2020年吉林省长春市中考数学试题（含答案）

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1、20202020 年长春市初中毕业学业水平考试数学年长春市初中毕业学业水平考试数学试卷试卷 一、选择题一、选择题（本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 3 3 分分，共共 2424 分分） 1.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为（ ） A.1 B.1.5 C.3 D.4.2 2.为了增加青少年的校外教育活动场所，长春市将建成面积约为 79000 平方米的新少年宫，预计 2020 年 12 月正式投入使用.79000 这个数用科学记数法表示为（ ） A. 3 79 10 B. 4 7.9 10 C. 5 0.79 10 D. 5 7.9 10 3.下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）

2、 A. B. C. D. 4.不等式23x的解集在数轴上表示正确的是（ ） A.B.C.D. 5.比萨斜塔是意大利的著名建筑，其示意图如图所示.设塔顶中心点为点B，塔身中心线AB与垂直中心线 AC的夹角为A， 过点B向垂直中心线AC引垂线， 垂足为点D.通过测量可得AB、BD、AD的长度， 利用测量所得的数据计算A的三角函数值，进而可求A的大小.下列关系式正确的是（ ） A.sin BD A AB B.cos AB A AD C.tan AD A BD D.sin AD A AB 6.如图，AB是O的直径，点C、D在O上，20BDC，则AOC的大小为（ ） A.40 B.140 C.160 D

3、.170 7.如图， 在ABC中，90BAC，ABAC.按下列步骤作图： 分别以点B和点C为圆心， 大于BC 一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD.下列 说法不一定正确的是（ ） A.BDNCDN B.2ADCB C.ACDDCB D.290BACD 8.如图， 在平面直角坐标系中， 点A的坐标为3,2，ABx轴于点B， 点C是线段OB上的点， 连结AC. 点P在线段AC上，且2APPC.函数0 k yx x 的图象经过点P.当点C在线段OB上运动时，k的 取值范围是（ ） A.02k B. 2 3 3k C. 2 3 2k D. 8 3 4k

4、二、填空题二、填空题（本大题共本大题共 6 6 小题小题，每小题每小题 3 3 分分，共共 1818 分分） 9.长春市净月潭国家森林公园门票的价格为成人票每张 30 元， 儿童票每张 15 元.若购买m张成人票和n张 儿童票，则共需花费_元. 10.分解因式： 2 4a _. 11.若关于x的一元二次方程 2 20 xxm有两个相等的实数根，则实数m的值为_. 12.正五边形的一个外角的大小为_度. 13.如图， 在ABC中，90ABC，2ABBC， 以点C为圆心， 线段CA的长为半径作AD， 交CB 的延长线于点D，则阴影部分的面积为_（结果保留）. 14.如图，在平面直角坐标系中，点A的

5、坐标为0,2，点B的坐标为4,2.若抛物线 2 3 () 2 yxhk （h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且 1 2 CDAB，则k的值为_. 三、解答题三、解答题（本大题共本大题共 1010 小题小题，共共 7878 分分） 15.先化简，再求值： 2 32 31aa，其中2a . 16.现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“神舟首飞”，第三张卡片的正面图案为“保卫和 平”，卡片除正面图案不同外，其余均相同.将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后 放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张.请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是 “保卫和平”的概

6、率.（图案为“神舟首飞”的两张卡片分别记为 1 A、 2 A，图案为“保卫和平”的卡片记 为B） 17.图、图、图均是3 3的正方形网格，每个小正方形的边长为 1，每个小正方形的顶点称为格点， 线段AB的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以AB为边画ABC. 要求： （1）在图中画一个钝角三角形，在图中画一个直角三角形，在图中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点C在格点上. 18.在国家精准扶贫的政策下，某村企生产的黑木耳获得了国家绿色食品标准认证，绿标的认证，使该村企 的黑木耳在市场上更有竞争力， 今年每斤黑木耳的售价比去年增加了

7、 20 元.预计今年的销量是去年的 3 倍， 年销售额为 360 万元.已知去年的年销售额为 80 万元，问该村企去年黑木耳的年销量为多少万斤？ 19.如图，在ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，BEAC，DFAC，垂足分别为点E、F. （1）求证：OEOF. （2）若5BE ，2OF ，求tanOBE的值. 20.空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优、二级良、三级轻度污染、四级中度污 染、五级重度污染、六级严重污染.级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也就越大.空气 质量达到一级优或二级良的天气为达标天气.下图是长春市从 2014 年到 2019 年的空气

