平均 数的

45、意义是正确解答的关键  18 （9 分）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世界文 化遗产之一     第 21 页（共 32 页）   某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度如图所示，他们在 地面一条水平步道 MP 上架设测角仪，先在点 M 处测得观星台最高点 A 的仰角为 22， 然后沿 MP 方向前进 16m 到达点 N 处，测得点 A 的仰角为 45测角仪的高度为 1.6m  （1）求观星台最高点 A 距离地面的高度（结果精确到 0.1m参考数据：sin220.37， cos220.93，t

46、an220.40，1.41） ；  （2） “景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m请计算本次测量结果的误差，并提出一 条减小误差的合理化建议  【分析】（1） 过 A 作 ADPM 于 D， 延长 BC 交 AD 于 E， 则四边形 BMNC， 四边形 BMDE 是矩形，于是得到 BCMN16m，DECNBM1.6m，求得 CEAE，设 AECE x，得到 BE16+x，解直角三角形即可得到结论；  （2）建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法  【解答】解： （1）过 A 作 ADPM 于 D，延长 BC 交 AD 于 E， &nbs

47、p;则四边形 BMNC，四边形 BMDE 是矩形，  BCMN16m，DECNBM1.6m，  AED90，ACE45，  ACE 是等腰直角三角形，  CEAE，  设 AECEx，  BE16+x，  ABE22，  tan220.40，  x10.7（m） ，  AD10.7+1.612.3（m） ，  答：观星台最高点 A 距离地面的高度约为 12.3m；  （2）“景点简介”显示，观星台的高度为 12.6m，  本次测量结果的误差为 12.612.30.3

48、m，  减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法    第 22 页（共 32 页）    【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造 直角三角形并解直角三角形  19 （9 分）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下  方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；  方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠  设某学生暑期健身 x（次） ，按照方案一所需费用为 y1（元） ，且 y1k1x+b；按照方案

49、二 所需费用为 y2（元） ，且 y2k2x其函数图象如图所示  （1）求 k1和 b 的值，并说明它们的实际意义；  （2）求打折前的每次健身费用和 k2的值；  （3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身 8 次，应选择哪种方案所需费用更少？ 说明理由   【分析】 （1）把点（0，30） ， （10，180）代入 y1k1x+b，得到关于 k1和 b 的二元一次方 程组，求解即可；  （2）根据方案一每次健身费用按六折优惠，可得打折前的每次健身费用，再根据方案二 每次健身费用按八折优惠，求出 k2的值；  （3）将 x8 分别

50、代入 y1、y2关于 x 的函数解析式，比较即可  【解答】解： （1）y1k1x+b 过点（0，30） ， （10，180） ，  ，解得，  k115 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为 15 元，    第 23 页（共 32 页）   b30 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为 30 元；   （2）由题意可得，打折前的每次健身费用为 150.625（元） ，  则 k2250.820；   （3）选择方案一所需费用更少理由如下：  由题意可知，y11

51、5x+30，y220 x  当健身 8 次时，  选择方案一所需费用：y1158+30150（元） ，  选择方案二所需费用：y2208160（元） ，  150160，  选择方案一所需费用更少  【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出 y1、 y2关于 x 的函数解析式  20 （9 分）我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意 角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的人们根据实际需要， 发明了一种简易操作工具三分角器图 1 是它的示意图，其中

52、 AB 与半圆 O 的直径 BC 在同一直线上，且 AB 的长度与半圆的半径相等；DB 与 AC 垂直于点 B，DB 足够长    使用方法如图 2 所示， 若要把MEN 三等分， 只需适当放置三分角器， 使 DB 经过MEN 的顶点 E，点 A 落在边 EM 上，半圆 O 与另一边 EN 恰好相切，切点为 F，则 EB，EO 就把MEN 三等分了  为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求 证” ，请补充完整，并写出“证明”过程  已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B， ABOB，E