8、质量级别天数的统计 图表. 2014-2019 年长春市空气质量级别天数统计表 空气质量级别 天数 年份 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 2014 30 215 73 28 13 6 2015 43 193 87 19 15 8 2016 51 237 58 15 5 0 2017 65 211 62 16 9 2 2018 123 202 39 0 1 0 2019 126 180 38 16 5 0 2014-2019 年长春市空气质量为“达标”和“优”的天数折线统计图 根据上面的统计图表回答下列问题： （1）长春市从 2014 年到 2019 年空气质量为“达标”的天数最

9、多的是_年. （2）长春市从 2014 年到 2019 年空气质量为“重度污染”的天数的中位数为_天，平均数为 _天. （3）长春市从 2015 年到 2019 年，和前一年相比，空气质量为“优”的天数增加最多的是_年， 这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为_（精确到1%）. （空气质量为“优” “”“” 100% “” 今年空气质量为 优 的天数-去年空气质量为 优 的天数 = 去年空气质量为 优 的天数 ） （4）你认为长春市从 2014 年到 2019 年哪一年的空气质量好？请说明理由. 21.已知A、B两地之间有一条长 240 千米的公路.甲车从A地出发匀速开往B地，甲车出发两小

10、时后，乙 车从B地出发匀速开往A地，两车同时到达各自的目的地.两车行驶的路程之和y（千米）与甲车行驶的时 间x（时）之间的函数关系如图所示. （1）甲车的速度为_千米/时，a的值为_. （2）求乙车出发后，y与x之间的函数关系式. （3）当甲、乙两车相距 100 千米时，求甲车行驶的时间. 22.【教材呈现】下图是华师版八年级下册数学教材第 121 页的部分内容. 1.把一张矩形纸片如图那样折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ 【问题解决】如图，已知矩形纸片ABCD ABAD，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在 边DC上，点A的对应点为 A ，折痕为DE，点E在AB上.求证：四边形AE

11、A D是正方形. 【规律探索】由【问题解决】可知，图中的A DE为等腰三角形.现将图中的点 A 沿DC向右平移至 点Q处（点Q在点C的左侧） ，如图，折痕为PF，点F在DC上，点P在AB上，那么PQF还是等 腰三角形吗？请说明理由. 【结论应用】在图中，当QCQP时，将矩形纸片继续折叠如图，使点C与点P重合，折痕为QG， 点G在AB上.要使四边形PGQF为菱形，则 AD AB _. 23.如图，在ABC中，90ABC，4AB ，3BC .点P从点A出发，沿折线ABBC以每秒 5 个单位长度的速度向点C运动，同时点D从点C出发，沿CA以每秒 2 个单位长度的速度向点A运动， 点P到达点C时， 点

12、P、D同时停止运动.当点P不与点A、C重合时， 作点P关于直线AC的对称点Q， 连结PQ交AC于点E，连结DP、DQ.设点P的运动时间为t秒. （1）当点P与点B重合时，求t的值. （2）用含t的代数式表示线段CE的长. （3）当PDQ为锐角三角形时，求t的取值范围. （4）如图，取PD的中点M，连结QM.当直线QM与ABC的一条直角边平行时，直接写出t的值. 24.在平面直角坐标系中，函数 2 21yxax（a为常数）的图象与y轴交于点A. （1）求点A的坐标. （2）当此函数图象经过点1,2时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范 围. （3）当0 x时，若函数 2

13、 21yxax（a为常数）的图象的最低点到直线2ya的距离为 2，求a的 值. （4）设0a，Rt EFG三个顶点的坐标分别为1, 1E 、1,1Fa、0,1Ga.当函数 2 21yxax（a为常数）的图象与EFG的直角边有交点时，交点记为点P.过点P作y轴的垂线， 与此函数图象的另一个交点为 P （ P 与P不重合） ，过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为 A .若2AAPP，直接写出a的值. 参考答案参考答案 一、选择题一、选择题 1.C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.C 8.C 二、填空题二、填空题 9.3015mn 10.22aa 1l.1m 12.72 13.

14、2 14. 7 2 三、解答题三、解答题 15.原式 22 69627aaaa； 当2a 时，原式 2 ( 2)79 16.树状图如下： P（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”） 1 9 . 列表法如下表： 第一张 结果 第二张 1 A 2 A B 1 A 11 ,A A 21 ,A A 1 ,B A 2 A 12 ,A A 22 ,A A 2 ,B A B 1, A B 2, A B ,B B P（两次抽取的卡片上图案都是“保卫和平”） 1 9 . 17.答案不唯一 18.设该村企去年黑木耳的年销量为x万斤 依题意得 80360 20 3xx 解得：2x 经检验2x是原方程的根，且符合题意

15、. 答：该村企去年黑木耳的年销量为 2 万斤. 19.（1）证明：在ABCD中，ODOB BEAC，DFACDFBEFDOEBO 又DOFBOEDFOBEO ASA OEOF （2）OEOF，2OF 2OE BEAC90OEB 在Rt OBE中，5BE ， 2 tan 5 OE OBE BE 20.（1）2018； （2）7，8； （3）2018，89% （4）2018 年空气质量好，2018 年达标天气天数最多.（答案不唯一） 21.（1）40，480； （2）设y与x之间的函数关系式为ykxb， 由图可知，函数图象过点2,80，6,480， 所以 280 6480 kb kb 解得 100

16、 120 k b 所以y与x之间的函数关系式为100120yx. （3）两车相遇前：80 1002240 100 x 解得： 13 5 x 两车相遇后：80 1002240 100 x 解得： 23 5 x 答：当甲、乙两车相距 100 千米时，甲车行驶的时间是13 5 小时或 23 5 小时. 22.【问题解决】 证明：在矩形ABCD中，90AADA 由翻折得：90DAEA 90AADADAE 四边形AEA D是矩形 又ADA D 矩形AEA D是正方形 【探索规律】 PQF是等腰三角形 理由：在矩形ABCD中，ABCDAPFPFQ 由翻折得：APFFPQ PFQFPQ FQPQ PQF是等

17、腰三角形 【结论应用】 3 5 23.（1）当点P与点B重合时，54t .解得 4 5 t . （2）在Rt ABC中，4AB ，3BC ，所以5AC ， 3 sin 5 A ， 4 cos 5 A . 如图 3，当点P在AB上时，在Rt APE中，cos4AEAPAt. 所以5 4CEACAEt . 如图 4，当点P在BC上时，在Rt PCE中，7 5PCt ， 3 cossin 5 CA. 所以 321 cos(75 )3 55 CEPCCtt. （3）先考虑临界值等腰直角三角形PDQ，那么PEDE. 如图 5，当点P在AB上时，在Rt APE中，sin3PEAPAt. 而5 425 6D

18、EACAE CDttt ， 由PEDE，得35 6tt .解得 5 9 t . 如图 6，当点P在BC上时，在Rt PCE中， 428 sin(75 )4 55 PEPCCtt. 而 321 2(75 )5 55 DECDCEttt， 由PEDE，得 82 45 55 tt，解得 49 45 t . 再数形结合写结论. 当PDQ为锐角三角形时， 5 0 9 t ，或 537 505 t . （4）t的值为 5 18 或 6 5 . 考点伸展 第（4）题的思路如下：如图 7，当点P在AB上时，延长QM交BC于点N. 作QGAB于G，作DHBC于H. 由QMAB，M是PD的中点，可知N是BH的中点

19、. 在Rt PQG中，26PQPEt，所以 424 55 QGPQt. 在Rt DCH中， 36 55 HCDCt. 由 24246 3 555 BCBHHCHCttt，解得 5 18 t . 如图 8，当点P在BC上时，作PKQM于K. 由QMBC，M是PD的中点，可知2DHPK. 在Rt PQK中， 88 2(75 ) 55 PQPEPCt，所以 324 (75 ) 525 PKPQt. 在Rt DCH中， 48 55 DHDCt. 由2DHPK，得 824 2(75 ) 525 tt，解得 6 5 t . 24.（1）当0 x时， 2 211yxax ，所以0, 1A. （2）将点1,2

20、代入 2 211yxax ，得21 21a .解得1a. 所以 22 21(1)2yxxx （如图 1 所示）. 抛物线的开口向上，对称轴为1x. 因此当1x时，y随x的增大而增大. （3）抛物线 222 21()1yxaxxaa 的对称轴为xa，顶点坐标为 2 ,1aa. 如图 2，如果0a，那么对称轴在y轴右侧，最低点就是0, 1A. 已知最低点到直线2ya的距离为 2，所以212a .解得 1 2 a . 如图 3，如果0a，那么对称轴在y轴左侧，顶点 2 ,1aa就是最低点. 所以 2 212aa .整理，得 2 12a. 解得12a （如图 3） ，或12a （舍去正值）. （4） 2 3 a ，或 4 3 . 考点伸展 第（4）题可以这样思考： 抛物线 2 21yxax的对称轴为xa， 0, 1A，所以2AAa . 如图 4，当点P在EF边上时，1 p x . 因为1EAOA，所以点P在对称轴xa的左侧.所以21PPa . 由2AAPP，得241aa.解得 2 3 a . 如图 5，当点P在FG边上时，1 p ya. 解方程 2 211xaxa ，得 2 xaaa.所以 2 2PPaa . 由2AAPP，得 2 24aaa. 解得 4 3 a ，或0a（舍去）.