53、N   第 24 页（共 32 页）   切半圆 O 于 F   求证： EB，EO 就把MEN 三等分   【分析】根据垂直的定义得到ABEOBE90，根据全等三角形的性质得到1 2，根据切线的性质得到23，于是得到结论  【解答】解：已知：如图 2，点 A，B，O，C 在同一直线上，EBAC，垂足为点 B，AB OB，EN 切半圆 O 于 F  求证：EB，EO 就把MEN 三等分，  证明：EBAC，  ABEOBE90，  ABOB，BEBE，  ABEOBE（SAS） ，  

54、12，  BEOB，  BE 是E 的切线，  EN 切半圆 O 于 F，  23，  123，  EB，EO 就把MEN 三等分  故答案为：ABOB，EN 切半圆 O 于 F；EB，EO 就把MEN 三等分  【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的 关键  21 （10 分）如图，抛物线 yx2+2x+c 与 x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点 A，B，且 OAOB，点 G 为抛物线的顶点  （1）求抛物线的解析式及点 G 的坐标；  （2）

55、点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧） ，且到对称轴的距离分别为 3 个单 位长度和 5 个单位长度，点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，求 点 Q 的纵坐标 yQ的取值范围    第 25 页（共 32 页）    【分析】 （1）先求出点 B，点 A 坐标，代入解析式可求 c 的值，即可求解；  （2）先求出点 M，点 N 坐标，即可求解  【解答】解： （1）抛物线 yx2+2x+c 与 y 轴正半轴分别交于点 B，  点 B（0，c） ，  OAOBc，  

56、;点 A（c，0） ，  0c2+2c+c，  c3 或 0（舍去） ，  抛物线解析式为：yx2+2x+3，  yx2+2x+3（x1）2+4，  顶点 G 为（1，4） ；  （2）yx2+2x+3（x1）2+4，  对称轴为直线 x1，  点 M，N 为抛物线上两点（点 M 在点 N 的左侧） ，且到对称轴的距离分别为 3 个单位 长度和 5 个单位长度，  点 M 的横坐标为2 或 4，点 N 的横坐标为 6，  点 M 坐标为（2，5）或（4，5） ，点 N 坐标（6，21） ， &n

57、bsp;点 Q 为抛物线上点 M，N 之间（含点 M，N）的一个动点，  21yQ4 或21yQ5  【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上 点的坐标特征，熟练运用二次函数的性质解决问题是本题的关键  22 （10 分）小亮在学习中遇到这样一个问题：  如图， 点 D 是上一动点， 线段 BC8cm， 点 A 是线段 BC 的中点， 过点 C 作 CFBD，   第 26 页（共 32 页）   交 DA 的延长线于点 F当DCF 为等腰三角形时，求线段 BD 的长度   小亮分析发现，

58、此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经 验研究此问题请将下面的探究过程补充完整：  （1）根据点 D 在上的不同位置，画出相应的图形，测量线段 BD，CD，FD 的长度， 得到下表的几组对应值  BD/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0  CD/cm 8.0 7.7 7.2 6.6 5.9 a 3.9 2.4 0  FD/cm 8.0 7.4 6.9 6.5 6.1 6.0 6.2 6.7 8.0  操作中发现：  “当点 D 为的中点时，BD5.0cm” 则上表中 a 的

59、值是 5 ；  “线段 CF 的长度无需测量即可得到” 请简要说明理由  （2）将线段 BD 的长度作为自变量 x，CD 和 FD 的长度都是 x 的函数，分别记为 yCD和 yFD，并在平面直角坐标系 xOy 中画出了函数 yFD的图象，如图所示请在同一坐标系中 画出函数 yCD的图象；  （3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当DCF 为等腰 三角形时，线段 BD 长度的近似值（结果保留一位小数）      第 27 页（共 32 页）    【分析】 （1）由可求 BDCDa5cm；  由“AAS”可证BADCAF，可得 BDCF，即可求解；  （2）由题意可画出函数图象；  （3）结合图象可求解  【解答】解： （1）点 D 为的中点，